ધોરણ-8 [ગણિત] 3. ચતુષ્કોણની સમજ [std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj] સ્વાધ્યાયના અભ્યાસ માટેનું બધુ સાહિત્ય અહીં એકત્ર કરવામાં આવેલું છે. જેમ કે અગત્યના મુદ્દાઓ, સ્વાધ્યાયની સમજૂતી, સ્વાધ્યાયના દાખલાઓ, સ્વ-અધ્યયનપોથીના ઉકેલો, વિદ્યાર્થીઓ માટે પ્રશ્ન પેપર. દરેક એકમના Videos, Quiz તેમજ Notes તમને eclassguru.blogspot.com પર મળી જશે. [dhoran 8 ganit swadhyay 3. chatushkonani samaj] એકમને લગતા તમારા પ્રશ્નો અમને નીચે comment માં જણાવજો. અમે જવાબ આપવા પ્રયત્ન કરીશું.
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes
std 8 Maths chapter 3.1 chatushkonani samaj swadhyay
1. અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલ છે.
પ્રત્યેકનું નીચે દર્શાવેલ આધાર પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરો.
ઉકેલ - (a) સરળ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (b) સરળ બંધ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (c) બહુકોણ : (1) , (2)
ઉકેલ - (d) બહિર્મુખ બહુકોણ : (2)
ઉકેલ - (e) અંતર્મુખ બહુકોણ : (1)
2. નિયમિત બહુકોણ એટલે શું ? એવા નિયમિત બહુકોણનાં નામ આપો જેમાં :
ઉકેલ - 2 : જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ અને ખૂણાઓનાં માપ સરખા હોય તેને નિયમિત બહુકોણ કહે છે.
ઉકેલ - (i) 3 બાજુ હોય : સમબાજુ ત્રિકોણ
ઉકેલ - (ii) 4 બાજુ હોય : ચોરસ
ઉકેલ - (iii) 6 બાજુ હોય : નિયમિત ષટ્કોણ
std 8 Maths chapter 3.2 chatushkonani samaj swadhyay
1. નીચેની આકૃતિઓમાં x શોધો.
ઉકેલ - (a) :
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો=360°
x+125°+125°=360°
x+250°=360°
x=360°-250°
x=110°
ઉકેલ - (b) :
આકૃતિમાં એક બહિષ્કોણ 90° છે અને બીજો અંતઃકોણ 90° છે.
આકૃતિમાં બે બહિષ્કોણ 90°ના છે.
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો=360°
x+90°+60°+90°+70°=360°
x+310°=360°
x=360°-310°
x=50°
2. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું માપ શોધો.
(a) 9 બાજુ
ઉકેલ - (a) 9 બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને 9 બાજુઓ છે. તેથી n=9 લઈશું.
9 બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા 9 હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴9 બાજુવાળા બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ=360°n
=360°9
=40°
(b) 15 બાજુ
ઉકેલ - (b) 15 બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને 15 બાજુઓ છે. તેથી n=15 લઈશું.
15 બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા 15 હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴15 બાજુવાળા બહુકોણનાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ=360°n
=360°15
=24°
3. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ 24° થાય ?
ઉકેલ - 3 : અહીં, બહુકોણ નિયમિત છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
હવે, આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ 24° છે.
∴આ બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા=360°24°
=15
આ નિયમિત બહુકોણને જેટલા ખૂણા તેટલી બાજુઓ હોય.
∴ આ બહુકોણને કુલ 15 બાજુઓ છે.
4. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ 165° થાય ?
ઉકેલ - 4 : બહુકોણ નિયમિત છે અને તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ 165° છે.
∴ બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ=180°-165°=15°
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°15°
=24
આ બહુકોણને કુલ 24 બાજુઓ છે.
5. (a) એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ 22° હોય ?
ઉકેલ - (a) : આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ 22° છે.
∴બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°22°
=180°11°
જો આ બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
અહીં 180°11° એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
∴ ના, નિયમિત બહુકોણ બહિષ્કોણનું માપ 22° ન હોઈ શકે.
5. (b) શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (b) : આ બહુકોણના અંદરના ખૂણાનું માપ 22° છે.
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ=180°-22°=158° થાય.
બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°158°=180°79°
જો બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
180°79° એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
∴ ના, નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું માપ 22° ન હોઈ શકે.
6. (a) નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (a) : નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 3 હોય.
∴3 બાજુઓવાળો નિયમિત બહુકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ 60° છે.
નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ ઓછામાં ઓછું 60° હોઈ શકે.
6. (b) નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે ?
ઉકેલ - (b) : નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ+તેના બહિષ્કોણનું માપ=180°
હવે નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ=60°
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ=180°-60°
=120° હોય.
std 8 Maths chapter 3.3 chatushkonani samaj swadhyay
1. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD આપેલ છે. દરેક વિધાનને તેમાં ઉપયોગ કરવામાં આવેલ વ્યાખ્યા અથવા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પૂરું કરો.
(i) AD=BC
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય છે.
(ii) ∠DCB=∠DAB
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય છે.
(iii) OC=OA
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
(iv) m∠DAB+m∠CDA=180°
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેના બે ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
2. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં x,y અને z નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ - (i) : ◻ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴∠B=∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=100°
y+z=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
100°+z=180°
z=180°-100°
z=80°
x=z (∵ સામસામેના ખૂણા)
x=80°
આમ, x=80°,y=100° અને z=80° થશે.
ઉકેલ - (ii) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
m∠D+m∠A=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
50°+x=180°
x=180°-50°
x=130°
x=y (∵ સામસામેના ખૂણા)
y=130°
m∠B=50° (∵∠A અને ∠C સામસામેના ખૂણા)
m∠B+z=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
50°+z=180°
z=180°-50°
z=130°
આમ, x=130°,y=130° અને z=130° થશે.
ઉકેલ - (iii) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∠AMB કાટખૂણો છે.
∴ m∠AMB=90°
∴ m∠DMC=90° (∵ અભિકોણ)
x=m∠DMC
x= 90°
∆DMCના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
∴y+90°+30°=180°
∴y+120°=180°
∴y=180°-120°
∴y=60°
◻ABCDમાં \overline{DC}∥\overline{AB} અને તેમની છેદિકા \overline{BD} છે.
∴y=z (∵યુગ્મકોણ)
∴z=60° (∵y=60°)
આમ, x=90°,y=60° અને z=60° થશે.
ઉકેલ - (iv) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∴∠D=∠B (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=80°
m∠A+m∠D=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
x+y=180°
x+80°=180°
x=180°-80°
x=100°
m∠A=m∠BCD (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴100°=m∠BCD
z+m∠BCD=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
z+100°=180°
z=180°-100°
z=80°
આમ, x=100°,y=80° અને z=80° થશે.
ઉકેલ - (v) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∴∠B=∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=112°
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
(40°+z)+112°=180°
z+152°=180°
z=180°-152°
z=28°
◻ABCDમાં \overline{DC}∥\overline{AB} અને તેમની છેદિકા \overline{AC} છે.
∴x=z
∴x=28°
આમ, x=28°,y=112° અને z=28° થશે.
3. શું ચતુષ્કોણ ABCD, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે, જો...
(i) ∠D+∠B=180° ?
ઉકેલ - (i) : ના, ∠D અને ∠B એ પાસપાસેના ખૂણાઓ નથી. એટલે ∠D+∠B=180° થાય નહીં. માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(ii) AB=DC=8 સેમી, AD=4 સેમી અને BC=4.4 સેમી ?
ઉકેલ - (ii) : ના, AD≠BC (∵AD=4 સેમી અને BC=4.4 સેમી). માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(iii) ∠A=70° અને ∠C=65° ?
ઉકેલ - (iii) : ના, m∠A≠m∠C (∵m∠A=70° અને m∠C=65°). માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
4. એક એવા ચતુષ્કોણની કાચી (Rough) આકૃતિ દોરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ના હોય પરંતુ તેમાં સામસામેના ખુણાની એક જોડ સમાન હોય.
ઉકેલ - 4 : બાજુમાં એવા ચતુષ્કોણ ABCD ની આકૃતિ દોરી છે. જેમાં ∠B=∠D છે. છતાં ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
5. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે પાસપાસેના ખૂણાના માપનો ગુણોત્તર 3:2 છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખુણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 5 : ધારો કે, ◻ABCDમાં ∠A અને ∠Bનું માપનું પ્રમાણ 3:2 છે.
∴∠A એ 3x થશે અને ∠B એ 2x થશે.
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
3x+2x=180°
5x=180°
x=(180°)/5
x=(36×5)/5
x=36°
m∠A=3x
m∠A=3×36°
m∠A=108°
m∠B=2x
m∠B=2×36°
m∠B=72°
∴m∠A=m∠C અને m∠B=m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴m∠C=108° અને m∠D=72°
આમ, ◻ABCDમાં ∠A=108°, ∠B=72°, ∠C=108° અને ∠D=72° થાય છે.
6. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાની એક જોડના ખૂણાના માપ સમાન છે. તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 6 : ◻ABCD એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જેના પાસપાસેના બે ખૂણા ∠A અને ∠B એકરૂપ છે.
∴∠A=∠B
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
m∠A+m∠A=180° (∵m∠B=m∠A)
2m∠A=180°
m∠A=(180°)/2
m∠A=(90×2)/2
m∠A=90°
∴m∠B=90°
∴m∠A=m∠C અને m∠B=m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴m∠C=90° અને m∠D=90°
આમ, ◻ABCDમાં ∠A=90°, ∠B=90°, ∠C=90° અને ∠D=90° થાય છે. આથી આ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.
7. આકૃતિમાં એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x,y,z ખૂણાના માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.
ઉકેલ - 7 :
m∠HOP+m∠POA=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
m∠HOP+70°=180°
m∠HOP=180°-70°
m∠HOP=110°
∠HEP=∠HOP (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴x=110°
∴\overline{PO}∥\overline{EH} ની \overline{PH} છેદિકા છે.
∠OPH=∠PHE (∵ યુગ્મકોણ)
y=40°
∆HOP=180° (∵ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાના માપનો સરવાળો 180° થાય.)
m∠HOP+m∠OPH+m∠PHO=180°
x+y+z=180°
110°+40°+z=180°
150°+z=180°
z=180°-150°
z=30°
આમ, x=110°, y=40° અને z=30° થાય છે.
8. નીચેની આકૃતિ GUNS અને RUNS સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. x અને y શોધો. (લંબાઈ સેમીમાં છે.)
ઉકેલ - 8 :
(i) ◻GUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴GS=NU અને SN=GU (∵ સામસામેની બાજુઓ)
∴3x=18 અને 26=3y-1
3x=18
x=18/3
x=(6×3)/3
x=6
26=3y-1
26+1=3y
3y=27
y=27/3
y=(9×3)/3
y=9
આમ, x=6 સેમી અને y=9 સેમી.
(ii) ◻RUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
◻RUNSના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
∴y+7=20
y=20-7
y=13
x+y=16
x+13=16
x=16-13
x=3
આમ, x=3 સેમી અને y=13 સેમી.
9. ઉપરની આકૃતિમાં RISK અને CLUE સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો x શોધો.
ઉકેલ - 9 :
◻RISK એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
m∠R+m∠K=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
m∠R+120°=180°
m∠R=180°-120°
m∠R=60°
∠S=∠R (∵ સામસામેના ખૂણા)
m∠S=60°
◻CLUE એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∠E=∠L=70° (∵ સામસામેના ખૂણા)
∆ESQના ત્રણે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
m∠E+m∠S+m∠Q=180°
70°+60°+x=180°
130°+x=180°
x=180°-130°
x=50°
આમ, x=50° થાય છે.
10. નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે, તે સમજાવો. કઈ બે બાજુ પરસ્પર સમાંતર છે ?
ઉકેલ - 10 :
◻LMNKમાં m∠L+m∠M=80°+100°=180°
એટલે કે ◻LMNKમાં ∠L અને ∠M એ પૂરકકોણ છે.
પણ આ \overline{NM}∥\overline{KL} ને \overline{ML} છેદવાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે.
∴\overline{NM}∥\overline{KL}
◻LMNKમાં એક જ બાજુની જોડ \overline{NM}∥\overline{KL}છે. તેથી ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
11. આકૃતિ 3.27 માં, જો \overline{AB}∥\overline{DC} હોય, તો m∠C શોધો.
ઉકેલ - 11 :
◻ABCDમાં \overline{AB}∥\overline{DC} છે.
∴◻ABCD એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
\overline{AB}∥\overline{DC} ની છેદિકા \overline{BC} છે.
∴m∠B+m∠C=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
120°+m∠C=180°
m∠C=180°-120°
m∠C=60°
આમ, m∠C=60° થાય છે.
12. આકૃતિ 3.28 માં, જો \overline{SP}∥\overline{RQ} હોય, તો ∠P અને ∠Sનું માપ શોધો. (જો તમે m∠R શોધતા હોય, તો શું, m∠P શોધવાની અન્ય પદ્ધતિઓ હશે ?)
ઉકેલ - 12 :
◻PQRSમાં \overline{SP}∥\overline{RQ} છે.
∴◻PQRS એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
\overline{SP}∥\overline{RQ} ની છેદિકા \overline{PQ} છે.
∴m∠P+m∠Q=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
m∠P+130°=180°
m∠P=180°-130°
m∠P=50°
◻PQRSમાં ∠R કાટખૂણો છે.
\overline{SP}∥\overline{RQ} અને તેને \overline{RS} છેદે છે.
m∠S+m∠R=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
m∠S+90°=180°
m∠S=180°-90°
m∠S=90°
હા, m∠P શોધવાની અન્ય પદ્ધતિ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે, તે પરથી પણ ∠P અને ∠S શોધી શકીએ.
m∠P+m∠Q+m∠R+m∠S=360°
m∠P+130°+90°+90°=360°
m∠P+310°=360°
m∠P=360°-310°
m∠P=50°
આમ, m∠P=50° અને m∠S=90° થાય છે.
std 8 Maths chapter 3.4 chatushkonani samaj swadhyay
1. નીચેના વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો.
(a) દરેક લંબચોરસ ચોરસ છે. ❎
(b) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(c) દરેક ચોરસ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમજ લંબચોરસ પણ છે. ✅
(d) દરેક ચોરસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. ❎
(c) દરેક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ❎
(f) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. ✅
(g) દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(h) દરેક ચોરસ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
2. એવા ચતુષ્કોણનાં નામ આપો કે જેમાં :
(a) ચારેય બાજુની લંબાઈ સમાન હોય.
ઉકેલ - (a) : ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
(b) ચાર કાટખૂણા હોય.
ઉકેલ - (b) : ચોરસ અને લંબચોરસમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
3. કેવી રીતે એક ચોરસ એ
(i) ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (i) : ચોરસને ચાર ખૂણાઓ હોય છે તેથી તે ચતુષ્કોણ છે.
(ii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (ii) : ચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (iii) : ચોરસની બધી બાજુઓ સમાન છે તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iv) લંબચોરસ છે તે વિગતવાર સમજાવો.
ઉકેલ - (iv) : ચોરસમાં બધા ખૂણાઓ કાટખૂણા છે તેથી તે લંબચોરસ છે.
4. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વિકર્ણ ધરાવતાં ચતુષ્કોણનાં નામ આપો.
(i) પરસ્પર દુભાગે
ઉકેલ - (i) : જેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તેવા ચતુષ્કોણ (a) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (c) ચોરસ (d) લંબચોરસ છે.
(ii) પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય
ઉકેલ - (ii) : જેના વિકર્ણો પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમાન હોય
ઉકેલ - (iii) : જેના વિકર્ણો સમાન હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) લંબચોરસ છે.
5. લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે, સમજાવો.
ઉકેલ - 5 : લંબચોરસનાં દરેક ખૂણાનું માપ 180° કરતાં ઓછું છે અને તેના બંને વિકર્ણો લંબચોરસના અંદરના જ ભાગમાં હોય છે. તેથી લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
6. કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુનું મધ્યબિંદુ O છે. શિરોબિંદુઓ A,B અને Cથી બિંદુ O કેવી રીતે સમાન અંતરે આવે છે તે સમજાવો. (અહીં તૂટક રેખાઓ તમારી સહાયતા માટે દોરેલ છે.)
ઉકેલ - 6 :
આકૃતિમાં \overline{BO} ને D સુધી લંબાવો જેથી BO=OD થાય.
હવે, \overline{CD} અને \overline{AD} દોરો.
◻ABCD તૈયાર થયો.
◻ABCDમાં AO=OC (∵ O એ \overline{AC} નું મધ્યબિંદુ છે.)
તથા BO=OD
◻ABCDમાં વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં ∠B કાટખૂણો છે.
∴◻ABCD એ લંબચોરસ છે.
- અગત્યના મુદ્દાઓ
- સ્વાધ્યાયની સમજૂતી
- સ્વાધ્યાય 3.1
- સ્વાધ્યાય 3.2
- સ્વાધ્યાય 3.3
- સ્વાધ્યાય 3.4
- સ્વ-અધ્યયનપોથી
- પ્રશ્ન પેપર
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes, std 8 Maths ekam 3. chatushkonani samaj ni samjuti, std 8 Maths ch 3. chatushkonani samaj swadhyay na javabo (solutions), std 8 Maths path 3. chatushkonani samaj swadhyay pothi na javabo (solutions), std 8 Maths unit 3. chatushkonani samaj ni ekam kasoti.
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ ✦
std 8 Maths chapter 3.1 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.1 ✦
1. અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલ છે.પ્રત્યેકનું નીચે દર્શાવેલ આધાર પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરો.
ઉકેલ - (a) સરળ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (b) સરળ બંધ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (c) બહુકોણ : (1) , (2)
ઉકેલ - (d) બહિર્મુખ બહુકોણ : (2)
ઉકેલ - (e) અંતર્મુખ બહુકોણ : (1)
2. નિયમિત બહુકોણ એટલે શું ? એવા નિયમિત બહુકોણનાં નામ આપો જેમાં :
ઉકેલ - 2 : જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ અને ખૂણાઓનાં માપ સરખા હોય તેને નિયમિત બહુકોણ કહે છે.
ઉકેલ - (i) 3 બાજુ હોય : સમબાજુ ત્રિકોણ
ઉકેલ - (ii) 4 બાજુ હોય : ચોરસ
ઉકેલ - (iii) 6 બાજુ હોય : નિયમિત ષટ્કોણ
std 8 Maths chapter 3.2 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.2 ✦
1. નીચેની આકૃતિઓમાં x શોધો.ઉકેલ - (a) :
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો=360°
x+125°+125°=360°
x+250°=360°
x=360°-250°
x=110°
ઉકેલ - (b) :
આકૃતિમાં એક બહિષ્કોણ 90° છે અને બીજો અંતઃકોણ 90° છે.
આકૃતિમાં બે બહિષ્કોણ 90°ના છે.
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો=360°
x+90°+60°+90°+70°=360°
x+310°=360°
x=360°-310°
x=50°
2. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું માપ શોધો.
(a) 9 બાજુ
ઉકેલ - (a) 9 બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને 9 બાજુઓ છે. તેથી n=9 લઈશું.
9 બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા 9 હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴9 બાજુવાળા બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ=360°n
=360°9
=40°
(b) 15 બાજુ
ઉકેલ - (b) 15 બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને 15 બાજુઓ છે. તેથી n=15 લઈશું.
15 બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા 15 હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴15 બાજુવાળા બહુકોણનાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ=360°n
=360°15
=24°
3. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ 24° થાય ?
ઉકેલ - 3 : અહીં, બહુકોણ નિયમિત છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
હવે, આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ 24° છે.
∴આ બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા=360°24°
=15
આ નિયમિત બહુકોણને જેટલા ખૂણા તેટલી બાજુઓ હોય.
∴ આ બહુકોણને કુલ 15 બાજુઓ છે.
4. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ 165° થાય ?
ઉકેલ - 4 : બહુકોણ નિયમિત છે અને તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ 165° છે.
∴ બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ=180°-165°=15°
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
∴બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°15°
=24
આ બહુકોણને કુલ 24 બાજુઓ છે.
5. (a) એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ 22° હોય ?
ઉકેલ - (a) : આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ 22° છે.
∴બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°22°
=180°11°
જો આ બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
અહીં 180°11° એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
∴ ના, નિયમિત બહુકોણ બહિષ્કોણનું માપ 22° ન હોઈ શકે.
5. (b) શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (b) : આ બહુકોણના અંદરના ખૂણાનું માપ 22° છે.
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ=180°-22°=158° થાય.
બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા=360°158°=180°79°
જો બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
180°79° એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
∴ ના, નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું માપ 22° ન હોઈ શકે.
6. (a) નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (a) : નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 3 હોય.
∴3 બાજુઓવાળો નિયમિત બહુકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ 60° છે.
નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ ઓછામાં ઓછું 60° હોઈ શકે.
6. (b) નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે ?
ઉકેલ - (b) : નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ+તેના બહિષ્કોણનું માપ=180°
હવે નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ=60°
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ=180°-60°
=120° હોય.
std 8 Maths chapter 3.3 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.3 ✦
1. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD આપેલ છે. દરેક વિધાનને તેમાં ઉપયોગ કરવામાં આવેલ વ્યાખ્યા અથવા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પૂરું કરો.(i) AD=BC
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય છે.
(ii) ∠DCB=∠DAB
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય છે.
(iii) OC=OA
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
(iv) m∠DAB+m∠CDA=180°
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેના બે ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
2. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં x,y અને z નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ - (i) : ◻ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴∠B=∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=100°
y+z=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
100°+z=180°
z=180°-100°
z=80°
x=z (∵ સામસામેના ખૂણા)
x=80°
આમ, x=80°,y=100° અને z=80° થશે.
ઉકેલ - (ii) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
m∠D+m∠A=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
50°+x=180°
x=180°-50°
x=130°
x=y (∵ સામસામેના ખૂણા)
y=130°
m∠B=50° (∵∠A અને ∠C સામસામેના ખૂણા)
m∠B+z=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
50°+z=180°
z=180°-50°
z=130°
આમ, x=130°,y=130° અને z=130° થશે.
ઉકેલ - (iii) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∠AMB કાટખૂણો છે.
∴ m∠AMB=90°
∴ m∠DMC=90° (∵ અભિકોણ)
x=m∠DMC
x= 90°
∆DMCના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
∴y+90°+30°=180°
∴y+120°=180°
∴y=180°-120°
∴y=60°
◻ABCDમાં \overline{DC}∥\overline{AB} અને તેમની છેદિકા \overline{BD} છે.
∴y=z (∵યુગ્મકોણ)
∴z=60° (∵y=60°)
આમ, x=90°,y=60° અને z=60° થશે.
ઉકેલ - (iv) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∴∠D=∠B (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=80°
m∠A+m∠D=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
x+y=180°
x+80°=180°
x=180°-80°
x=100°
m∠A=m∠BCD (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴100°=m∠BCD
z+m∠BCD=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
z+100°=180°
z=180°-100°
z=80°
આમ, x=100°,y=80° અને z=80° થશે.
ઉકેલ - (v) : આપેલ ચતુષ્કોણને ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
∴∠B=∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴y=112°
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
(40°+z)+112°=180°
z+152°=180°
z=180°-152°
z=28°
◻ABCDમાં \overline{DC}∥\overline{AB} અને તેમની છેદિકા \overline{AC} છે.
∴x=z
∴x=28°
આમ, x=28°,y=112° અને z=28° થશે.
3. શું ચતુષ્કોણ ABCD, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે, જો...
(i) ∠D+∠B=180° ?
ઉકેલ - (i) : ના, ∠D અને ∠B એ પાસપાસેના ખૂણાઓ નથી. એટલે ∠D+∠B=180° થાય નહીં. માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(ii) AB=DC=8 સેમી, AD=4 સેમી અને BC=4.4 સેમી ?
ઉકેલ - (ii) : ના, AD≠BC (∵AD=4 સેમી અને BC=4.4 સેમી). માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(iii) ∠A=70° અને ∠C=65° ?
ઉકેલ - (iii) : ના, m∠A≠m∠C (∵m∠A=70° અને m∠C=65°). માટે ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
4. એક એવા ચતુષ્કોણની કાચી (Rough) આકૃતિ દોરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ના હોય પરંતુ તેમાં સામસામેના ખુણાની એક જોડ સમાન હોય.
ઉકેલ - 4 : બાજુમાં એવા ચતુષ્કોણ ABCD ની આકૃતિ દોરી છે. જેમાં ∠B=∠D છે. છતાં ◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
5. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે પાસપાસેના ખૂણાના માપનો ગુણોત્તર 3:2 છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખુણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 5 : ધારો કે, ◻ABCDમાં ∠A અને ∠Bનું માપનું પ્રમાણ 3:2 છે.
∴∠A એ 3x થશે અને ∠B એ 2x થશે.
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
3x+2x=180°
5x=180°
x=(180°)/5
x=(36×5)/5
x=36°
m∠A=3x
m∠A=3×36°
m∠A=108°
m∠B=2x
m∠B=2×36°
m∠B=72°
∴m∠A=m∠C અને m∠B=m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴m∠C=108° અને m∠D=72°
આમ, ◻ABCDમાં ∠A=108°, ∠B=72°, ∠C=108° અને ∠D=72° થાય છે.
6. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાની એક જોડના ખૂણાના માપ સમાન છે. તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 6 : ◻ABCD એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જેના પાસપાસેના બે ખૂણા ∠A અને ∠B એકરૂપ છે.
∴∠A=∠B
m∠A+m∠B=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
m∠A+m∠A=180° (∵m∠B=m∠A)
2m∠A=180°
m∠A=(180°)/2
m∠A=(90×2)/2
m∠A=90°
∴m∠B=90°
∴m∠A=m∠C અને m∠B=m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴m∠C=90° અને m∠D=90°
આમ, ◻ABCDમાં ∠A=90°, ∠B=90°, ∠C=90° અને ∠D=90° થાય છે. આથી આ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.
7. આકૃતિમાં એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x,y,z ખૂણાના માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.
ઉકેલ - 7 :
m∠HOP+m∠POA=180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
m∠HOP+70°=180°
m∠HOP=180°-70°
m∠HOP=110°
∠HEP=∠HOP (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴x=110°
∴\overline{PO}∥\overline{EH} ની \overline{PH} છેદિકા છે.
∠OPH=∠PHE (∵ યુગ્મકોણ)
y=40°
∆HOP=180° (∵ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાના માપનો સરવાળો 180° થાય.)
m∠HOP+m∠OPH+m∠PHO=180°
x+y+z=180°
110°+40°+z=180°
150°+z=180°
z=180°-150°
z=30°
આમ, x=110°, y=40° અને z=30° થાય છે.
8. નીચેની આકૃતિ GUNS અને RUNS સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. x અને y શોધો. (લંબાઈ સેમીમાં છે.)
ઉકેલ - 8 :
(i) ◻GUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴GS=NU અને SN=GU (∵ સામસામેની બાજુઓ)
∴3x=18 અને 26=3y-1
3x=18
x=18/3
x=(6×3)/3
x=6
26=3y-1
26+1=3y
3y=27
y=27/3
y=(9×3)/3
y=9
આમ, x=6 સેમી અને y=9 સેમી.
(ii) ◻RUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
◻RUNSના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
∴y+7=20
y=20-7
y=13
x+y=16
x+13=16
x=16-13
x=3
આમ, x=3 સેમી અને y=13 સેમી.
9. ઉપરની આકૃતિમાં RISK અને CLUE સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો x શોધો.
ઉકેલ - 9 :
◻RISK એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
m∠R+m∠K=180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
m∠R+120°=180°
m∠R=180°-120°
m∠R=60°
∠S=∠R (∵ સામસામેના ખૂણા)
m∠S=60°
◻CLUE એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∠E=∠L=70° (∵ સામસામેના ખૂણા)
∆ESQના ત્રણે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
m∠E+m∠S+m∠Q=180°
70°+60°+x=180°
130°+x=180°
x=180°-130°
x=50°
આમ, x=50° થાય છે.
10. નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે, તે સમજાવો. કઈ બે બાજુ પરસ્પર સમાંતર છે ?
ઉકેલ - 10 :
◻LMNKમાં m∠L+m∠M=80°+100°=180°
એટલે કે ◻LMNKમાં ∠L અને ∠M એ પૂરકકોણ છે.
પણ આ \overline{NM}∥\overline{KL} ને \overline{ML} છેદવાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે.
∴\overline{NM}∥\overline{KL}
◻LMNKમાં એક જ બાજુની જોડ \overline{NM}∥\overline{KL}છે. તેથી ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
11. આકૃતિ 3.27 માં, જો \overline{AB}∥\overline{DC} હોય, તો m∠C શોધો.
ઉકેલ - 11 :
◻ABCDમાં \overline{AB}∥\overline{DC} છે.
∴◻ABCD એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
\overline{AB}∥\overline{DC} ની છેદિકા \overline{BC} છે.
∴m∠B+m∠C=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
120°+m∠C=180°
m∠C=180°-120°
m∠C=60°
આમ, m∠C=60° થાય છે.
12. આકૃતિ 3.28 માં, જો \overline{SP}∥\overline{RQ} હોય, તો ∠P અને ∠Sનું માપ શોધો. (જો તમે m∠R શોધતા હોય, તો શું, m∠P શોધવાની અન્ય પદ્ધતિઓ હશે ?)
ઉકેલ - 12 :
◻PQRSમાં \overline{SP}∥\overline{RQ} છે.
∴◻PQRS એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
\overline{SP}∥\overline{RQ} ની છેદિકા \overline{PQ} છે.
∴m∠P+m∠Q=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
m∠P+130°=180°
m∠P=180°-130°
m∠P=50°
◻PQRSમાં ∠R કાટખૂણો છે.
\overline{SP}∥\overline{RQ} અને તેને \overline{RS} છેદે છે.
m∠S+m∠R=180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
m∠S+90°=180°
m∠S=180°-90°
m∠S=90°
હા, m∠P શોધવાની અન્ય પદ્ધતિ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે, તે પરથી પણ ∠P અને ∠S શોધી શકીએ.
m∠P+m∠Q+m∠R+m∠S=360°
m∠P+130°+90°+90°=360°
m∠P+310°=360°
m∠P=360°-310°
m∠P=50°
આમ, m∠P=50° અને m∠S=90° થાય છે.
std 8 Maths chapter 3.4 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.4 ✦
1. નીચેના વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો.(a) દરેક લંબચોરસ ચોરસ છે. ❎
(b) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(c) દરેક ચોરસ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમજ લંબચોરસ પણ છે. ✅
(d) દરેક ચોરસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. ❎
(c) દરેક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ❎
(f) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. ✅
(g) દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(h) દરેક ચોરસ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
2. એવા ચતુષ્કોણનાં નામ આપો કે જેમાં :
(a) ચારેય બાજુની લંબાઈ સમાન હોય.
ઉકેલ - (a) : ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
(b) ચાર કાટખૂણા હોય.
ઉકેલ - (b) : ચોરસ અને લંબચોરસમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
3. કેવી રીતે એક ચોરસ એ
(i) ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (i) : ચોરસને ચાર ખૂણાઓ હોય છે તેથી તે ચતુષ્કોણ છે.
(ii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (ii) : ચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (iii) : ચોરસની બધી બાજુઓ સમાન છે તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iv) લંબચોરસ છે તે વિગતવાર સમજાવો.
ઉકેલ - (iv) : ચોરસમાં બધા ખૂણાઓ કાટખૂણા છે તેથી તે લંબચોરસ છે.
4. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વિકર્ણ ધરાવતાં ચતુષ્કોણનાં નામ આપો.
(i) પરસ્પર દુભાગે
ઉકેલ - (i) : જેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તેવા ચતુષ્કોણ (a) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (c) ચોરસ (d) લંબચોરસ છે.
(ii) પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય
ઉકેલ - (ii) : જેના વિકર્ણો પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમાન હોય
ઉકેલ - (iii) : જેના વિકર્ણો સમાન હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) લંબચોરસ છે.
5. લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે, સમજાવો.
ઉકેલ - 5 : લંબચોરસનાં દરેક ખૂણાનું માપ 180° કરતાં ઓછું છે અને તેના બંને વિકર્ણો લંબચોરસના અંદરના જ ભાગમાં હોય છે. તેથી લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
6. કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુનું મધ્યબિંદુ O છે. શિરોબિંદુઓ A,B અને Cથી બિંદુ O કેવી રીતે સમાન અંતરે આવે છે તે સમજાવો. (અહીં તૂટક રેખાઓ તમારી સહાયતા માટે દોરેલ છે.)
ઉકેલ - 6 :
આકૃતિમાં \overline{BO} ને D સુધી લંબાવો જેથી BO=OD થાય.
હવે, \overline{CD} અને \overline{AD} દોરો.
◻ABCD તૈયાર થયો.
◻ABCDમાં AO=OC (∵ O એ \overline{AC} નું મધ્યબિંદુ છે.)
તથા BO=OD
◻ABCDમાં વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
◻ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં ∠B કાટખૂણો છે.
∴◻ABCD એ લંબચોરસ છે.
إرسال تعليق