GSEB Class 8 Maths Chapter 8 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 8 "બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ" (Std 8 Maths Chapter 8 Baijik Padavalio ane Nityasam) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 8.1, 8.2, 8.3 અને 8.4 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સજાતીય પદોના સરવાળા-બાદબાકી, એકપદી, દ્વિપદી અને ત્રિપદીના ગુણાકાર તથા પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 8. baijik padavalio ane nityasam imp notes) ✦
- ચલ અને અચલ : અજ્ઞાત કિંમત દર્શાવવા માટે વપરાતા સંકેતો (જેવા કે `x, y, z, a, b`) ને ચલ કહે છે અને નિશ્ચિત સંખ્યાત્મક કિંમતને અચલ કહે છે. ચલ અને અચલના જોડાણથી બૈજિક પદાવલિ બને છે.
- પદાવલિના પ્રકાર :
• એકપદી (Monomial) : માત્ર એક જ પદ ધરાવતી પદાવલિ (દા.ત., `7x, 5xy, 3x^2`).
• દ્વિપદી (Binomial) : બે પદો ધરાવતી પદાવલિ (દા.ત., `a + b, 4l - 5m`).
• ત્રિપદી (Trinomial) : ત્રણ પદો ધરાવતી પદાવલિ (દા.ત., `x + y + z, 2a + 3b - 5`).
• બહુપદી (Polynomial) : એક કે તેથી વધુ પદો કે જેના સહગુણકો શૂન્યતર હોય અને ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય તેને બહુપદી કહે છે. - સજાતીય પદો (Like Terms) : જે પદોમાં ચલ સમાન હોય અને તે ચલના ઘાતાંક પણ સમાન હોય તેવા પદોને સજાતીય પદો કહે છે. દા.ત., `7x` અને `-5x`, `4x^2y` અને `9x^2y`. સરવાળો કે બાદબાકી માત્ર સજાતીય પદો વચ્ચે જ થઈ શકે છે.
- વિજાતીય પદો (Unlike Terms) : જે પદોમાં ચલ અસમાન હોય અથવા ચલ સમાન હોય પણ તેના ઘાતાંક અસમાન હોય તેને વિજાતીય પદો કહે છે.
- પદાવલિઓનો ગુણાકાર :
• સહગુણકનો ગુણાકાર સહગુણક સાથે થાય છે.
• સમાન ચલ ધરાવતા પદોનો ગુણાકાર કરતી વખતે ઘાતાંકના નિયમ મુજબ ઘાતોનો સરવાળો થાય છે (`x^m \times x^n = x^{m+n}`).
• એકપદીનો દ્વિપદી કે ત્રિપદી સાથે ગુણાકાર કરવા માટે વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે: `a(b + c) = ab + ac`.
✦ સ્વાધ્યાય 8.1 (std 8 Maths chapter 8.1 baijik padavalio ane nityasam swadhyay) ✦
1. નીચેની બહુપદીઓના સરવાળા કરો :
(i) `ab - bc, bc - ca, ca - ab`
ઉકેલ - (i) :
સરવાળો `= (ab - bc) + (bc - ca) + (ca - ab)`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= ab - ab - bc + bc - ca + ca`
`= 0 + 0 + 0`
`= 0`
સરવાળો `= (ab - bc) + (bc - ca) + (ca - ab)`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= ab - ab - bc + bc - ca + ca`
`= 0 + 0 + 0`
`= 0`
(ii) `a - b + ab, b - c + bc, c - a + ac`
ઉકેલ - (ii) :
સરવાળો `= (a - b + ab) + (b - c + bc) + (c - a + ac)`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (a - a) + (-b + b) + (-c + c) + ab + bc + ac`
`= 0 + 0 + 0 + ab + bc + ac`
`= ab + bc + ac`
સરવાળો `= (a - b + ab) + (b - c + bc) + (c - a + ac)`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (a - a) + (-b + b) + (-c + c) + ab + bc + ac`
`= 0 + 0 + 0 + ab + bc + ac`
`= ab + bc + ac`
(iii) `2p^2q^2 - 3pq + 4, 5 + 7pq - 3p^2q^2`
ઉકેલ - (iii) :
સરવાળો `= (2p^2q^2 - 3pq + 4) + (-3p^2q^2 + 7pq + 5)`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (2p^2q^2 - 3p^2q^2) + (-3pq + 7pq) + (4 + 5)`
`= (2 - 3)p^2q^2 + (-3 + 7)pq + 9`
`= -p^2q^2 + 4pq + 9`
સરવાળો `= (2p^2q^2 - 3pq + 4) + (-3p^2q^2 + 7pq + 5)`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (2p^2q^2 - 3p^2q^2) + (-3pq + 7pq) + (4 + 5)`
`= (2 - 3)p^2q^2 + (-3 + 7)pq + 9`
`= -p^2q^2 + 4pq + 9`
(iv) `l^2 + m^2, m^2 + n^2, n^2 + l^2, 2lm + 2mn + 2nl`
ઉકેલ - (iv) :
સરવાળો `= (l^2 + m^2) + (m^2 + n^2) + (n^2 + l^2) + (2lm + 2mn + 2nl)`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (l^2 + l^2) + (m^2 + m^2) + (n^2 + n^2) + 2lm + 2mn + 2nl`
`= 2l^2 + 2m^2 + 2n^2 + 2lm + 2mn + 2nl`
સરવાળો `= (l^2 + m^2) + (m^2 + n^2) + (n^2 + l^2) + (2lm + 2mn + 2nl)`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (l^2 + l^2) + (m^2 + m^2) + (n^2 + n^2) + 2lm + 2mn + 2nl`
`= 2l^2 + 2m^2 + 2n^2 + 2lm + 2mn + 2nl`
2. બાદબાકી કરો :
(a) `12a - 9ab + 5b - 3` માંથી `4a - 7ab + 3b + 12` બાદ કરો.
ઉકેલ - (a) :
`= (12a - 9ab + 5b - 3) - (4a - 7ab + 3b + 12)`
કૌંસ છોડતાં નિશાનીઓ બદલાશે :
`= 12a - 9ab + 5b - 3 - 4a + 7ab - 3b - 12`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (12a - 4a) + (-9ab + 7ab) + (5b - 3b) + (-3 - 12)`
`= 8a - 2ab + 2b - 15`
`= (12a - 9ab + 5b - 3) - (4a - 7ab + 3b + 12)`
કૌંસ છોડતાં નિશાનીઓ બદલાશે :
`= 12a - 9ab + 5b - 3 - 4a + 7ab - 3b - 12`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (12a - 4a) + (-9ab + 7ab) + (5b - 3b) + (-3 - 12)`
`= 8a - 2ab + 2b - 15`
(b) `5xy - 2yz - 2zx + 10xyz` માંથી `3xy + 5yz - 7zx` બાદ કરો.
ઉકેલ - (b) :
`= (5xy - 2yz - 2zx + 10xyz) - (3xy + 5yz - 7zx)`
કૌંસ છોડતાં :
`= 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz - 3xy - 5yz + 7zx`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (5xy - 3xy) + (-2yz - 5yz) + (-2zx + 7zx) + 10xyz`
`= 2xy - 7yz + 5zx + 10xyz`
`= (5xy - 2yz - 2zx + 10xyz) - (3xy + 5yz - 7zx)`
કૌંસ છોડતાં :
`= 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz - 3xy - 5yz + 7zx`
સજાતીય પદો પાસપાસે ગોઠવતાં :
`= (5xy - 3xy) + (-2yz - 5yz) + (-2zx + 7zx) + 10xyz`
`= 2xy - 7yz + 5zx + 10xyz`
(c) `18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q` માંથી `4p^2q - 3pq + 5pq^2 - 8p + 7q - 10` બાદ કરો.
ઉકેલ - (c) :
`= (18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q) - (4p^2q - 3pq + 5pq^2 - 8p + 7q - 10)`
કૌંસ છોડતાં નિશાનીઓ બદલાશે :
`= 18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q - 4p^2q + 3pq - 5pq^2 + 8p - 7q + 10`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (5p^2q - 4p^2q) + (-2pq^2 - 5pq^2) + (5pq + 3pq) + (-11q - 7q) + (-3p + 8p) + (18 + 10)`
`= p^2q - 7pq^2 + 8pq - 18q + 5p + 28`
`= (18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q) - (4p^2q - 3pq + 5pq^2 - 8p + 7q - 10)`
કૌંસ છોડતાં નિશાનીઓ બદલાશે :
`= 18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q - 4p^2q + 3pq - 5pq^2 + 8p - 7q + 10`
સજાતીય પદો સાથે ગોઠવતાં :
`= (5p^2q - 4p^2q) + (-2pq^2 - 5pq^2) + (5pq + 3pq) + (-11q - 7q) + (-3p + 8p) + (18 + 10)`
`= p^2q - 7pq^2 + 8pq - 18q + 5p + 28`
✦ સ્વાધ્યાય 8.2 (std 8 Maths chapter 8.2 baijik padavalio ane nityasam swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલી એકપદીઓની જોડનો ગુણાકાર શોધો :
(i) `4, 7p` : `= 4 \times 7p = (4 \times 7) \times p =` `28p`
(ii) `-4p, 7p` : `= (-4p) \times (7p) = (-4 \times 7) \times (p \times p) =` `-28p^2`
(iii) `-4p, 7pq` : `= (-4p) \times (7pq) = (-4 \times 7) \times (p \times p \times q) =` `-28p^2q`
(iv) `4p^3, -3p` : `= (4p^3) \times (-3p) = [4 \times (-3)] \times (p^3 \times p) =` `-12p^4`
(v) `4p, 0` : `= 4p \times 0 =` `0`
(ii) `-4p, 7p` : `= (-4p) \times (7p) = (-4 \times 7) \times (p \times p) =` `-28p^2`
(iii) `-4p, 7pq` : `= (-4p) \times (7pq) = (-4 \times 7) \times (p \times p \times q) =` `-28p^2q`
(iv) `4p^3, -3p` : `= (4p^3) \times (-3p) = [4 \times (-3)] \times (p^3 \times p) =` `-12p^4`
(v) `4p, 0` : `= 4p \times 0 =` `0`
2. લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈનાં માપ માટે નીચે આપેલી એકપદીની જોડનો ઉપયોગ કરીને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો :
સૂત્ર: `\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}`
(i) `(p, q)` : ક્ષેત્રફળ `= p \times q =` `pq`
(ii) `(10m, 5n)` : ક્ષેત્રફળ `= 10m \times 5n = (10 \times 5) \times (m \times n) =` `50mn`
(iii) `(20x^2, 5y^2)` : ક્ષેત્રફળ `= 20x^2 \times 5y^2 = (20 \times 5) \times (x^2 \times y^2) =` `100x^2y^2`
(iv) `(4x, 3x^2)` : ક્ષેત્રફળ `= 4x \times 3x^2 = (4 \times 3) \times (x \times x^2) =` `12x^3`
(v) `(3mn, 4np)` : ક્ષેત્રફળ `= 3mn \times 4np = (3 \times 4) \times (m \times n \times n \times p) =` `12mn^2p`
(i) `(p, q)` : ક્ષેત્રફળ `= p \times q =` `pq`
(ii) `(10m, 5n)` : ક્ષેત્રફળ `= 10m \times 5n = (10 \times 5) \times (m \times n) =` `50mn`
(iii) `(20x^2, 5y^2)` : ક્ષેત્રફળ `= 20x^2 \times 5y^2 = (20 \times 5) \times (x^2 \times y^2) =` `100x^2y^2`
(iv) `(4x, 3x^2)` : ક્ષેત્રફળ `= 4x \times 3x^2 = (4 \times 3) \times (x \times x^2) =` `12x^3`
(v) `(3mn, 4np)` : ક્ષેત્રફળ `= 3mn \times 4np = (3 \times 4) \times (m \times n \times n \times p) =` `12mn^2p`
3. ગુણાકાર કરી કોષ્ટક પૂર્ણ કરો :
• `2x \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `4x^2, -10xy, 6x^3, -8x^2y, 14x^3y, -18x^3y^2`
• `-5y \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-10xy, 25y^2, -15x^2y, 20xy^2, -35x^2y^2, 45x^2y^3`
• `3x^2 \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `6x^3, -15x^2y, 9x^4, -12x^3y, 21x^4y, -27x^4y^2`
• `-4xy \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-8x^2y, 20xy^2, -12x^3y, 16x^2y^2, -28x^3y^2, 36x^3y^3`
• `7x^2y \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `14x^3y, -35x^2y^2, 21x^4y, -28x^3y^2, 49x^4y^2, -63x^4y^3`
• `-9x^2y^2 \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-18x^3y^2, 45x^2y^3, -27x^4y^2, 36x^3y^3, -63x^4y^3, 81x^4y^4`
• `-5y \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-10xy, 25y^2, -15x^2y, 20xy^2, -35x^2y^2, 45x^2y^3`
• `3x^2 \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `6x^3, -15x^2y, 9x^4, -12x^3y, 21x^4y, -27x^4y^2`
• `-4xy \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-8x^2y, 20xy^2, -12x^3y, 16x^2y^2, -28x^3y^2, 36x^3y^3`
• `7x^2y \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `14x^3y, -35x^2y^2, 21x^4y, -28x^3y^2, 49x^4y^2, -63x^4y^3`
• `-9x^2y^2 \times (2x, -5y, 3x^2, -4xy, 7x^2y, -9x^2y^2) =` `-18x^3y^2, 45x^2y^3, -27x^4y^2, 36x^3y^3, -63x^4y^3, 81x^4y^4`
4. લંબઘનની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે નીચે મુજબ છે, તેના પરથી ઘનફળ શોધો :
સૂત્ર: `\text{લંબઘનનું ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}`
(i) `5a, 3a^2, 7a^4` :
`= 5a \times 3a^2 \times 7a^4 = (5 \times 3 \times 7) \times (a \times a^2 \times a^4) =` `105a^7`
(ii) `2p, 4q, 8r` :
`= 2p \times 4q \times 8r = (2 \times 4 \times 8) \times (p \times q \times r) =` `64pqr`
(iii) `xy, 2x^2y, 2xy^2` :
`= xy \times 2x^2y \times 2xy^2 = (1 \times 2 \times 2) \times (x \cdot x^2 \cdot x)(y \cdot y \cdot y^2) =` `4x^4y^4`
(iv) `a, 2b, 3c` :
`= a \times 2b \times 3c = (1 \times 2 \times 3) \times (a \times b \times c) =` `6abc`
(i) `5a, 3a^2, 7a^4` :
`= 5a \times 3a^2 \times 7a^4 = (5 \times 3 \times 7) \times (a \times a^2 \times a^4) =` `105a^7`
(ii) `2p, 4q, 8r` :
`= 2p \times 4q \times 8r = (2 \times 4 \times 8) \times (p \times q \times r) =` `64pqr`
(iii) `xy, 2x^2y, 2xy^2` :
`= xy \times 2x^2y \times 2xy^2 = (1 \times 2 \times 2) \times (x \cdot x^2 \cdot x)(y \cdot y \cdot y^2) =` `4x^4y^4`
(iv) `a, 2b, 3c` :
`= a \times 2b \times 3c = (1 \times 2 \times 3) \times (a \times b \times c) =` `6abc`
5. ગુણાકાર શોધો :
(i) `xy, yz, zx` : `= xy \times yz \times zx = (x \times x)(y \times y)(z \times z) =` `x^2y^2z^2`
(ii) `a, -a^2, a^3` : `= a \times (-a^2) \times a^3 = -(a^{1+2+3}) =` `-a^6`
(iii) `2, 4y, 8y^2, 16y^3` : `= (2 \times 4 \times 8 \times 16) \times (y \times y^2 \times y^3) =` `1024y^6`
(iv) `a, 2b, 3c, 6abc` : `= (1 \times 2 \times 3 \times 6) \times (a \cdot a)(b \cdot b)(c \cdot c) =` `36a^2b^2c^2`
(v) `m, -mn, mnp` : `= m \times (-mn) \times mnp = -(m \cdot m \cdot m)(n \cdot n)(p) =` `-m^3n^2p`
(ii) `a, -a^2, a^3` : `= a \times (-a^2) \times a^3 = -(a^{1+2+3}) =` `-a^6`
(iii) `2, 4y, 8y^2, 16y^3` : `= (2 \times 4 \times 8 \times 16) \times (y \times y^2 \times y^3) =` `1024y^6`
(iv) `a, 2b, 3c, 6abc` : `= (1 \times 2 \times 3 \times 6) \times (a \cdot a)(b \cdot b)(c \cdot c) =` `36a^2b^2c^2`
(v) `m, -mn, mnp` : `= m \times (-mn) \times mnp = -(m \cdot m \cdot m)(n \cdot n)(p) =` `-m^3n^2p`
✦ સ્વાધ્યાય 8.3 (std 8 Maths chapter 8.3 baijik padavalio ane nityasam swadhyay) ✦
1. નીચેની પદાવલિઓની દરેક જોડ માટે ગુણાકાર મેળવો :
(i) `4p, q + r` : `= 4p(q + r) = (4p \times q) + (4p \times r) =` `4pq + 4pr`
(ii) `ab, a - b` : `= ab(a - b) = (ab \times a) - (ab \times b) =` `a^2b - ab^2`
(iii) `a + b, 7a^2b^2` : `= 7a^2b^2(a + b) = (7a^2b^2 \times a) + (7a^2b^2 \times b) =` `7a^3b^2 + 7a^2b^3`
(iv) `a^2 - 9, 4a` : `= 4a(a^2 - 9) = (4a \times a^2) - (4a \times 9) =` `4a^3 - 36a`
(v) `pq + qr + rp, 0` : `= (pq + qr + rp) \times 0 =` `0`
(ii) `ab, a - b` : `= ab(a - b) = (ab \times a) - (ab \times b) =` `a^2b - ab^2`
(iii) `a + b, 7a^2b^2` : `= 7a^2b^2(a + b) = (7a^2b^2 \times a) + (7a^2b^2 \times b) =` `7a^3b^2 + 7a^2b^3`
(iv) `a^2 - 9, 4a` : `= 4a(a^2 - 9) = (4a \times a^2) - (4a \times 9) =` `4a^3 - 36a`
(v) `pq + qr + rp, 0` : `= (pq + qr + rp) \times 0 =` `0`
2. કોષ્ટક પૂર્ણ કરો (ગુણાકાર શોધો) :
(i) `a \times (b + c + d) =` `ab + ac + ad`
(ii) `(x + y - 5) \times 5xy = 5xy(x) + 5xy(y) - 5xy(5) =` `5x^2y + 5xy^2 - 25xy`
(iii) `p \times (6p^2 - 7p + 5) =` `6p^3 - 7p^2 + 5p`
(iv) `4p^2q^2 \times (p^2 - q^2) = 4p^2q^2(p^2) - 4p^2q^2(q^2) =` `4p^4q^2 - 4p^2q^4`
(v) `(a + b + c) \times abc =` `a^2bc + ab^2c + abc^2`
(ii) `(x + y - 5) \times 5xy = 5xy(x) + 5xy(y) - 5xy(5) =` `5x^2y + 5xy^2 - 25xy`
(iii) `p \times (6p^2 - 7p + 5) =` `6p^3 - 7p^2 + 5p`
(iv) `4p^2q^2 \times (p^2 - q^2) = 4p^2q^2(p^2) - 4p^2q^2(q^2) =` `4p^4q^2 - 4p^2q^4`
(v) `(a + b + c) \times abc =` `a^2bc + ab^2c + abc^2`
3. ગુણાકાર શોધો :
(i) `(a^2) \times (2a^{22}) \times (4a^{26})`
`= (1 \times 2 \times 4) \times (a^{2 + 22 + 26}) =` `8a^{50}`
(ii) `(\frac{2}{3}xy) \times (-\frac{9}{10}x^2y^2)`
`= [\frac{2}{3} \times (-\frac{9}{10})] \times (x \cdot x^2)(y \cdot y^2) = (-\frac{18}{30}) x^3y^3 =` `-\frac{3}{5}x^3y^3`
(iii) `(-\frac{10}{3}pq^3) \times (\frac{6}{5}p^3q)`
`= [-\frac{10}{3} \times \frac{6}{5}] \times (p \cdot p^3)(q^3 \cdot q) = (-2 \times 2) p^4q^4 =` `-4p^4q^4`
(iv) `x \times x^2 \times x^3 \times x^4`
`= x^{1 + 2 + 3 + 4} =` `x^{10}`
`= (1 \times 2 \times 4) \times (a^{2 + 22 + 26}) =` `8a^{50}`
(ii) `(\frac{2}{3}xy) \times (-\frac{9}{10}x^2y^2)`
`= [\frac{2}{3} \times (-\frac{9}{10})] \times (x \cdot x^2)(y \cdot y^2) = (-\frac{18}{30}) x^3y^3 =` `-\frac{3}{5}x^3y^3`
(iii) `(-\frac{10}{3}pq^3) \times (\frac{6}{5}p^3q)`
`= [-\frac{10}{3} \times \frac{6}{5}] \times (p \cdot p^3)(q^3 \cdot q) = (-2 \times 2) p^4q^4 =` `-4p^4q^4`
(iv) `x \times x^2 \times x^3 \times x^4`
`= x^{1 + 2 + 3 + 4} =` `x^{10}`
4. સાદું રૂપ આપી કિંમત શોધો :
(a) `3x(4x - 5) + 3` નું સાદું રૂપ આપો અને (i) `x = 3`, (ii) `x = 1/2` માટે કિંમત શોધો.
સાદું રૂપ: `= (3x \times 4x) - (3x \times 5) + 3 = 12x^2 - 15x + 3`
(i) `x = 3` મૂકતાં :
`= 12(3)^2 - 15(3) + 3`
`= 12(9) - 45 + 3`
`= 108 - 45 + 3`
`= 63 + 3 = 66`
(ii) `x = 1/2` મૂકતાં :
`= 12(1/2)^2 - 15(1/2) + 3`
`= 12(1/4) - 15/2 + 3`
`= 3 - 15/2 + 3`
`= 6 - 15/2`
`= (12 - 15) / 2 = -3/2`
(i) `x = 3` મૂકતાં :
`= 12(3)^2 - 15(3) + 3`
`= 12(9) - 45 + 3`
`= 108 - 45 + 3`
`= 63 + 3 = 66`
(ii) `x = 1/2` મૂકતાં :
`= 12(1/2)^2 - 15(1/2) + 3`
`= 12(1/4) - 15/2 + 3`
`= 3 - 15/2 + 3`
`= 6 - 15/2`
`= (12 - 15) / 2 = -3/2`
(b) `a(a^2 + a + 1) + 5` નું સાદું રૂપ આપો અને (i) `a = 0`, (ii) `a = 1`, (iii) `a = -1` માટે કિંમત શોધો.
સાદું રૂપ: `= a^3 + a^2 + a + 5`
(i) `a = 0` માટે : `= 0^3 + 0^2 + 0 + 5 =` `5`
(ii) `a = 1` માટે : `= 1^3 + 1^2 + 1 + 5 = 1 + 1 + 1 + 5 =` `8`
(iii) `a = -1` માટે : `= (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 5 = -1 + 1 - 1 + 5 =` `4`
(i) `a = 0` માટે : `= 0^3 + 0^2 + 0 + 5 =` `5`
(ii) `a = 1` માટે : `= 1^3 + 1^2 + 1 + 5 = 1 + 1 + 1 + 5 =` `8`
(iii) `a = -1` માટે : `= (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 5 = -1 + 1 - 1 + 5 =` `4`
5. સરવાળો અને બાદબાકી કરો :
(a) સરવાળો કરો : `p(p - q), q(q - r)` અને `r(r - p)`
કૌંસ છોડતાં :
`p(p - q) = p^2 - pq`
`q(q - r) = q^2 - qr`
`r(r - p) = r^2 - rp`
સરવાળો `= (p^2 - pq) + (q^2 - qr) + (r^2 - rp)`
`= p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - rp`
`p(p - q) = p^2 - pq`
`q(q - r) = q^2 - qr`
`r(r - p) = r^2 - rp`
સરવાળો `= (p^2 - pq) + (q^2 - qr) + (r^2 - rp)`
`= p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - rp`
(b) સરવાળો કરો : `2x(z - x - y)` અને `2y(z - y - x)`
પ્રથમ પદાવલિ `= 2xz - 2x^2 - 2xy`
બીજી પદાવલિ `= 2yz - 2y^2 - 2xy`
સરવાળો `= (2xz - 2x^2 - 2xy) + (2yz - 2y^2 - 2xy)`
સજાતીય પદો જોડતાં :
`= -2x^2 - 2y^2 - 2xy - 2xy + 2yz + 2xz`
`= -2x^2 - 2y^2 - 4xy + 2yz + 2xz`
બીજી પદાવલિ `= 2yz - 2y^2 - 2xy`
સરવાળો `= (2xz - 2x^2 - 2xy) + (2yz - 2y^2 - 2xy)`
સજાતીય પદો જોડતાં :
`= -2x^2 - 2y^2 - 2xy - 2xy + 2yz + 2xz`
`= -2x^2 - 2y^2 - 4xy + 2yz + 2xz`
(c) બાદબાકી કરો : `4l(10n - 3m + 2l)` માંથી `3l(l - 4m + 5n)`
પ્રથમ પદાવલિ `= 40ln - 12lm + 8l^2`
બીજી પદાવલિ `= 3l^2 - 12lm + 15ln`
બાદબાકી `= (8l^2 - 12lm + 40ln) - (3l^2 - 12lm + 15ln)`
`= 8l^2 - 12lm + 40ln - 3l^2 + 12lm - 15ln`
`= (8l^2 - 3l^2) + (-12lm + 12lm) + (40ln - 15ln)`
`= 5l^2 + 0 + 25ln`
`= 5l^2 + 25ln`
બીજી પદાવલિ `= 3l^2 - 12lm + 15ln`
બાદબાકી `= (8l^2 - 12lm + 40ln) - (3l^2 - 12lm + 15ln)`
`= 8l^2 - 12lm + 40ln - 3l^2 + 12lm - 15ln`
`= (8l^2 - 3l^2) + (-12lm + 12lm) + (40ln - 15ln)`
`= 5l^2 + 0 + 25ln`
`= 5l^2 + 25ln`
(d) બાદબાકી કરો : `4c(-a + b + c)` માંથી `[3a(a + b + c) - 2b(a - b + c)]`
જેમાંથી બાદ કરવાનું છે તે પદાવલિ :
`= 4c(-a + b + c) = -4ac + 4bc + 4c^2`
જે પદાવલિ બાદ કરવાની છે તે :
`= 3a(a + b + c) - 2b(a - b + c)`
`= (3a^2 + 3ab + 3ac) - (2ab - 2b^2 + 2bc)`
`= 3a^2 + 3ab + 3ac - 2ab + 2b^2 - 2bc`
`= 3a^2 + 2b^2 + ab - 2bc + 3ac`
હવે બાદબાકી કરતાં :
`= (-4ac + 4bc + 4c^2) - (3a^2 + 2b^2 + ab - 2bc + 3ac)`
`= -4ac + 4bc + 4c^2 - 3a^2 - 2b^2 - ab + 2bc - 3ac`
`= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 - ab + (4bc + 2bc) + (-4ac - 3ac)`
`= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 - ab + 6bc - 7ac`
`= 4c(-a + b + c) = -4ac + 4bc + 4c^2`
જે પદાવલિ બાદ કરવાની છે તે :
`= 3a(a + b + c) - 2b(a - b + c)`
`= (3a^2 + 3ab + 3ac) - (2ab - 2b^2 + 2bc)`
`= 3a^2 + 3ab + 3ac - 2ab + 2b^2 - 2bc`
`= 3a^2 + 2b^2 + ab - 2bc + 3ac`
હવે બાદબાકી કરતાં :
`= (-4ac + 4bc + 4c^2) - (3a^2 + 2b^2 + ab - 2bc + 3ac)`
`= -4ac + 4bc + 4c^2 - 3a^2 - 2b^2 - ab + 2bc - 3ac`
`= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 - ab + (4bc + 2bc) + (-4ac - 3ac)`
`= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 - ab + 6bc - 7ac`
✦ સ્વાધ્યાય 8.4 (std 8 Maths chapter 8.4 baijik padavalio ane nityasam swadhyay) ✦
1. દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરો :
(i) `(2x + 5)` અને `(4x - 3)`
`= 2x(4x - 3) + 5(4x - 3)`
`= (2x \times 4x) - (2x \times 3) + (5 \times 4x) - (5 \times 3)`
`= 8x^2 - 6x + 20x - 15`
`= 8x^2 + 14x - 15`
`= (2x \times 4x) - (2x \times 3) + (5 \times 4x) - (5 \times 3)`
`= 8x^2 - 6x + 20x - 15`
`= 8x^2 + 14x - 15`
(ii) `(y - 8)` અને `(3y - 4)`
`= y(3y - 4) - 8(3y - 4)`
`= 3y^2 - 4y - 24y + 32`
`= 3y^2 - 28y + 32`
`= 3y^2 - 4y - 24y + 32`
`= 3y^2 - 28y + 32`
(iii) `(2.5l - 0.5m)` અને `(2.5l + 0.5m)`
`= 2.5l(2.5l + 0.5m) - 0.5m(2.5l + 0.5m)`
`= 6.25l^2 + 1.25lm - 1.25lm - 0.25m^2`
`= 6.25l^2 - 0.25m^2`
`= 6.25l^2 + 1.25lm - 1.25lm - 0.25m^2`
`= 6.25l^2 - 0.25m^2`
(iv) `(a + 3b)` અને `(x + 5)`
`= a(x + 5) + 3b(x + 5)`
`= ax + 5a + 3bx + 15b`
`= ax + 5a + 3bx + 15b`
(v) `(2pq + 3q^2)` અને `(3pq - 2q^2)`
`= 2pq(3pq - 2q^2) + 3q^2(3pq - 2q^2)`
`= 6p^2q^2 - 4pq^3 + 9pq^3 - 6q^4`
`= 6p^2q^2 + 5pq^3 - 6q^4`
`= 6p^2q^2 - 4pq^3 + 9pq^3 - 6q^4`
`= 6p^2q^2 + 5pq^3 - 6q^4`
(vi) `(\frac{3}{4}a^2 + 3b^2)` અને `4(a^2 - \frac{2}{3}b^2)`
બીજી પદાવલિ: `4(a^2 - \frac{2}{3}b^2) = 4a^2 - \frac{8}{3}b^2`
ગુણાકાર `= (\frac{3}{4}a^2 + 3b^2) \times (4a^2 - \frac{8}{3}b^2)`
`= \frac{3}{4}a^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2) + 3b^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2)`
`= (\frac{3}{4} \times 4)a^4 - (\frac{3}{4} \times \frac{8}{3})a^2b^2 + (3 \times 4)a^2b^2 - (3 \times \frac{8}{3})b^4`
`= 3a^4 - 2a^2b^2 + 12a^2b^2 - 8b^4`
`= 3a^4 + 10a^2b^2 - 8b^4`
ગુણાકાર `= (\frac{3}{4}a^2 + 3b^2) \times (4a^2 - \frac{8}{3}b^2)`
`= \frac{3}{4}a^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2) + 3b^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2)`
`= (\frac{3}{4} \times 4)a^4 - (\frac{3}{4} \times \frac{8}{3})a^2b^2 + (3 \times 4)a^2b^2 - (3 \times \frac{8}{3})b^4`
`= 3a^4 - 2a^2b^2 + 12a^2b^2 - 8b^4`
`= 3a^4 + 10a^2b^2 - 8b^4`
2. ગુણાકાર શોધો :
(i) `(5 - 2x)(3 + x)`
`= 5(3 + x) - 2x(3 + x)`
`= 15 + 5x - 6x - 2x^2`
`= 15 - x - 2x^2`
`= 15 + 5x - 6x - 2x^2`
`= 15 - x - 2x^2`
(ii) `(x + 7y)(7x - y)`
`= x(7x - y) + 7y(7x - y)`
`= 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2`
`= 7x^2 + 48xy - 7y^2`
`= 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2`
`= 7x^2 + 48xy - 7y^2`
(iii) `(a^2 + b)(a + b^2)`
`= a^2(a + b^2) + b(a + b^2)`
`= a^3 + a^2b^2 + ab + b^3`
`= a^3 + a^2b^2 + ab + b^3`
(iv) `(p^2 - q^2)(2p + q)`
`= p^2(2p + q) - q^2(2p + q)`
`= 2p^3 + p^2q - 2pq^2 - q^3`
`= 2p^3 + p^2q - 2pq^2 - q^3`
3. સાદું રૂપ આપો :
(i) `(x^2 - 5)(x + 5) + 25`
`= x^2(x + 5) - 5(x + 5) + 25`
`= x^3 + 5x^2 - 5x - 25 + 25`
`= x^3 + 5x^2 - 5x`
`= x^3 + 5x^2 - 5x - 25 + 25`
`= x^3 + 5x^2 - 5x`
(ii) `(a^2 + 5)(b^3 + 3) + 5`
`= a^2(b^3 + 3) + 5(b^3 + 3) + 5`
`= a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 15 + 5`
`= a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 20`
`= a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 15 + 5`
`= a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 20`
(iii) `(t + s^2)(t^2 - s)`
`= t(t^2 - s) + s^2(t^2 - s)`
`= t^3 - st + s^2t^2 - s^3`
`= t^3 - st + s^2t^2 - s^3`
(iv) `(a + b)(c - d) + (a - b)(c + d) + 2(ac + bd)`
`= [a(c - d) + b(c - d)] + [a(c + d) - b(c + d)] + 2ac + 2bd`
`= (ac - ad + bc - bd) + (ac + ad - bc - bd) + 2ac + 2bd`
`= ac + ac + 2ac - ad + ad + bc - bc - bd - bd + 2bd`
`= 4ac + 0 + 0 - 2bd + 2bd`
`= 4ac`
`= (ac - ad + bc - bd) + (ac + ad - bc - bd) + 2ac + 2bd`
`= ac + ac + 2ac - ad + ad + bc - bc - bd - bd + 2bd`
`= 4ac + 0 + 0 - 2bd + 2bd`
`= 4ac`
(v) `(x + y)(2x + y) + (x + 2y)(x - y)`
`= [x(2x + y) + y(2x + y)] + [x(x - y) + 2y(x - y)]`
`= (2x^2 + xy + 2xy + y^2) + (x^2 - xy + 2xy - 2y^2)`
`= (2x^2 + 3xy + y^2) + (x^2 + xy - 2y^2)`
`= (2x^2 + x^2) + (3xy + xy) + (y^2 - 2y^2)`
`= 3x^2 + 4xy - y^2`
`= (2x^2 + xy + 2xy + y^2) + (x^2 - xy + 2xy - 2y^2)`
`= (2x^2 + 3xy + y^2) + (x^2 + xy - 2y^2)`
`= (2x^2 + x^2) + (3xy + xy) + (y^2 - 2y^2)`
`= 3x^2 + 4xy - y^2`
(vi) `(x + y)(x^2 - xy + y^2)`
`= x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2)`
`= x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3`
`= x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3`
`= x^3 + 0 + 0 + y^3`
`= x^3 + y^3`
`= x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3`
`= x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3`
`= x^3 + 0 + 0 + y^3`
`= x^3 + y^3`
(vii) `(1.5x - 4y)(1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y`
`= 1.5x(1.5x + 4y + 3) - 4y(1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y`
`= 2.25x^2 + 6.0xy + 4.5x - 6.0xy - 16y^2 - 12y - 4.5x + 12y`
`= 2.25x^2 - 16y^2 + (6.0xy - 6.0xy) + (4.5x - 4.5x) + (-12y + 12y)`
`= 2.25x^2 - 16y^2`
`= 2.25x^2 + 6.0xy + 4.5x - 6.0xy - 16y^2 - 12y - 4.5x + 12y`
`= 2.25x^2 - 16y^2 + (6.0xy - 6.0xy) + (4.5x - 4.5x) + (-12y + 12y)`
`= 2.25x^2 - 16y^2`
(viii) `(a + b + c)(a + b - c)`
`= a(a + b - c) + b(a + b - c) + c(a + b - c)`
`= a^2 + ab - ac + ab + b^2 - bc + ac + bc - c^2`
સજાતીય પદો જોડતાં :
`= a^2 + b^2 - c^2 + (ab + ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc)`
`= a^2 + b^2 - c^2 + 2ab`
`= a^2 + ab - ac + ab + b^2 - bc + ac + bc - c^2`
સજાતીય પદો જોડતાં :
`= a^2 + b^2 - c^2 + (ab + ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc)`
`= a^2 + b^2 - c^2 + 2ab`
إرسال تعليق