ધોરણ-8 [ગણિત] 3. ચતુષ્કોણની સમજ [std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj] સ્વાધ્યાયના અભ્યાસ માટેનું બધુ સાહિત્ય અહીં એકત્ર કરવામાં આવેલું છે. જેમ કે અગત્યના મુદ્દાઓ, સ્વાધ્યાયની સમજૂતી, સ્વાધ્યાયના દાખલાઓ, સ્વ-અધ્યયનપોથીના ઉકેલો, વિદ્યાર્થીઓ માટે પ્રશ્ન પેપર. દરેક એકમના Videos, Quiz તેમજ Notes તમને eclassguru.blogspot.com પર મળી જશે. [dhoran 8 ganit swadhyay 3. chatushkonani samaj] એકમને લગતા તમારા પ્રશ્નો અમને નીચે comment માં જણાવજો. અમે જવાબ આપવા પ્રયત્ન કરીશું.
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes
std 8 Maths chapter 3.1 chatushkonani samaj swadhyay
1. અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલ છે.
પ્રત્યેકનું નીચે દર્શાવેલ આધાર પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરો.
ઉકેલ - (a) સરળ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (b) સરળ બંધ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (c) બહુકોણ : (1) , (2)
ઉકેલ - (d) બહિર્મુખ બહુકોણ : (2)
ઉકેલ - (e) અંતર્મુખ બહુકોણ : (1)
2. નિયમિત બહુકોણ એટલે શું ? એવા નિયમિત બહુકોણનાં નામ આપો જેમાં :
ઉકેલ - 2 : જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ અને ખૂણાઓનાં માપ સરખા હોય તેને નિયમિત બહુકોણ કહે છે.
ઉકેલ - (i) 3 બાજુ હોય : સમબાજુ ત્રિકોણ
ઉકેલ - (ii) 4 બાજુ હોય : ચોરસ
ઉકેલ - (iii) 6 બાજુ હોય : નિયમિત ષટ્કોણ
std 8 Maths chapter 3.2 chatushkonani samaj swadhyay
1. નીચેની આકૃતિઓમાં `x` શોધો.
ઉકેલ - (a) :
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો`=360°`
`x+125°+125°=360°`
`x+250°=360°`
`x=360°-250°`
`x=110°`
ઉકેલ - (b) :
આકૃતિમાં એક બહિષ્કોણ `90°` છે અને બીજો અંતઃકોણ `90°` છે.
આકૃતિમાં બે બહિષ્કોણ `90°`ના છે.
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો`=360°`
`x+90°+60°+90°+70°=360°`
`x+310°=360°`
`x=360°-310°`
`x=50°`
2. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું માપ શોધો.
(a) `9` બાજુ
ઉકેલ - (a) `9` બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને `9` બાજુઓ છે. તેથી `n=9` લઈશું.
`9` બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા `9` હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴ 9` બાજુવાળા બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=(360°)/n`
`=(360°)/9`
`=40°`
(b) `15` બાજુ
ઉકેલ - (b) `15` બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને `15` બાજુઓ છે. તેથી `n=15` લઈશું.
`15` બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા `15` હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴ 15` બાજુવાળા બહુકોણનાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=(360°)/n`
`=(360°)/15`
`=24°`
3. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ `24°` થાય ?
ઉકેલ - 3 : અહીં, બહુકોણ નિયમિત છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
હવે, આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ `24°` છે.
`∴`આ બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા`=(360°)/(24°)`
`=15`
આ નિયમિત બહુકોણને જેટલા ખૂણા તેટલી બાજુઓ હોય.
`∴` આ બહુકોણને કુલ `15` બાજુઓ છે.
4. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ `165°` થાય ?
ઉકેલ - 4 : બહુકોણ નિયમિત છે અને તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ `165°` છે.
`∴` બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=180°-165°=15°`
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴`બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(15°)`
`=24`
આ બહુકોણને કુલ `24` બાજુઓ છે.
5. (a) એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ `22°` હોય ?
ઉકેલ - (a) : આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ `22°` છે.
`∴`બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(22°)`
`=(180°)/(11°)`
જો આ બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
અહીં `(180°)/(11°)` એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
`∴` ના, નિયમિત બહુકોણ બહિષ્કોણનું માપ `22°` ન હોઈ શકે.
5. (b) શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (b) : આ બહુકોણના અંદરના ખૂણાનું માપ `22°` છે.
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ`=180°-22°= 158°` થાય.
બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(158°)=(180°)/(79°)`
જો બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
`(180°)/(79°)` એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
`∴` ના, નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું માપ `22°` ન હોઈ શકે.
6. (a) નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (a) : નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી `3` હોય.
`∴3` બાજુઓવાળો નિયમિત બહુકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ `60°` છે.
નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ ઓછામાં ઓછું `60°` હોઈ શકે.
6. (b) નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે ?
ઉકેલ - (b) : નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ`+`તેના બહિષ્કોણનું માપ`=180°`
હવે નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ`=60°`
`∴`બહુકોણના બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ`=180°-60°`
`=120°` હોય.
std 8 Maths chapter 3.3 chatushkonani samaj swadhyay
1. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ `ABCD` આપેલ છે. દરેક વિધાનને તેમાં ઉપયોગ કરવામાં આવેલ વ્યાખ્યા અથવા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પૂરું કરો.
(i) `AD=BC`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય છે.
(ii) `∠DCB=∠DAB`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય છે.
(iii) `OC=OA`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
(iv) `m∠DAB+ m∠CDA=180°`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેના બે ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
2. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં `x,y` અને `z` નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ - (i) : `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∴∠B=∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=100°`
`y+z=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`100°+z=180°`
`z=180°-100°`
`z=80°`
`x=z` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`x=80°`
આમ, `x=80°,y=100°` અને `z=80°` થશે.
ઉકેલ - (ii) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`m∠D+m∠A=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`50°+x=180°`
`x=180°-50°`
`x=130°`
`x=y` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`y=130°`
`m∠B=50°` (`∵∠A` અને `∠C` સામસામેના ખૂણા)
`m∠B+z=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`50°+z=180°`
`z=180°-50°`
`z=130°`
આમ, `x=130°,y=130°` અને `z=130°` થશે.
ઉકેલ - (iii) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∠AMB` કાટખૂણો છે.
`∴ m∠AMB=90°`
`∴ m∠DMC=90°` (`∵` અભિકોણ)
`x=m∠DMC`
`x= 90°`
`∆DMC`ના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો `180°` થાય.
`∴y+90°+30°=180°`
`∴y+120°=180°`
`∴y=180°-120°`
`∴y=60°`
`◻ABCD`માં `\overline{DC}∥\overline{AB}` અને તેમની છેદિકા `\overline{BD}` છે.
`∴y=z` (`∵`યુગ્મકોણ)
`∴z=60°` (`∵y=60°`)
આમ, `x=90°,y=60°` અને `z=60°` થશે.
ઉકેલ - (iv) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∴∠D=∠B` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=80°`
`m∠A+m∠D=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`x+y=180°`
`x+80°=180°`
`x=180°-80°`
`x=100°`
`m∠A=m∠BCD` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴100°=m∠BCD`
`z+m∠BCD=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`z+100°=180°`
`z=180°-100°`
`z=80°`
આમ, `x=100°,y=80°` અને `z=80°` થશે.
ઉકેલ - (v) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∴∠B=∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=112°`
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`(40°+z)+112°=180°`
`z+152°=180°`
`z=180°-152°`
`z=28°`
`◻ABCD`માં `\overline{DC}∥\overline{AB}` અને તેમની છેદિકા `\overline{AC}` છે.
`∴x=z`
`∴x=28°`
આમ, `x=28°,y=112°` અને `z=28°` થશે.
3. શું ચતુષ્કોણ `ABCD`, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે, જો...
(i) `∠D+∠B=180°` ?
ઉકેલ - (i) : ના, `∠D` અને `∠B` એ પાસપાસેના ખૂણાઓ નથી. એટલે `∠D+∠B=180°` થાય નહીં. માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(ii) `AB=DC=8` સેમી, `AD=4` સેમી અને `BC=4.4` સેમી ?
ઉકેલ - (ii) : ના, `AD≠BC` (`∵AD=4` સેમી અને `BC=4.4` સેમી). માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(iii) `∠A=70°` અને `∠C=65°` ?
ઉકેલ - (iii) : ના, `m∠A≠m∠C` (`∵m∠A=70°` અને `m∠C=65°`). માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
4. એક એવા ચતુષ્કોણની કાચી (Rough) આકૃતિ દોરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ના હોય પરંતુ તેમાં સામસામેના ખુણાની એક જોડ સમાન હોય.
ઉકેલ - 4 : બાજુમાં એવા ચતુષ્કોણ `ABCD` ની આકૃતિ દોરી છે. જેમાં `∠B=∠D` છે. છતાં `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
5. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે પાસપાસેના ખૂણાના માપનો ગુણોત્તર `3:2` છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખુણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 5 : ધારો કે, `◻ABCD`માં `∠A` અને `∠B`નું માપનું પ્રમાણ `3:2` છે.
`∴∠A` એ `3x` થશે અને `∠B` એ `2x` થશે.
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`3x+2x=180°`
`5x=180°`
`x=(180°)/5`
`x=(36×5)/5`
`x=36°`
`m∠A=3x`
`m∠A=3×36°`
`m∠A=108°`
`m∠B=2x`
`m∠B=2×36°`
`m∠B=72°`
`∴m∠A=m∠C` અને `m∠B=m∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴m∠C=108°` અને `m∠D=72°`
આમ, `◻ABCD`માં `∠A=108°, ∠B=72°, ∠C=108°` અને `∠D=72°` થાય છે.
6. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાની એક જોડના ખૂણાના માપ સમાન છે. તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 6 : `◻ABCD` એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જેના પાસપાસેના બે ખૂણા `∠A` અને `∠B` એકરૂપ છે.
`∴∠A=∠B`
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`m∠A+m∠A=180°` `(∵m∠B=m∠A)`
`2m∠A=180°`
`m∠A=(180°)/2`
`m∠A=(90×2)/2`
`m∠A=90°`
`∴m∠B=90°`
`∴m∠A=m∠C` અને `m∠B=m∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴m∠C=90°` અને `m∠D=90°`
આમ, `◻ABCD`માં `∠A=90°, ∠B=90°, ∠C=90°` અને `∠D=90°` થાય છે. આથી આ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.
7. આકૃતિમાં એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x,y,z ખૂણાના માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.
ઉકેલ - 7 :
`m∠HOP+m∠POA=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`m∠HOP+70°=180°`
`m∠HOP=180°-70°`
`m∠HOP=110°`
`∠HEP=∠HOP` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴x=110°`
`∴\overline{PO}∥\overline{EH}` ની `\overline{PH}` છેદિકા છે.
`∠OPH=∠PHE` (`∵` યુગ્મકોણ)
`y=40°`
`∆HOP=180°` (`∵` ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાના માપનો સરવાળો `180°` થાય.)
`m∠HOP+m∠OPH+m∠PHO=180°`
`x+y+z=180°`
`110°+40°+z=180°`
`150°+z=180°`
`z=180°-150°`
`z=30°`
આમ, `x=110°, y=40°` અને `z=30°` થાય છે.
8. નીચેની આકૃતિ `GUNS` અને `RUNS` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. `x` અને `y` શોધો. (લંબાઈ સેમીમાં છે.)
ઉકેલ - 8 :
(i) `◻GUNS` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∴GS=NU` અને `SN=GU` (`∵` સામસામેની બાજુઓ)
`∴3x=18` અને `26=3y-1`
`3x=18`
`x=18/3`
`x=(6×3)/3`
`x=6`
`26=3y-1`
`26+1=3y`
`3y=27`
`y=27/3`
`y=(9×3)/3`
`y=9`
આમ, `x=6` સેમી અને `y=9` સેમી.
(ii) `◻RUNS` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`◻RUNS`ના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
`∴y+7=20`
`y=20-7`
`y=13`
`x+y=16`
`x+13=16`
`x=16-13`
`x=3`
આમ, `x=3` સેમી અને `y=13` સેમી.
9. ઉપરની આકૃતિમાં `RISK` અને `CLUE` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો `x` શોધો.
ઉકેલ - 9 :
`◻RISK` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`m∠R+m∠K=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`m∠R+120°=180°`
`m∠R=180°-120°`
`m∠R=60°`
`∠S=∠R` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`m∠S=60°`
`◻CLUE` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∠E=∠L=70°` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∆ESQ`ના ત્રણે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો `180°` થાય છે.
`m∠E+m∠S+m∠Q=180°`
`70°+60°+x=180°`
`130°+x=180°`
`x=180°-130°`
`x=50°`
આમ, `x=50°` થાય છે.
10. નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે, તે સમજાવો. કઈ બે બાજુ પરસ્પર સમાંતર છે ?
ઉકેલ - 10 :
`◻LMNK`માં `m∠L+m∠M=80°+100°=180°`
એટલે કે `◻LMNK`માં `∠L` અને `∠M` એ પૂરકકોણ છે.
પણ આ `\overline{NM}∥\overline{KL}` ને `\overline{ML}` છેદવાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે.
`∴\overline{NM}∥\overline{KL}`
`◻LMNK`માં એક જ બાજુની જોડ `\overline{NM}∥\overline{KL}`છે. તેથી ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
11. આકૃતિ 3.27 માં, જો `\overline{AB}∥\overline{DC}` હોય, તો `m∠C` શોધો.
ઉકેલ - 11 :
`◻ABCD`માં `\overline{AB}∥\overline{DC}` છે.
`∴◻ABCD` એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
`\overline{AB}∥\overline{DC}` ની છેદિકા `\overline{BC}` છે.
`∴m∠B+m∠C=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`120°+m∠C=180°`
`m∠C=180°-120°`
`m∠C=60°`
આમ, `m∠C=60°` થાય છે.
12. આકૃતિ 3.28 માં, જો `\overline{SP}∥\overline{RQ}` હોય, તો `∠P` અને `∠S`નું માપ શોધો. (જો તમે `m∠R` શોધતા હોય, તો શું, `m∠P` શોધવાની અન્ય પદ્ધતિઓ હશે ?)
ઉકેલ - 12 :
`◻PQRS`માં `\overline{SP}∥\overline{RQ}` છે.
`∴◻PQRS` એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
`\overline{SP}∥\overline{RQ}` ની છેદિકા `\overline{PQ}` છે.
`∴m∠P+m∠Q=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`m∠P+130°=180°`
`m∠P=180°-130°`
`m∠P=50°`
`◻PQRS`માં `∠R` કાટખૂણો છે.
`\overline{SP}∥\overline{RQ}` અને તેને `\overline{RS}` છેદે છે.
`m∠S+m∠R=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`m∠S+90°=180°`
`m∠S=180°-90°`
`m∠S=90°`
હા, `m∠P` શોધવાની અન્ય પદ્ધતિ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે, તે પરથી પણ `∠P` અને `∠S` શોધી શકીએ.
`m∠P+m∠Q+m∠R+m∠S=360°`
`m∠P+130°+90°+90°=360°`
`m∠P+310°=360°`
`m∠P=360°-310°`
`m∠P=50°`
આમ, `m∠P=50°` અને `m∠S=90°` થાય છે.
std 8 Maths chapter 3.4 chatushkonani samaj swadhyay
1. નીચેના વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો.
(a) દરેક લંબચોરસ ચોરસ છે. ❎
(b) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(c) દરેક ચોરસ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમજ લંબચોરસ પણ છે. ✅
(d) દરેક ચોરસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. ❎
(c) દરેક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ❎
(f) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. ✅
(g) દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(h) દરેક ચોરસ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
2. એવા ચતુષ્કોણનાં નામ આપો કે જેમાં :
(a) ચારેય બાજુની લંબાઈ સમાન હોય.
ઉકેલ - (a) : ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
(b) ચાર કાટખૂણા હોય.
ઉકેલ - (b) : ચોરસ અને લંબચોરસમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
3. કેવી રીતે એક ચોરસ એ
(i) ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (i) : ચોરસને ચાર ખૂણાઓ હોય છે તેથી તે ચતુષ્કોણ છે.
(ii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (ii) : ચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (iii) : ચોરસની બધી બાજુઓ સમાન છે તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iv) લંબચોરસ છે તે વિગતવાર સમજાવો.
ઉકેલ - (iv) : ચોરસમાં બધા ખૂણાઓ કાટખૂણા છે તેથી તે લંબચોરસ છે.
4. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વિકર્ણ ધરાવતાં ચતુષ્કોણનાં નામ આપો.
(i) પરસ્પર દુભાગે
ઉકેલ - (i) : જેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તેવા ચતુષ્કોણ (a) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (c) ચોરસ (d) લંબચોરસ છે.
(ii) પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય
ઉકેલ - (ii) : જેના વિકર્ણો પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમાન હોય
ઉકેલ - (iii) : જેના વિકર્ણો સમાન હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) લંબચોરસ છે.
5. લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે, સમજાવો.
ઉકેલ - 5 : લંબચોરસનાં દરેક ખૂણાનું માપ 180° કરતાં ઓછું છે અને તેના બંને વિકર્ણો લંબચોરસના અંદરના જ ભાગમાં હોય છે. તેથી લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
6. કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુનું મધ્યબિંદુ O છે. શિરોબિંદુઓ A,B અને Cથી બિંદુ O કેવી રીતે સમાન અંતરે આવે છે તે સમજાવો. (અહીં તૂટક રેખાઓ તમારી સહાયતા માટે દોરેલ છે.)
ઉકેલ - 6 :
આકૃતિમાં `\overline{BO}` ને `D` સુધી લંબાવો જેથી `BO=OD` થાય.
હવે, `\overline{CD}` અને `\overline{AD}` દોરો.
`◻ABCD` તૈયાર થયો.
`◻ABCD`માં `AO=OC` (`∵ O` એ `\overline{AC}` નું મધ્યબિંદુ છે.)
તથા `BO=OD`
`◻ABCD`માં વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
`◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં `∠B` કાટખૂણો છે.
`∴◻ABCD` એ લંબચોરસ છે.
- અગત્યના મુદ્દાઓ
- સ્વાધ્યાયની સમજૂતી
- સ્વાધ્યાય 3.1
- સ્વાધ્યાય 3.2
- સ્વાધ્યાય 3.3
- સ્વાધ્યાય 3.4
- સ્વ-અધ્યયનપોથી
- પ્રશ્ન પેપર
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes, std 8 Maths ekam 3. chatushkonani samaj ni samjuti, std 8 Maths ch 3. chatushkonani samaj swadhyay na javabo (solutions), std 8 Maths path 3. chatushkonani samaj swadhyay pothi na javabo (solutions), std 8 Maths unit 3. chatushkonani samaj ni ekam kasoti.
std 8 Maths chapter 3. chatushkonani samaj imp notes
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ ✦
std 8 Maths chapter 3.1 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.1 ✦
1. અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલ છે.પ્રત્યેકનું નીચે દર્શાવેલ આધાર પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરો.
ઉકેલ - (a) સરળ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (b) સરળ બંધ વક્ર : (1), (2), (5), (6) અને (7)
ઉકેલ - (c) બહુકોણ : (1) , (2)
ઉકેલ - (d) બહિર્મુખ બહુકોણ : (2)
ઉકેલ - (e) અંતર્મુખ બહુકોણ : (1)
2. નિયમિત બહુકોણ એટલે શું ? એવા નિયમિત બહુકોણનાં નામ આપો જેમાં :
ઉકેલ - 2 : જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ અને ખૂણાઓનાં માપ સરખા હોય તેને નિયમિત બહુકોણ કહે છે.
ઉકેલ - (i) 3 બાજુ હોય : સમબાજુ ત્રિકોણ
ઉકેલ - (ii) 4 બાજુ હોય : ચોરસ
ઉકેલ - (iii) 6 બાજુ હોય : નિયમિત ષટ્કોણ
std 8 Maths chapter 3.2 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.2 ✦
1. નીચેની આકૃતિઓમાં `x` શોધો.ઉકેલ - (a) :
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો`=360°`
`x+125°+125°=360°`
`x+250°=360°`
`x=360°-250°`
`x=110°`
ઉકેલ - (b) :
આકૃતિમાં એક બહિષ્કોણ `90°` છે અને બીજો અંતઃકોણ `90°` છે.
આકૃતિમાં બે બહિષ્કોણ `90°`ના છે.
આકૃતિના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો`=360°`
`x+90°+60°+90°+70°=360°`
`x+310°=360°`
`x=360°-310°`
`x=50°`
2. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું માપ શોધો.
(a) `9` બાજુ
ઉકેલ - (a) `9` બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને `9` બાજુઓ છે. તેથી `n=9` લઈશું.
`9` બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા `9` હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴ 9` બાજુવાળા બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=(360°)/n`
`=(360°)/9`
`=40°`
(b) `15` બાજુ
ઉકેલ - (b) `15` બાજુવાળા :
અહીં બહુકોણને `15` બાજુઓ છે. તેથી `n=15` લઈશું.
`15` બાજુવાળા બહુકોણના બહિષ્કોણની સંખ્યા `15` હોય.
આ નિયમિત બહુકોણ છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
હવે, બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴ 15` બાજુવાળા બહુકોણનાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=(360°)/n`
`=(360°)/15`
`=24°`
3. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ `24°` થાય ?
ઉકેલ - 3 : અહીં, બહુકોણ નિયમિત છે. તેથી તેના દરેક બહિષ્કોણનું માપ સરખું હોય.
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
હવે, આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ `24°` છે.
`∴`આ બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા`=(360°)/(24°)`
`=15`
આ નિયમિત બહુકોણને જેટલા ખૂણા તેટલી બાજુઓ હોય.
`∴` આ બહુકોણને કુલ `15` બાજુઓ છે.
4. એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય તો તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ `165°` થાય ?
ઉકેલ - 4 : બહુકોણ નિયમિત છે અને તેના દરેક અંતઃકોણનું માપ `165°` છે.
`∴` બહુકોણના દરેક બહિષ્કોણનું માપ`=180°-165°=15°`
બહુકોણના બધા બહિષ્કોણનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે.
`∴`બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(15°)`
`=24`
આ બહુકોણને કુલ `24` બાજુઓ છે.
5. (a) એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ `22°` હોય ?
ઉકેલ - (a) : આ બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ `22°` છે.
`∴`બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(22°)`
`=(180°)/(11°)`
જો આ બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
અહીં `(180°)/(11°)` એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
`∴` ના, નિયમિત બહુકોણ બહિષ્કોણનું માપ `22°` ન હોઈ શકે.
5. (b) શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (b) : આ બહુકોણના અંદરના ખૂણાનું માપ `22°` છે.
∴બહુકોણના બહિષ્કોણનું માપ`=180°-22°= 158°` થાય.
બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા`=(360°)/(158°)=(180°)/(79°)`
જો બહુકોણ એ નિયમિત બહુકોણ હોય, તો તેની બાજુઓની સંખ્યા એ પૂર્ણ અંકમાં મળે.
`(180°)/(79°)` એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
`∴` ના, નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું માપ `22°` ન હોઈ શકે.
6. (a) નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે ? કેમ ?
ઉકેલ - (a) : નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી `3` હોય.
`∴3` બાજુઓવાળો નિયમિત બહુકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ `60°` છે.
નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ ઓછામાં ઓછું `60°` હોઈ શકે.
6. (b) નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે ?
ઉકેલ - (b) : નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું માપ`+`તેના બહિષ્કોણનું માપ`=180°`
હવે નિયમિત બહુકોણના પ્રત્યેક અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ`=60°`
`∴`બહુકોણના બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ`=180°-60°`
`=120°` હોય.
std 8 Maths chapter 3.3 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.3 ✦
1. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ `ABCD` આપેલ છે. દરેક વિધાનને તેમાં ઉપયોગ કરવામાં આવેલ વ્યાખ્યા અથવા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પૂરું કરો.(i) `AD=BC`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય છે.
(ii) `∠DCB=∠DAB`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય છે.
(iii) `OC=OA`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
(iv) `m∠DAB+ m∠CDA=180°`
કારણ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેના બે ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
2. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં `x,y` અને `z` નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ - (i) : `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∴∠B=∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=100°`
`y+z=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`100°+z=180°`
`z=180°-100°`
`z=80°`
`x=z` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`x=80°`
આમ, `x=80°,y=100°` અને `z=80°` થશે.
ઉકેલ - (ii) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`m∠D+m∠A=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`50°+x=180°`
`x=180°-50°`
`x=130°`
`x=y` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`y=130°`
`m∠B=50°` (`∵∠A` અને `∠C` સામસામેના ખૂણા)
`m∠B+z=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`50°+z=180°`
`z=180°-50°`
`z=130°`
આમ, `x=130°,y=130°` અને `z=130°` થશે.
ઉકેલ - (iii) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∠AMB` કાટખૂણો છે.
`∴ m∠AMB=90°`
`∴ m∠DMC=90°` (`∵` અભિકોણ)
`x=m∠DMC`
`x= 90°`
`∆DMC`ના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો `180°` થાય.
`∴y+90°+30°=180°`
`∴y+120°=180°`
`∴y=180°-120°`
`∴y=60°`
`◻ABCD`માં `\overline{DC}∥\overline{AB}` અને તેમની છેદિકા `\overline{BD}` છે.
`∴y=z` (`∵`યુગ્મકોણ)
`∴z=60°` (`∵y=60°`)
આમ, `x=90°,y=60°` અને `z=60°` થશે.
ઉકેલ - (iv) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∴∠D=∠B` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=80°`
`m∠A+m∠D=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`x+y=180°`
`x+80°=180°`
`x=180°-80°`
`x=100°`
`m∠A=m∠BCD` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴100°=m∠BCD`
`z+m∠BCD=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`z+100°=180°`
`z=180°-100°`
`z=80°`
આમ, `x=100°,y=80°` અને `z=80°` થશે.
ઉકેલ - (v) : આપેલ ચતુષ્કોણને `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ધારતા.
`∴∠B=∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴y=112°`
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`(40°+z)+112°=180°`
`z+152°=180°`
`z=180°-152°`
`z=28°`
`◻ABCD`માં `\overline{DC}∥\overline{AB}` અને તેમની છેદિકા `\overline{AC}` છે.
`∴x=z`
`∴x=28°`
આમ, `x=28°,y=112°` અને `z=28°` થશે.
3. શું ચતુષ્કોણ `ABCD`, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે, જો...
(i) `∠D+∠B=180°` ?
ઉકેલ - (i) : ના, `∠D` અને `∠B` એ પાસપાસેના ખૂણાઓ નથી. એટલે `∠D+∠B=180°` થાય નહીં. માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(ii) `AB=DC=8` સેમી, `AD=4` સેમી અને `BC=4.4` સેમી ?
ઉકેલ - (ii) : ના, `AD≠BC` (`∵AD=4` સેમી અને `BC=4.4` સેમી). માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
(iii) `∠A=70°` અને `∠C=65°` ?
ઉકેલ - (iii) : ના, `m∠A≠m∠C` (`∵m∠A=70°` અને `m∠C=65°`). માટે `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે નહીં.
4. એક એવા ચતુષ્કોણની કાચી (Rough) આકૃતિ દોરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ના હોય પરંતુ તેમાં સામસામેના ખુણાની એક જોડ સમાન હોય.
ઉકેલ - 4 : બાજુમાં એવા ચતુષ્કોણ `ABCD` ની આકૃતિ દોરી છે. જેમાં `∠B=∠D` છે. છતાં `◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
5. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે પાસપાસેના ખૂણાના માપનો ગુણોત્તર `3:2` છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખુણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 5 : ધારો કે, `◻ABCD`માં `∠A` અને `∠B`નું માપનું પ્રમાણ `3:2` છે.
`∴∠A` એ `3x` થશે અને `∠B` એ `2x` થશે.
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`3x+2x=180°`
`5x=180°`
`x=(180°)/5`
`x=(36×5)/5`
`x=36°`
`m∠A=3x`
`m∠A=3×36°`
`m∠A=108°`
`m∠B=2x`
`m∠B=2×36°`
`m∠B=72°`
`∴m∠A=m∠C` અને `m∠B=m∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴m∠C=108°` અને `m∠D=72°`
આમ, `◻ABCD`માં `∠A=108°, ∠B=72°, ∠C=108°` અને `∠D=72°` થાય છે.
6. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાની એક જોડના ખૂણાના માપ સમાન છે. તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાના માપ શોધો.
ઉકેલ - 6 : `◻ABCD` એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જેના પાસપાસેના બે ખૂણા `∠A` અને `∠B` એકરૂપ છે.
`∴∠A=∠B`
`m∠A+m∠B=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`m∠A+m∠A=180°` `(∵m∠B=m∠A)`
`2m∠A=180°`
`m∠A=(180°)/2`
`m∠A=(90×2)/2`
`m∠A=90°`
`∴m∠B=90°`
`∴m∠A=m∠C` અને `m∠B=m∠D` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴m∠C=90°` અને `m∠D=90°`
આમ, `◻ABCD`માં `∠A=90°, ∠B=90°, ∠C=90°` અને `∠D=90°` થાય છે. આથી આ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.
7. આકૃતિમાં એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x,y,z ખૂણાના માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.
ઉકેલ - 7 :
`m∠HOP+m∠POA=180°` (`∵` રૈખિક જોડના ખૂણા)
`m∠HOP+70°=180°`
`m∠HOP=180°-70°`
`m∠HOP=110°`
`∠HEP=∠HOP` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∴x=110°`
`∴\overline{PO}∥\overline{EH}` ની `\overline{PH}` છેદિકા છે.
`∠OPH=∠PHE` (`∵` યુગ્મકોણ)
`y=40°`
`∆HOP=180°` (`∵` ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાના માપનો સરવાળો `180°` થાય.)
`m∠HOP+m∠OPH+m∠PHO=180°`
`x+y+z=180°`
`110°+40°+z=180°`
`150°+z=180°`
`z=180°-150°`
`z=30°`
આમ, `x=110°, y=40°` અને `z=30°` થાય છે.
8. નીચેની આકૃતિ `GUNS` અને `RUNS` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. `x` અને `y` શોધો. (લંબાઈ સેમીમાં છે.)
ઉકેલ - 8 :
(i) `◻GUNS` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∴GS=NU` અને `SN=GU` (`∵` સામસામેની બાજુઓ)
`∴3x=18` અને `26=3y-1`
`3x=18`
`x=18/3`
`x=(6×3)/3`
`x=6`
`26=3y-1`
`26+1=3y`
`3y=27`
`y=27/3`
`y=(9×3)/3`
`y=9`
આમ, `x=6` સેમી અને `y=9` સેમી.
(ii) `◻RUNS` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`◻RUNS`ના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
`∴y+7=20`
`y=20-7`
`y=13`
`x+y=16`
`x+13=16`
`x=16-13`
`x=3`
આમ, `x=3` સેમી અને `y=13` સેમી.
9. ઉપરની આકૃતિમાં `RISK` અને `CLUE` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો `x` શોધો.
ઉકેલ - 9 :
`◻RISK` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`m∠R+m∠K=180°` (`∵` પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
`m∠R+120°=180°`
`m∠R=180°-120°`
`m∠R=60°`
`∠S=∠R` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`m∠S=60°`
`◻CLUE` એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
`∠E=∠L=70°` (`∵` સામસામેના ખૂણા)
`∆ESQ`ના ત્રણે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો `180°` થાય છે.
`m∠E+m∠S+m∠Q=180°`
`70°+60°+x=180°`
`130°+x=180°`
`x=180°-130°`
`x=50°`
આમ, `x=50°` થાય છે.
10. નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે, તે સમજાવો. કઈ બે બાજુ પરસ્પર સમાંતર છે ?
ઉકેલ - 10 :
`◻LMNK`માં `m∠L+m∠M=80°+100°=180°`
એટલે કે `◻LMNK`માં `∠L` અને `∠M` એ પૂરકકોણ છે.
પણ આ `\overline{NM}∥\overline{KL}` ને `\overline{ML}` છેદવાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે.
`∴\overline{NM}∥\overline{KL}`
`◻LMNK`માં એક જ બાજુની જોડ `\overline{NM}∥\overline{KL}`છે. તેથી ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
11. આકૃતિ 3.27 માં, જો `\overline{AB}∥\overline{DC}` હોય, તો `m∠C` શોધો.
ઉકેલ - 11 :
`◻ABCD`માં `\overline{AB}∥\overline{DC}` છે.
`∴◻ABCD` એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
`\overline{AB}∥\overline{DC}` ની છેદિકા `\overline{BC}` છે.
`∴m∠B+m∠C=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`120°+m∠C=180°`
`m∠C=180°-120°`
`m∠C=60°`
આમ, `m∠C=60°` થાય છે.
12. આકૃતિ 3.28 માં, જો `\overline{SP}∥\overline{RQ}` હોય, તો `∠P` અને `∠S`નું માપ શોધો. (જો તમે `m∠R` શોધતા હોય, તો શું, `m∠P` શોધવાની અન્ય પદ્ધતિઓ હશે ?)
ઉકેલ - 12 :
`◻PQRS`માં `\overline{SP}∥\overline{RQ}` છે.
`∴◻PQRS` એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
`\overline{SP}∥\overline{RQ}` ની છેદિકા `\overline{PQ}` છે.
`∴m∠P+m∠Q=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`m∠P+130°=180°`
`m∠P=180°-130°`
`m∠P=50°`
`◻PQRS`માં `∠R` કાટખૂણો છે.
`\overline{SP}∥\overline{RQ}` અને તેને `\overline{RS}` છેદે છે.
`m∠S+m∠R=180°` (`∵` છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
`m∠S+90°=180°`
`m∠S=180°-90°`
`m∠S=90°`
હા, `m∠P` શોધવાની અન્ય પદ્ધતિ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો `360°` થાય છે, તે પરથી પણ `∠P` અને `∠S` શોધી શકીએ.
`m∠P+m∠Q+m∠R+m∠S=360°`
`m∠P+130°+90°+90°=360°`
`m∠P+310°=360°`
`m∠P=360°-310°`
`m∠P=50°`
આમ, `m∠P=50°` અને `m∠S=90°` થાય છે.
std 8 Maths chapter 3.4 chatushkonani samaj swadhyay
✦ સ્વાધ્યાય 3.4 ✦
1. નીચેના વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો.(a) દરેક લંબચોરસ ચોરસ છે. ❎
(b) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(c) દરેક ચોરસ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમજ લંબચોરસ પણ છે. ✅
(d) દરેક ચોરસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. ❎
(c) દરેક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. ❎
(f) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. ✅
(g) દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
(h) દરેક ચોરસ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ✅
2. એવા ચતુષ્કોણનાં નામ આપો કે જેમાં :
(a) ચારેય બાજુની લંબાઈ સમાન હોય.
ઉકેલ - (a) : ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
(b) ચાર કાટખૂણા હોય.
ઉકેલ - (b) : ચોરસ અને લંબચોરસમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
3. કેવી રીતે એક ચોરસ એ
(i) ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (i) : ચોરસને ચાર ખૂણાઓ હોય છે તેથી તે ચતુષ્કોણ છે.
(ii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (ii) : ચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમબાજુ ચતુષ્કોણ
ઉકેલ - (iii) : ચોરસની બધી બાજુઓ સમાન છે તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iv) લંબચોરસ છે તે વિગતવાર સમજાવો.
ઉકેલ - (iv) : ચોરસમાં બધા ખૂણાઓ કાટખૂણા છે તેથી તે લંબચોરસ છે.
4. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વિકર્ણ ધરાવતાં ચતુષ્કોણનાં નામ આપો.
(i) પરસ્પર દુભાગે
ઉકેલ - (i) : જેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તેવા ચતુષ્કોણ (a) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (c) ચોરસ (d) લંબચોરસ છે.
(ii) પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય
ઉકેલ - (ii) : જેના વિકર્ણો પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(iii) સમાન હોય
ઉકેલ - (iii) : જેના વિકર્ણો સમાન હોય તેવા ચતુષ્કોણ (a) ચોરસ (b) લંબચોરસ છે.
5. લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે, સમજાવો.
ઉકેલ - 5 : લંબચોરસનાં દરેક ખૂણાનું માપ 180° કરતાં ઓછું છે અને તેના બંને વિકર્ણો લંબચોરસના અંદરના જ ભાગમાં હોય છે. તેથી લંબચોરસ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
6. કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુનું મધ્યબિંદુ O છે. શિરોબિંદુઓ A,B અને Cથી બિંદુ O કેવી રીતે સમાન અંતરે આવે છે તે સમજાવો. (અહીં તૂટક રેખાઓ તમારી સહાયતા માટે દોરેલ છે.)
ઉકેલ - 6 :
આકૃતિમાં `\overline{BO}` ને `D` સુધી લંબાવો જેથી `BO=OD` થાય.
હવે, `\overline{CD}` અને `\overline{AD}` દોરો.
`◻ABCD` તૈયાર થયો.
`◻ABCD`માં `AO=OC` (`∵ O` એ `\overline{AC}` નું મધ્યબિંદુ છે.)
તથા `BO=OD`
`◻ABCD`માં વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
`◻ABCD` સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં `∠B` કાટખૂણો છે.
`∴◻ABCD` એ લંબચોરસ છે.
إرسال تعليق