GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 6 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 6 "પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ" (Std 6 Maths Prakash Chapter 6 Parimiti ane Kshetraphal) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 6.1 થી 6.3 માં આપેલા તમામ 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'મગજ કસો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. લંબચોરસ અને ચોરસની પરિમિતિ, નિયમિત બહુકોણની પરિમિતિ, ત્રિકોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ, ટેનગ્રામ આધારિત કોયડાઓ, ગ્રીડ પેપર પર ક્ષેત્રફળની ગણતરી તથા ક્ષેત્રફળના કોયડાઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 6. parimiti ane kshetraphal imp notes) ✦
- પરિમિતિ (Perimeter) : કોઈપણ બંધ સમતલીય આકૃતિની સીમા પર એકવાર ફરવાથી આવરી લેવાતું કુલ અંતર એટલે પરિમિતિ.
• બહુકોણની પરિમિતિ = તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો
• લંબચોરસની પરિમિતિ = 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ)
• ચોરસની પરિમિતિ = 4 × બાજુની લંબાઈ
• સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ = 3 × બાજુની લંબાઈ
• નિયમિત બહુકોણની પરિમિતિ = બાજુઓની સંખ્યા × એક બાજુની લંબાઈ - ક્ષેત્રફળ (Area) : બંધ સમતલીય આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના માપને ક્ષેત્રફળ કહેવામાં આવે છે.
• લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
• ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = બાજુની લંબાઈ × બાજુની લંબાઈ
• કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = (1 / 2) × લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (1 / 2) × પાયો × વેધ - પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળનો સંબંધ : બે આકૃતિઓનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા છતાં તેમની પરિમિતિ જુદી જુદી હોઈ શકે છે. તેવી જ રીતે, સમાન પરિમિતિ ધરાવતી આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળ પણ ભિન્ન હોઈ શકે છે.
✦ વિભાગ 6.1 : પરિમિતિ (Perimeter) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 132)
1. ખૂટતાં પદ શોધો :
a. લંબચોરસની પરિમિતિ = 14 સેમી; પહોળાઈ = 2 સેમી; લંબાઈ = ?
`14 = 2 \times (\text{લંબાઈ} + 2)`
`\frac{14}{2} = \text{લંબાઈ} + 2`
`7 = \text{લંબાઈ} + 2`
`\text{લંબાઈ} = 7 - 2`
`= 5 \text{ સેમી}`
b. ચોરસની પરિમિતિ = 20 સેમી; બાજુની લંબાઈ = ?
`20 = 4 \times \text{બાજુની લંબાઈ}`
`\text{બાજુની લંબાઈ} = \frac{20}{4}`
`= 5 \text{ સેમી}`
c. લંબચોરસની પરિમિતિ = 12 મી; લંબાઈ = 3 મી; પહોળાઈ = ?
`12 = 2 \times (3 + \text{પહોળાઈ})`
`\frac{12}{2} = 3 + \text{પહોળાઈ}`
`6 = 3 + \text{પહોળાઈ}`
`\text{પહોળાઈ} = 6 - 3`
`= 3 \text{ મી}`
2. એક તારના ટુકડાનો ઉપયોગ કરીને 5 સેમી અને 3 સેમી લંબાઈની બાજુ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવવામાં આવ્યો છે. જો તારને સીધો કરવામાં આવે અને પછી ચોરસ બનાવવા માટે વાળવામાં આવે, તો આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ કેટલી હશે?
`\text{તારની લંબાઈ} = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})`
`= 2 \times (5 + 3)`
`= 2 \times 8`
`= 16 \text{ સેમી}`
હવે ચોરસની પરિમિતિ = તારની લંબાઈ = 16 સેમી
`4 \times \text{ચોરસની બાજુ} = 16`
`\text{ચોરસની બાજુ} = \frac{16}{4}`
`= 4 \text{ સેમી}`
3. 55 સેમી પરિમિતિ ધરાવતા તથા 20 સેમી અને 14 સેમી લંબાઈવાળી બે બાજુઓ હોય તેવા ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની લંબાઈ શોધો.
`55 = 20 + 14 + \text{ત્રીજી બાજુ}`
`55 = 34 + \text{ત્રીજી બાજુ}`
`\text{ત્રીજી બાજુ} = 55 - 34`
`= 21 \text{ સેમી}`
4. 150 મીટર લંબાઈ અને 120 મીટર પહોળાઈવાળા લંબચોરસ બગીચાને ફરતે વાડ બનાવવાનો ખર્ચ કેટલો થશે, જો વાડ બનાવવાનો ખર્ચ પ્રતિ મીટર રૂપિયા 40 હોય?
`= 2 \times (150 + 120)`
`= 2 \times 270`
`= 540 \text{ મીટર}`
`\text{વાડ બનાવવાનો કુલ ખર્ચ} = 540 \times 40`
`= 21600 \text{ રૂપિયા}`
5. એક દોરીનો ટુકડો 36 સેમી લાંબો છે. જો તેનો ઉપયોગ નીચેના આકારો બનાવવા માટે કરવામાં આવે તો દરેક આકારમાં બાજુની લંબાઈ કેટલી હશે? a. ચોરસ, b. બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય તેવો ત્રિકોણ, c. સમાન લંબાઈની બાજુઓવાળો ષટ્કોણ (Hexagon) (છ બાજુવાળી બંધ આકૃતિ)?
`= \frac{36}{4}`
`= 9 \text{ સેમી}`
b. સમભુજ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ :
`= \frac{36}{3}`
`= 12 \text{ સેમી}`
c. નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ :
`= \frac{36}{6}`
`= 6 \text{ સેમી}`
6. એક ખેડૂત પાસે 230 મીટર લંબાઈ અને 160 મીટર પહોળાઈનું લંબચોરસ ખેતર છે. તે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે દોરડાની 3 આંટાની વાડ લગાવવા માંગે છે. જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ કેટલી છે?
`= 2 \times (230 + 160)`
`= 2 \times 390`
`= 780 \text{ મીટર}`
`\text{જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ} = 3 \times \text{પરિમિતિ}`
`= 3 \times 780`
`= 2340 \text{ મીટર}`
મગજ કસો ! (પાના નં. 133-134)
1. 5 ચક્કરમાં અક્ષી દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર શોધો.
`\text{5 ચક્કરમાં કપાયેલું કુલ અંતર} = 5 \times 220`
`= 1100 \text{ મીટર}`
2. 7 ચક્કરમાં તોષી દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર શોધો. કોણ વધુ અંતર દોડ્યું?
`= 2 \times (60 + 30)`
`= 2 \times 90`
`= 180 \text{ મીટર}`
`\text{7 ચક્કરમાં તોષી દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર} = 7 \times 180`
`= 1260 \text{ મીટર}`
અહીં 1260 મીટર > 1100 મીટર હોવાથી, તોષી વધુ અંતર દોડી.
3. વિચારો અને નિર્દેશ મુજબ સ્થાનોને દર્શાવો : a. 250 મીટર દોડ્યા પછી અક્ષી કયા સ્થાને હશે? તે સ્થાન પર 'A' દર્શાવો. b. 500 મીટર દોડ્યા પછી અક્ષી કયા સ્થાને હશે? તે સ્થાન પર “B” દર્શાવો. c. હવે, અક્ષી 1000 મીટર દોડે છે. તેણે તેના પથની આસપાસ કેટલા સંપૂર્ણ ચક્કર પૂરા કર્યા છે? તે સ્થાનને “C” તરીકે દર્શાવો. d. 250 મીટર દોડ્યા પછી તોષી જે સ્થાને હશે તે સ્થાન પર 'X' દર્શાવો. e. 500 મીટર દોડ્યા પછી તોષી જે સ્થાને હશે તે સ્થાન પર 'Y' દર્શાવો. f. હવે, તોષી 1000 મીટર દોડે છે. તેણે તેના પથની આસપાસ કેટલા સંપૂર્ણ ચક્કર પૂરા કર્યા? તેના સ્થાનને ‘Z” તરીકે દર્શાવો.
• b. 500 મીટર દોડ્યા પછી અક્ષી : 2 ચક્કર (440 મી) + 60 મીટર આગળ ⟶ સ્થાન 'B'.
• c. 1000 મીટર દોડ્યા પછી અક્ષી : `1000 \div 220 = 4` સંપૂર્ણ ચક્કર અને 120 મીટર બાકી ⟶ તેણે 4 સંપૂર્ણ ચક્કર પૂરા કર્યા (સ્થાન 'C').
• d. 250 મીટર દોડ્યા પછી તોષી : 1 ચક્કર (180 મી) + 70 મીટર આગળ ⟶ સ્થાન 'X'.
• e. 500 મીટર દોડ્યા પછી તોષી : 2 ચક્કર (360 મી) + 140 મીટર આગળ ⟶ સ્થાન 'Y'.
• f. 1000 મીટર દોડ્યા પછી તોષી : `1000 \div 180 = 5` સંપૂર્ણ ચક્કર અને 100 મીટર બાકી ⟶ તેણે 5 સંપૂર્ણ ચક્કર પૂરા કર્યા (સ્થાન 'Z').
• ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરો (દોડની અંતિમ રેખા - પાના નં. 134) :
બહારના ચોરસ પથની પરિમિતિ = 4 × 150 = 600 મીટર.
જો કુલ દોડ 350 મીટરની હોય, તો સામાન્ય અંતિમ રેખાથી પથની દિશાની વિરુદ્ધ 350 મીટર પાછળ શરૂઆતનું બિંદુ રાખવું પડે :
• અંદરના પથ પર દોડનાર 'A' ની સ્થિતિ : અંતિમ રેખાથી 50 મીટર આગળ (400 - 350 = 50 મીટર બાકી).
• બહારના પથ પર દોડનાર 'B' ની સ્થિતિ : અંતિમ રેખાથી 250 મીટર પાછળ.
• અક્ષી અને તોષીની ત્રિકોણની પરિમિતિ વિશેની ચર્ચા (પાના નં. 134) :
તેથી કુલ પરિમિતિ `3 + 3 + 4.24 = 10.24` એકમ થાય.
આમ, તોષી સાચી છે કે પરિમિતિ 9 એકમથી વધુ હશે.
• નીચેની આકૃતિઓની પરિમિતિ સીધા (s) અને વિકર્ણ (d) એકમના સંદર્ભમાં લખો (POUN - પાના નં. 135) :
• પ્રથમ આકાર (P જેવો) : 6s + 2d
• બીજો આકાર (O / હૃદય જેવો) : 4s + 4d
• ત્રીજો આકાર (U જેવો) : 8s + 4d
• ચોથો આકાર (N જેવો) : 8s + 2d
• વિભાજિત કરો અને ફરી જોડો (પાના નં. 136) :
• ગોઠવણી a ની પરિમિતિ = 28 સેમી (આપેલ છે).
• ગોઠવણી b (L આકાર) ની પરિમિતિ :
`= 6 + 2 + 4 + 6 + 2 + 4`
`= 24 \text{ સેમી}`
• ગોઠવણી c (T આકાર) ની પરિમિતિ :
`= 6 + 2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 2`
`= 28 \text{ સેમી}`
• ગોઠવણી d ની પરિમિતિ : 26 સેમી.
• 22 સેમી પરિમિતિવાળી ગોઠવણી : બંને 6 × 2 ના ટુકડાઓને લંબાઈ તરફથી જોડીને 6 સેમી × 4 સેમી નો મૂળ લંબચોરસ બનાવતાં પરિમિતિ `= 2 \times (6 + 4) = 20` થાય, અને 12 સેમી × 2 સેમી નો લાંબો પટ્ટો બનાવતાં પરિમિતિ `= 2 \times (12 + 2) = 28` થાય. બંનેને 1 સેમી ઓવરલેપ કરીને જોડતાં 22 સેમી પરિમિતિ બનાવી શકાય.
✦ વિભાગ 6.2 : ક્ષેત્રફળ (Area) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 138)
1. 25 મીટર લાંબા લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 300 ચોમી છે. બગીચાની પહોળાઈ કેટલી છે?
`300 = 25 \times \text{પહોળાઈ}`
`\text{પહોળાઈ} = \frac{300}{25}`
`= 12 \text{ મીટર}`
2. 500 મીટર લાંબા અને 200 મીટર પહોળા લંબચોરસ પ્લોટમાં ₹8 પ્રતિ 100 ચોમીના દરે લાદી લગાવવાનો કુલ ખર્ચ કેટલો થશે?
`= 100000 \text{ ચોરસ મીટર}`
100 ચોમી લાદી લગાવવાનો ખર્ચ = ₹ 8
`\text{કુલ ખર્ચ} = \frac{100000 \times 8}{100}`
`= 1000 \times 8`
`= 8000 \text{ રૂપિયા}`
3. નાળિયેરનો એક લંબચોરસ બગીચો 100 મીટર લાંબો અને 50 મીટર પહોળો છે. જો દરેક નાળિયેરના વૃક્ષને 25 ચોરસ મીટર જગ્યાની જરૂર હોય, તો આ બગીચામાં વધુમાં વધુ કેટલાં વૃક્ષો વાવી શકાય?
`= 5000 \text{ ચોરસ મીટર}`
`\text{વૃક્ષોની મહત્તમ સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}}{25}`
`= \frac{5000}{25}`
`= 200 \text{ વૃક્ષો}`
4. નીચેની આકૃતિઓને લંબચોરસમાં વિભાજિત કરીને, તેમનાં ક્ષેત્રફળ શોધો (બધાં માપ મીટરમાં આપેલાં છે) :
આકૃતિ a :
• લંબચોરસ 1 (ડાબો ભાગ) : `3 \times 4 = 12 \text{ ચોમી}`
• લંબચોરસ 2 (મધ્ય ભાગ) : `2 \times 2 = 4 \text{ ચોમી}`
• લંબચોરસ 3 (જમણો ભાગ) : `4 \times 3 = 12 \text{ ચોમી}` (અથવા `5 \times 3`)
કુલ ક્ષેત્રફળ :
`= 12 + 4 + 12`
`= 28 \text{ ચોમી}` (માપ અનુસાર `9 + 12 + 7 = 28` ચોમી)
આકૃતિ b (U આકાર) :
• ડાબી ઊભી પટ્ટી : `1 \times 2 = 2 \text{ ચોમી}`
• જમણી ઊભી પટ્ટી : `1 \times 2 = 2 \text{ ચોમી}`
`\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} = 5 + 2 + 2`
`= 9 \text{ ચોમી}`
વિચારો અને શોધો (ટેનગ્રામના ટુકડા - પાના નં. 139)
1. ચકાસો અને શોધો કે, કેટલા ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે?
• મોટા ત્રિકોણ A અને B નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
• નાના ત્રિકોણ C અને E નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
• ચોરસ D, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ G અને મધ્યમ ત્રિકોણ F નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
2. આકાર Cની સરખામણીમાં આકાર D કેટલા ગણો મોટો છે? આકાર C, D અને E વચ્ચે શું સંબંધ છે?
આકાર C અને E નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે અને `D = C + E` થાય છે.
3. કયા આકારનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે : આકાર D કે F? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
કારણ : ચોરસ D અને મધ્યમ ત્રિકોણ F બંને બે-બે નાના ત્રિકોણ C (અથવા E) જેટલું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
4. કયા આકારનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે : આકાર F કે G? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
કારણ : મધ્યમ ત્રિકોણ F અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ G બંને 2 નાના ત્રિકોણ જેટલી જગ્યા રોકે છે.
5. આકાર Aનું ક્ષેત્રફળ આકાર Gની સરખામણીમાં કેટલું છે? શું તે બમણું (double) છે? શું તે ચાર ગણું મોટું છે?
તેથી, આકાર A નું ક્ષેત્રફળ આકાર G ના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું (2 ગણું) છે.
6. શું તમે આપેલા બધા જ સાત ટુકડાઓથી બનેલા મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકાર Cના ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં શોધી શકો છો?
`A(4) + B(4) + C(1) + D(2) + E(1) + F(2) + G(2) = 16`
આમ, મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકાર C ના ક્ષેત્રફળ કરતાં 16 ગણું છે.
7. આ 7 ટુકડાઓને ગોઠવીને એક લંબચોરસ બનાવો. હવે આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકાર Cના ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં કેટલું હશે? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
કારણ : તે જ સાત ટુકડાઓને માત્ર ફરી ગોઠવવામાં આવ્યા છે, તેથી કુલ રોકાયેલી જગ્યા (ક્ષેત્રફળ) બદલાતી નથી.
8. આ 7 ટુકડાઓથી બનેલા ચોરસ અને લંબચોરસની પરિમિતિ અલગ છે કે સમાન? તમારા જવાબ માટે સમજૂતી આપો.
ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા છતાં બહારની સીમાઓની લંબાઈ બદલાઈ જાય છે, તેથી લંબચોરસની પરિમિતિ ચોરસની પરિમિતિ કરતાં મોટી બને છે.
ચાલો શોધીએ! (પાના નં. 141-142)
• ક્ષેત્રફળ સામાન્ય રીતે ચોરસનો ઉપયોગ કરીને શા માટે માપવામાં આવે છે? આપણે ચોરસને બદલે વર્તુળોનો ઉપયોગ કેમ ન કરી શકીએ?
કારણ કે ચોરસોને પાસપાસે ગોઠવતાં તેમની વચ્ચે કોઈ જગ્યા બાકી રહેતી નથી અને તે કોઈપણ સમતલ સપાટીને સંપૂર્ણપણે આવરી લે છે. જ્યારે વર્તુળોને ગોઠવતાં વર્તુળો વચ્ચે ખાલી જગ્યાઓ રહી જાય છે, જેનાથી ક્ષેત્રફળનું ચોક્કસ માપ મળતું નથી.
• 24 ચોરસ એકમ ક્ષેત્રફળવાળા લંબચોરસ બનાવો : a. કયા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી વધુ છે? b. ક્યા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી ઓછી છે?
1. 24 × 1 : પરિમિતિ `= 2 \times (24 + 1) = 50 \text{ એકમ}`
2. 12 × 2 : પરિમિતિ `= 2 \times (12 + 2) = 28 \text{ એકમ}`
3. 8 × 3 : પરિમિતિ `= 2 \times (8 + 3) = 22 \text{ એકમ}`
4. 6 × 4 : પરિમિતિ `= 2 \times (6 + 4) = 20 \text{ એકમ}`
• a. સૌથી વધુ પરિમિતિ : 24 × 1 ના લંબચોરસની (50 એકમ)
• b. સૌથી ઓછી પરિમિતિ : 6 × 4 ના લંબચોરસની (20 એકમ)
c. જો તમે 32 ચોરસ સેમી ક્ષેત્રફળવાળો લંબચોરસ લો, તો તમારા જવાબો શું હશે? આપેલા કોઈ પણ ક્ષેત્રફળ માટે, સૌથી વધુ પરિમિતિ તેમજ સૌથી ઓછી પરિમિતિવાળા લંબચોરસ આકારનું અનુમાન કરવું શક્ય છે? તમારા જવાબ માટે ઉદાહરણો અને કારણો આપો.
• 32 × 1 ⟶ પરિમિતિ `= 2 \times 33 = 66 \text{ સેમી}` (સૌથી વધુ)
• 16 × 2 ⟶ પરિમિતિ `= 2 \times 18 = 36 \text{ સેમી}`
• 8 × 4 ⟶ પરિમિતિ `= 2 \times 12 = 24 \text{ સેમી}` (સૌથી ઓછી)
સામાન્ય અનુમાન : કોઈપણ આપેલ નિશ્ચિત ક્ષેત્રફળ માટે, જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈ વચ્ચેનો તફાવત સૌથી વધુ હોય (એટલે કે અત્યંત સાંકડો પટ્ટો), ત્યારે પરિમિતિ સૌથી વધુ મળે છે; અને જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈ એકબીજાની સૌથી નજીક હોય (ચોરસ જેવો આકાર), ત્યારે પરિમિતિ સૌથી ઓછી મળે છે.
✦ વિભાગ 6.3 : ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (Area of a Triangle) ✦
ચકાસો અને શોધો (પાના નં. 142-144)
• શું આ બે ત્રિકોણ એકબીજા પર બરાબર બંધબેસતા (overlap) થાય છે? શું તેમનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે? શું તમે આ અભ્યાસમાંથી કોઈ તારણ કાઢી શકો છો?
તારણ : લંબચોરસનો વિકર્ણ તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે. પ્રત્યેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે :
`\text{કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}`
• વાદળી ત્રિકોણ BAD નું ક્ષેત્રફળ અને લાલ ત્રિકોણ ABE નું ક્ષેત્રફળ શોધો (પાના નં. 143) :
• વાદળી ત્રિકોણ BAD નું ક્ષેત્રફળ :
`= \frac{1}{2} \times \text{લંબચોરસ ABCD નું ક્ષેત્રફળ}`
`= \frac{1}{2} \times 20`
`= 10 \text{ ચોરસ એકમ}`
• લાલ ત્રિકોણ ABE નું ક્ષેત્રફળ :
ત્રિકોણ ABE એ લંબચોરસ AFED (ક્ષેત્રફળ 12) ના અડધા ભાગ (6) અને લંબચોરસ BFEC (ક્ષેત્રફળ 8) ના અડધા ભાગ (4) નો સરવાળો છે :
`= 6 + 4`
`= 10 \text{ ચોરસ એકમ}`
આમ, બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન (10 ચોરસ એકમ) છે.
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 144-145)
1. નીચેની આકૃતિઓને લંબચોરસ અને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને તેમનાં ક્ષેત્રફળ શોધો (આકૃતિઓ a, b, c, d, e - પાના નં. 145) :
• આકૃતિ a : સમાંતરબાજુ આકાર ⟶ લંબચોરસ અને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરતાં = 16 ચોરસ એકમ.
• આકૃતિ b : સમલંબ આકાર ⟶ લંબચોરસ (3 × 6 = 18) અને ઉપર-નીચેના ત્રિકોણ મળીને = 21 ચોરસ એકમ.
• આકૃતિ c : બહુકોણ ⟶ = 35 ચોરસ એકમ.
• આકૃતિ d : પાયાનો ચોરસ (4 × 4 = 16) માંથી અંદરનો ત્રિકોણ બાદ કરતાં = 13 ચોરસ એકમ.
• આકૃતિ e : પતંગાકાર ચતુષ્કોણ ⟶ = 10 ચોરસ એકમ.
“વધુ' અથવા 'ઓછું' બનાવવું (પાના નં. 145)
9 એકમ ચોરસનો ઉપયોગ કરીને, નીચેના ઉકેલ મેળવો : 1. સૌથી નાની શક્ય પરિમિતિ કેટલી છે? 2. સૌથી મોટી શક્ય પરિમિતિ કેટલી છે? 3. 18 એકમની પરિમિતિવાળી આકૃતિ બનાવો. 4. શું તમે ઉપરોક્ત ત્રણ પરિમિતિઓમાંથી દરેક માટે અન્ય આકારની આકૃતિઓ બનાવી શકો છો, કે તે પરિમિતિ માટે ફક્ત એક જ આકારની આકૃતિ બને છે? તમારો તર્ક શું છે?
2. સૌથી મોટી શક્ય પરિમિતિ : 9 ચોરસને એક સીધી હરોળમાં (9 × 1) ગોઠવતાં પરિમિતિ `= 2 \times (9 + 1) =` 20 એકમ થાય.
3. 18 એકમની પરિમિતિવાળી આકૃતિ : T આકાર અથવા પગથિયાં જેવા આકારમાં ગોઠવવાથી 18 એકમ મળે.
4. હા, 9 ચોરસને અલગ-અલગ રીતે જોડીને સમાન પરિમિતિ ધરાવતા વિવિધ આકારો બનાવી શકાય છે.
• જો એક નવો ચોરસ જોડવામાં આવે તો પરિમિતિમાં શું ફેરફાર થશે? (પાના નં. 145-146) :
b. પરિમિતિ ઘટે : જો ચોરસને ખૂણાના ખાંચામાં મૂકી 3 બાજુઓ સાથે જોડવામાં આવે, તો પરિમિતિ ઘટે.
c. પરિમિતિ સમાન રહે : જો ચોરસને 2 બાજુઓ સાથે અડીને મૂકવામાં આવે (2 અંદર ઢંકાય અને 2 બહાર રહે), તો પરિમિતિ સમાન રહે છે.
ચરણ અને શરણના ઘરનો નકશો (પાના નં. 146-147)
• ચરણના ઘરના ખૂટતાં માપ અને ક્ષેત્રફળ :
• પ્લોટની કુલ લંબાઈ = 30 ફૂટ + 15 ફૂટ = 45 ફૂટ અને પહોળાઈ = 30 ફૂટ.
• ચરણના ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ :
`= 45 \times 30`
`= 1350 \text{ ચોરસ ફૂટ}`
• શરણના ઘરના ખૂટતાં પરિમાણો અને ક્ષેત્રફળ :
• શરણના ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ :
`= 42 \times 30`
`= 1260 \text{ ચોરસ ફૂટ}`
✦ ક્ષેત્રફળના કોયડાઓ અને સ્વાધ્યાયરૂપી પ્રશ્નો ✦
ક્ષેત્રફળના કોયડાઓ (પાના નં. 148)
આકૃતિ a :
ઉપરનો લંબચોરસ : લંબાઈ 13 સેમી, પહોળાઈ 26 સેમી ⟶ ખૂટતું ક્ષેત્રફળ = 30 ચો.સેમી.
આકૃતિ b :
ઉપરનો લંબચોરસ : પહોળાઈ 3 સેમી, લંબાઈ 5 - 3 = 2 સેમી ⟶ ક્ષેત્રફળ = 6 ચો.સેમી (અથવા આપેલ માપ અનુસાર 15 ચો.સેમી).
આકૃતિ c :
નીચેનો ભાગ 60 ચો.સેમી ⟶ ખૂટતું ક્ષેત્રફળ = 24 ચો.સેમી.
આકૃતિ d :
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 149)
1. 5 મી × 10 મી અને 2 મી x 7 મી માપવાળા બે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસનાં પરિમાણ આપો.
બીજા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 2 × 7 = 14 ચોમી
`\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} = 50 + 14`
`= 64 \text{ ચોરસ મીટર}`
64 ચોમી ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસનાં શક્ય પરિમાણો :
16 મી × 4 મી (અથવા 32 મી × 2 મી અથવા 8 મી × 8 મી ચોરસ).
2. 50 મી લાંબા લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 1000 ચોરસ મીટર છે. બગીચાની પહોળાઈ શોધો.
`= \frac{1000}{50}`
`= 20 \text{ મીટર}`
3. એક ઓરડાનું ભોયતળિયું 5 મી લાંબુ અને 4 મી પહોળું છે. 3 મીટર લંબાઈની બાજુવાળી એક ચોરસ શેતરંજી ભોંયતળિયા પર પાથરવામાં આવી છે. જે ભાગ પર શેતરંજી પાથરેલ નથી તે ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
`\text{શેતરંજીનું ક્ષેત્રફળ} = 3 \times 3 = 9 \text{ ચોમી}`
`\text{શેતરંજી વગરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ} = 20 - 9`
`= 11 \text{ ચોરસ મીટર}`
4. 15 મી લાંબા અને 12 મી પહોળા બગીચાના ચાર ખૂણામાં 2 મી લાંબા અને 1 મી પહોળા ફૂલના ક્યારા ખોદવામાં આવ્યા છે. હવે ઘાસ ઉગાડવા માટે કેટલો વિસ્તાર ઉપલબ્ધ છે?
1 ફૂલના ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ = 2 × 1 = 2 ચોમી
4 ક્યારાઓનું ક્ષેત્રફળ = 4 × 2 = 8 ચોમી
`\text{ઘાસ ઉગાડવા માટેનો વિસ્તાર} = 180 - 8`
`= 172 \text{ ચોરસ મીટર}`
5. આકાર Aનું ક્ષેત્રફળ 18 ચોરસ એકમ છે અને આકાર Bનું ક્ષેત્રફળ 20 ચોરસ એકમ છે. આકાર Aની પરિમિતિ આકાર B કરતાં વધારે છે. આપેલી શરતોનું પાલન કરતી બે આકૃતિ દોરો.
• આકાર A (ક્ષેત્રફળ 18) : 18 × 1 નો લંબચોરસ દોરો ⟶ પરિમિતિ `= 2 \times (18 + 1) = 38 \text{ એકમ}`.
• આકાર B (ક્ષેત્રફળ 20) : 5 × 4 નો લંબચોરસ દોરો ⟶ પરિમિતિ `= 2 \times (5 + 4) = 18 \text{ એકમ}`.
અહીં 38 > 18 હોવાથી આકાર A ની પરિમિતિ B કરતાં વધારે થાય છે.
6. તમારી નોટબુકના એક પાના પર, ઉપર અને નીચેથી 1 સેમી અને ડાબી અને જમણી બાજુથી 1.5 સેમી જગ્યા છોડી એક લંબચોરસ દોરો. તેની પરિમિતિ શોધો.
નવા લંબચોરસની લંબાઈ = 24 - (1 + 1) = 22 સેમી
નવા લંબચોરસની પહોળાઈ = 18 - (1.5 + 1.5) = 15 સેમી
`\text{પરિમિતિ} = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})`
`= 2 \times (22 + 15)`
`= 2 \times 37`
`= 74 \text{ સેમી}`
7. 12 એકમ x 8 એકમ માપનો એક લંબચોરસ દોરો. તેની અંદર બરાબર અડધું ક્ષેત્રફળ આવરી લેતો બીજો લંબચોરસ દોરો, જે બહારના લંબચોરસને સ્પર્શ કરે નહીં.
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 96 ÷ 2 = 48 ચોરસ એકમ.
અંદર 8 એકમ × 6 એકમ માપનો લંબચોરસ મધ્યમાં દોરી શકાય (8 × 6 = 48), જે બહારની કોઈ બાજુને સ્પર્શશે નહીં.
8. કાગળનો એક ચોરસ ટુકડો અડધો વાળવામાં આવે છે. પછી ચોરસને ગડીમાંથી કાપીને બે લંબચોરસ બનાવવામાં આવે છે. ચોરસના કદને ધ્યાનમાં લીધા વગર નીચેનાં વિધાનોમાંથી એક હંમેશાં સાચું છે. કયું વિધાન સાચું છે?
કાપતાં મળતા બે લંબચોરસની બાજુઓ 2a અને a બને.
એક લંબચોરસની પરિમિતિ = 2 × (2a + a) = 6a.
બંને લંબચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો = 6a + 6a = 12a.
ચોરસની પરિમિતિ કરતાં ગુણોત્તર = 12a / 8a = 1.5 ગણો (1 1/2 ગણો).
સાચો જવાબ : c. બંને લંબચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો ચોરસની પરિમિતિ કરતાં હંમેશાં 1 1/2 ગણો હોય છે.
إرسال تعليق