GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 7 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 7 "અપૂર્ણાંક" (Std 6 Maths Prakash Chapter 7 Apurnank) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 7.1 થી 7.9 માં આપેલા તમામ 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'પ્રયત્ન કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. અપૂર્ણાંક એકમો, સંખ્યારેખા પર નિરૂપણ, મિશ્ર અપૂર્ણાંક, સમઅપૂર્ણાંક, અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ, અપૂર્ણાંકોની સરખામણી, બ્રહ્મગુપ્તની સરવાળા-બાદબાકીની પદ્ધતિ અને ઇજિપ્તીયન અપૂર્ણાંકોના કોયડાઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.
- ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
- ✦ વિભાગ 7.1 : અપૂર્ણાંક એકમો અને સમાન વહેંચણી
- ✦ વિભાગ 7.2 : અપૂર્ણાંકના એકમો એક સંપૂર્ણના ભાગ તરીકે
- ✦ વિભાગ 7.3 : અપૂર્ણાંક એકમનો ઉપયોગ કરીને માપન
- ✦ વિભાગ 7.4 : સંખ્યારેખા પર અપૂર્ણાંકની લંબાઈ દર્શાવવી
- ✦ વિભાગ 7.5 : મિશ્ર અપૂર્ણાંક (Mixed Fractions)
- ✦ વિભાગ 7.6 : સમઅપૂર્ણાંક (Equivalent Fractions)
- ✦ વિભાગ 7.7 : અપૂર્ણાંકોની સરખામણી (Comparing Fractions)
- ✦ વિભાગ 7.8 : અપૂર્ણાંકોના સરવાળા અને બાદબાકી
- ✦ વિભાગ 7.9 : ઈતિહાસનો એક નાનકડો ભાગ અને કોયડા
- ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 7. apurnank imp notes) ✦
- અપૂર્ણાંક એકમ (Unit Fraction) : જ્યારે એક સમગ્ર એકમને સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે ત્યારે દરેક ભાગને એકમ અપૂર્ણાંક કહેવાય છે (દા.ત., 1/2, 1/3, 1/4...). છેદ જેટલો મોટો હોય તેટલો એકમ અપૂર્ણાંક નાનો બને છે.
- અંશ અને છેદ : અપૂર્ણાંક 5/6 માં 5 એ અંશ (numerator) છે અને 6 એ છેદ (denominator) છે. છેદ એ કુલ સમાન ભાગોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને અંશ તેમાંથી લીધેલા ભાગો દર્શાવે છે.
- મિશ્ર અપૂર્ણાંક (Mixed Fraction) : 1 કરતાં મોટા અપૂર્ણાંકોને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગના સરવાળા સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે (દા.ત., 7/2 = 3 1/2).
- સમઅપૂર્ણાંકો (Equivalent Fractions) : સમાન મૂલ્ય કે લંબાઈ દર્શાવતા અપૂર્ણાંકોને સમઅપૂર્ણાંકો કહે છે. અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની એક જ સંખ્યા વડે ગુણવાથી કે ભાગવાથી સમઅપૂર્ણાંક મળે છે.
- અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ (Simplest Form) : જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ ન હોય, તો તે અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં કહેવાય છે.
- બ્રહ્મગુપ્તની પદ્ધતિ : અપૂર્ણાંકોના સરવાળા કે બાદબાકી કરવા માટે પ્રથમ તેમને સામાન્ય છેદવાળા સમઅપૂર્ણાંકોમાં ફેરવવા અને ત્યારબાદ અંશનો સરવાળો કે બાદબાકી કરવી.
✦ વિભાગ 7.1 : અપૂર્ણાંક એકમો અને સમાન વહેંચણી ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 152-153)
ખાલી જગ્યાઓ અપૂર્ણાંક વડે ભરો :
1. ત્રણ જામફળનું વજન 1 કિલોગ્રામ છે. જો તે લગભગ સમાન કદ (size)નાં હોય, તો દરેક જામફળનું વજન (weight) આશરે _____ કિલોગ્રામ થશે.
2. એક જથ્થાબંધ વેપારીએ 1 કિલોગ્રામ ચોખામાંથી ચાર સમાન વજનનાં પડીકાં બનાવ્યાં. દરેક પડીકાનું વજન _____ કિલોગ્રામ હશે.
3. ચાર મિત્રોએ શેરડીના રસના 3 ગ્લાસ મંગાવ્યા અને તેને પોતાની વચ્ચે સરખે ભાગે વહેંચ્યા. દરેકે _____ ગ્લાસ શેરડીનો રસ પીધો.
4. એક મોટી માછલીનું વજન 1/2 કિલોગ્રામ છે. નાની માછલીનું વજન 1/4 કિલોગ્રામ છે. બંનેનું કુલ વજન _____ કિલોગ્રામ છે.
`= \frac{2}{4} + \frac{1}{4}`
`= \frac{3}{4} \text{ કિલોગ્રામ}`
5. નીચેના ખાલી બોક્સમાં આ અપૂર્ણાંકને નાનાથી મોટા કદના ક્રમમાં ગોઠવો : એક પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ, ત્રણ ચતુર્થાંશ, એક પૂર્ણાંક એક ચતુર્થાંશ, એક દ્વિતીયાંશ, એક ચતુર્થાંશ અને બે પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ.
• એક ચતુર્થાંશ = 1/4
• એક દ્વિતીયાંશ = 1/2
• ત્રણ ચતુર્થાંશ = 3/4
• એક પૂર્ણાંક એક ચતુર્થાંશ = 1 1/4 = 5/4
• એક પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ = 1 1/2 = 6/4
• બે પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ = 2 1/2 = 10/4
નાનાથી મોટા કદનો ચડતો ક્રમ :
એક ચતુર્થાંશ (1/4) < એક દ્વિતીયાંશ (1/2) < ત્રણ ચતુર્થાંશ (3/4) < એક પૂર્ણાંક એક ચતુર્થાંશ (1 1/4) < એક પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ (1 1/2) < બે પૂર્ણાંક એક દ્વિતીયાંશ (2 1/2)
✦ વિભાગ 7.2 : અપૂર્ણાંકના એકમો એક સંપૂર્ણના ભાગ તરીકે ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 154)
• આખી ચીકીને 6 સમાન ભાગોમાં અલગ અલગ રીતે વિભાજિત કરીને, આપણને અલગ આકારના ચીકીના 1/6 ટુકડા મળે છે. શું તે સમાન કદ (size)ના છે?
કારણ : ભલે ટુકડાઓનો આકાર લંબચોરસ કે ત્રિકોણાકાર અલગ દેખાય, પરંતુ તે બંને આખી ચીકીના બરાબર 6 સમાન ભાગ કરવાથી મળ્યા હોવાથી દરેક ટુકડાનું માપ આખી ચીકીના 1/6 ભાગ જેટલું જ છે.
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 155)
નીચેની આકૃતિઓ આખી ચીકીના વિવિધ અપૂર્ણાંક એકમો દર્શાવે છે. દરેક ટુકડો આખી ચીકીનો કેટલામો ભાગ છે? (આખી ચીકી 4 × 6 = 24 ચોરસ ખાના ધરાવે છે)
• b. 2 ખાનાં = 2/24 = 1/12 ભાગ
• c. 3 ખાનાં = 3/24 = 1/8 ભાગ
• d. 4 ખાનાં = 4/24 = 1/6 ભાગ
• e. 6 ખાનાં = 6/24 = 1/4 ભાગ
• f. 8 ખાનાં = 8/24 = 1/3 ભાગ
• g. 12 ખાનાં = 12/24 = 1/2 ભાગ
• h. ત્રિકોણાકાર અડધો ભાગ = 1/2 ભાગ
✦ વિભાગ 7.3 : અપૂર્ણાંક એકમનો ઉપયોગ કરીને માપન ✦
કાગળની પટ્ટી વાળીને ખાલી ખાનાં ભરો (પાના નં. 157)
• 4 વખત 1/8 = 4/8
• 6 વખત 1/8 = 6/8
• 8 વખત 1/8 = 8/8 = 1
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 158)
1. 1/2 ના કોષ્ટકને વધુ 2 પગલાં માટે ચાલુ રાખો.
`= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}`
`= \frac{6}{2}`
`= 3`
• 7 વખત અડધું :
`= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}`
`= \frac{7}{2}`
`= 3\frac{1}{2}`
2. શું તમે 1/4 માટે આવું જ કોષ્ટક બનાવી શકો છો?
• 2 વખત 1/4 = 1/4 + 1/4 = 2/4
• 3 વખત 1/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
• 4 વખત 1/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 = 1
• 5 વખત 1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4 = 1 1/4
3. કાગળની પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને 1/3 બનાવો. શું તમે આનો ઉપયોગ કરીને 1/6 પણ બનાવી શકો છો?
કાગળની પટ્ટીને ઝિગ-ઝાગ (Z આકારમાં) ત્રણ સરખા ભાગમાં વાળવાથી 1/3 ભાગ મળે છે.
હવે આ 1/3 વાળી પટ્ટીને ફરીથી બરાબર વચ્ચેથી અડધી વાળવાથી દરેક ભાગના 2 સમાન ટુકડા થઈ 1/6 ભાગ મળે છે.
4. ચિત્ર દોરો અને નીચેના માટે ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે સરવાળા (addition)નું વિધાન (statement) લખો :
`= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}`
`= \frac{5}{4}`
`= 1\frac{1}{4} \text{ રોટલી}`
b. 1/4 રોટલીનો 9 ગણો (9 વખત 1/4 રોટલી) :
`= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}`
`= \frac{9}{4}`
`= 2\frac{1}{4} \text{ રોટલી}`
5. દરેક અપૂર્ણાંક એકમને યોગ્ય ચિત્ર સાથે જોડો : (1/3, 1/5, 1/8, 1/6)
• 5 સમાન ભાગવાળું ચિત્ર ⟶ 1/5
• 6 સમાન ભાગવાળું ચિત્ર ⟶ 1/6
• 8 સમાન ભાગવાળું ચિત્ર ⟶ 1/8
✦ વિભાગ 7.4 : સંખ્યારેખા પર અપૂર્ણાંકની લંબાઈ દર્શાવવી ✦
સંખ્યારેખા પર ખાલી ખાનાં ભરો (પાના નં. 159-160)
2. 1 એકમના 5 સમાન ભાગ ⟶ ખાનાઓમાં અનુક્રમે : 2/5 અને 4/5
3. 1 એકમના 8 સમાન ભાગ ⟶ 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 160)
1. સંખ્યારેખા (number line) પર 1/10, 3/10 અને 4/5 લંબાઈની લીટીઓ દોરો.
0 થી 1 વચ્ચે 10 સમાન ભાગ પાડો :
• 0 થી પ્રથમ કાપો = 1/10
• 0 થી ત્રીજો કાપો = 3/10
• 4/5 = 8/10 હોવાથી 0 થી આઠમો કાપો = 4/5 દર્શાવે છે.
3. 0 અને 1 વચ્ચે કેટલા અપૂર્ણાંક આવેલા છે? વિચારો, તમારા સહપાઠીઓ સાથે ચર્ચા કરો અને તમારો જવાબ લખો.
4. કાળી લીટીની લંબાઈ દર્શાવતો અપૂર્ણાંક ખાનામાં લખો :
`\text{કાળી લીટીની લંબાઈ} = 1 + \frac{1}{2}`
`= \frac{3}{2}`
5. કાળી લીટીઓની લંબાઈ દર્શાવતો અપૂર્ણાંક સંબંધિત ખાનામાં લખો (1 થી આગળ 5 ના છેદવાળા) :
ખાનાઓમાં અનુક્રમે : 6/5, 7/5, 8/5, 9/5 આવશે.
✦ વિભાગ 7.5 : મિશ્ર અપૂર્ણાંક (Mixed Fractions) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 162)
1. 7/2 માં કેટલા પૂર્ણ (whole) એકમો (units) છે?
`= 3 + \frac{1}{2}`
જવાબ : 3 પૂર્ણ એકમો છે (અને 1/2 બાકી રહે).
2. 4/3 અને 7/3 માં કેટલા પૂર્ણ એકમો છે?
• 7/3 માં : `\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}` ⟶ 2 પૂર્ણ એકમો
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 162-163)
1. નીચેના દરેક અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણ એકમોની સંખ્યા શોધો : a. 8/3, b. 11/5, c. 9/4
b. 11/5 : 11 ને 5 વડે ભાગતાં ભાગફળ 2 મળે ⟶ 2 પૂર્ણ એકમો (`2\frac{1}{5}`)
c. 9/4 : 9 ને 4 વડે ભાગતાં ભાગફળ 2 મળે ⟶ 2 પૂર્ણ એકમો (`2\frac{1}{4}`)
2. શું 1 કરતાં મોટા બધા અપૂર્ણાંકોને આવી મિશ્ર સંખ્યાઓ તરીકે લખી શકાય?
3. નીચેના અપૂર્ણાંકોને મિશ્ર અપૂર્ણાંક તરીકે લખો :
b. `\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}`
c. `\frac{21}{19} = 1\frac{2}{19}`
d. `\frac{47}{9} = 5\frac{2}{9}`
e. `\frac{12}{11} = 1\frac{1}{11}`
f. `\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}`
• નીચેની મિશ્ર સંખ્યાઓને અપૂર્ણાંક તરીકે લખો (પાના નં. 163) :
b. `7\frac{2}{3} = \frac{7 \times 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}`
c. `9\frac{4}{9} = \frac{9 \times 9 + 4}{9} = \frac{85}{9}`
d. `3\frac{1}{6} = \frac{3 \times 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}`
e. `2\frac{3}{11} = \frac{2 \times 11 + 3}{11} = \frac{25}{11}`
f. `3\frac{9}{10} = \frac{3 \times 10 + 9}{10} = \frac{39}{10}`
✦ વિભાગ 7.6 : સમઅપૂર્ણાંક (Equivalent Fractions) ✦
અપૂર્ણાંક દીવાલ પરથી પ્રશ્નો (પાના નં. 164)
2. શું 2/3 અને 4/6 સમઅપૂર્ણાંકો છે? શા માટે? ⟶ હા, કારણ કે દીવાલ પર બંને બરાબર એક જ સીમારેખા સુધી પહોંચે છે (`\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}`).
3. 1/6 લંબાઈના કેટલા ટુકડા 1/2 લંબાઈ બનાવશે? ⟶ 3 ટુકડા (`3 \times \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}`).
4. 1/6 લંબાઈના કેટલા ટુકડા 1/3 લંબાઈ બનાવશે? ⟶ 2 ટુકડા (`2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}`).
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 165)
1. શું 3/6, 4/8, 5/10 સમઅપૂર્ણાંકો છે? શા માટે?
કારણ : આ ત્રણેય અપૂર્ણાંકોનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ 1/2 છે :
`\frac{3}{6} = \frac{1}{2}`
`\frac{4}{8} = \frac{1}{2}`
`\frac{5}{10} = \frac{1}{2}`
2. 2/6 માટે બે સમઅપૂર્ણાંક લખો.
• `\frac{2 \times 2}{6 \times 2} = \frac{4}{12}`
જવાબ : 1/3 અને 4/12
3. 4/6 ના સમઅપૂર્ણાંકો લખો :
વિચારો અને શોધો (રોટલી વહેંચણી - પાના નં. 166-167)
1. ત્રણ રોટલી ચાર બાળકો દ્વારા સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે છે. ચિત્ર દ્વારા ભાગાકાર દર્શાવો અને દરેક બાળકને કેટલો ભાગ મળે છે તેનો અપૂર્ણાંક લખો. ઉપરાંત, તેને સંબંધિત ભાગાકાર સ્વરૂપે, સરવાળા સ્વરૂપે અને ગુણાકાર સ્વરૂપે લખો.
• ભાગાકારનું સ્વરૂપ : `3 \div 4 = \frac{3}{4}`
• સરવાળાનું સ્વરૂપ : `\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}`
• ગુણાકારનું સ્વરૂપ : `3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}`
2. જ્યારે 2 રોટલી 4 બાળકો દ્વારા સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે ત્યારે દરેક બાળકને કેટલો ભાગ મળે છે, તે દર્શાવવા માટે એક ચિત્ર દોરો. ઉપરાંત, તેને અનુરૂપ ભાગાકારનું સ્વરૂપ, સરવાળાનું સ્વરૂપ અને ગુણાકારનું સ્વરૂપ લખો.
• ભાગાકારનું સ્વરૂપ : `2 \div 4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}`
• સરવાળાનું સ્વરૂપ : `\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}`
• ગુણાકારનું સ્વરૂપ : `2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}`
3. અનિલ એક એવા જૂથમાં હતો જ્યાં 2 કેક 5 બાળકો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવામાં આવી હતી. અનિલને કેટલી કેક મળશે? હવે, જો મારા જૂથમાં 10 બાળકો હોય તો મને કેટલી કેકની જરૂર પડશે, જેથી દરેકને અનિલ જેટલી જ કેક મળે?
10 બાળકો માટે જરૂરી કેક :
`\frac{2}{5} = \frac{\text{કેક}}{10}`
`\text{જરૂરી કેક} = \frac{2 \times 10}{5}`
`= 4 \text{ કેક}`
વિચારો અને શોધો (ખૂટતી સંખ્યાઓ - પાના નં. 168-169)
a. 4 મિત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલા 5 પ્યાલા ભરેલો રસ, એ 8 મિત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલા _____ પ્યાલા ભરેલા રસ જેટલા જ છે. આમ, 5/4 = [ ? ] / 8
જવાબ : 10 પ્યાલા
b. 3 થેલીઓમાં સમાન રીતે વિભાજિત 4 કિલો બટાકાં, એ 12 કિલો બટાકાંને _____ થેલીઓમાં સમાન રીતે વિભાજિત કરવા જેટલું જ છે. આમ, 4/3 = 12 / [ ? ]
જવાબ : 9 થેલીઓ
c. 5 બાળકો વચ્ચે વહેંચાયેલી 7 રોટલી એ _____ બાળકો વચ્ચે વહેંચાયેલી _____ રોટલી જેટલી જ છે. આમ, 7/5 = [ ? ] / [ ? ]
જવાબ : 10 બાળકો વચ્ચે વહેંચાયેલી 14 રોટલી
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 170-172)
• નક્કી કરો કે બે જૂથમાંથી કયા જૂથના દરેક બાળકને મોટો ભાગ મળશે : 1. સમૂહ 1 : 3 પ્યાલા શેરડીનો રસ 4 બાળકો વચ્ચે. સમૂહ 2 : 7 પ્યાલા શેરડીનો રસ 10 બાળકો વચ્ચે. 2. સમૂહ 1 : 4 પ્યાલા રસ 7 બાળકો વચ્ચે. સમૂહ 2 : 5 પ્યાલા રસ 7 બાળકો વચ્ચે.
સામાન્ય છેદ 20 કરતાં : `\frac{3}{4} = \frac{15}{20}` અને `\frac{7}{10} = \frac{14}{20}`.
અહીં 15/20 > 14/20 હોવાથી સમૂહ 1 ના બાળકને મોટો ભાગ મળશે.
2. સમૂહ 1 = 4/7 અને સમૂહ 2 = 5/7 :
છેદ સમાન છે, 5 > 4 હોવાથી સમૂહ 2 ના બાળકને મોટો ભાગ મળશે. (આ સરખામણી કરવી સહેલી હતી કારણ કે છેદ સમાન હતા).
• આપેલી અપૂર્ણાંક જોડીઓ માટે સમઅપૂર્ણાંક શોધો, જેથી અપૂર્ણાંક એકમો સમાન હોય (પાના નં. 172) :
b. 8/3 અને 5/6 : લ.સા.અ. 6 ⟶ 16/6 અને 5/6
c. 3/4 અને 3/5 : લ.સા.અ. 20 ⟶ 15/20 અને 12/20
d. 6/7 અને 8/5 : લ.સા.અ. 35 ⟶ 30/35 અને 56/35
e. 9/4 અને 5/2 : લ.સા.અ. 4 ⟶ 9/4 અને 10/4
f. 1/10 અને 2/9 : લ.સા.અ. 90 ⟶ 9/90 અને 20/90
g. 8/3 અને 11/4 : લ.સા.અ. 12 ⟶ 32/12 અને 33/12
h. 13/6 અને 1/9 : લ.સા.અ. 18 ⟶ 39/18 અને 2/18
વિચારો અને શોધો (અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ - પાના નં. 173)
નીચેના અપૂર્ણાંકોને અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરો :
b. `\frac{64}{144} = \frac{64 \div 16}{144 \div 16} = \frac{4}{9}`
c. `\frac{126}{147} = \frac{126 \div 21}{147 \div 21} = \frac{6}{7}`
d. `\frac{525}{112} = \frac{525 \div 7}{112 \div 7} = \frac{75}{16}`
✦ વિભાગ 7.7 : અપૂર્ણાંકોની સરખામણી (Comparing Fractions) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 174)
1. નીચેના અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરો અને તમારા જવાબોનાં યોગ્ય કારણ આપો :
`\frac{8}{3} = \frac{16}{6}` અને `\frac{5}{2} = \frac{15}{6}` ⟶ 8/3 > 5/2
b. 4/9 અને 3/7 :
`\frac{4}{9} = \frac{28}{63}` અને `\frac{3}{7} = \frac{27}{63}` ⟶ 4/9 > 3/7
c. 3/4 અને 7/12 :
`\frac{3}{4} = \frac{9}{12}` ⟶ 3/4 > 7/12
d. 12/5 અને 8/5 :
છેદ સમાન છે, 12 > 8 ⟶ 12/5 > 8/5
e. 9/4 અને 5/2 :
`\frac{5}{2} = \frac{10}{4}` ⟶ 9/4 < 5/2
f. 5/4 અને 7/10 :
5/4 એ 1 કરતાં મોટો છે અને 7/10 એ 1 કરતાં નાનો છે ⟶ 5/4 > 7/10
2. નીચેના અપૂર્ણાંકોને ચડતા (ascending) ક્રમમાં લખો :
લ.સા.અ. 30 લેતાં : 21/30, 22/30, 12/30.
ચડતો ક્રમ : 2/5 < 7/10 < 11/15
b. 19/24, 5/6, 7/12 :
લ.સા.અ. 24 લેતાં : 19/24, 20/24, 14/24.
ચડતો ક્રમ : 7/12 < 19/24 < 5/6
3. નીચેના અપૂર્ણાંકો ઉતરતા (descending) ક્રમમાં લખો :
લ.સા.અ. 32 લેતાં : 50/32, 104/32, 28/32, 17/32.
ઉતરતો ક્રમ : 13/4 > 25/16 > 7/8 > 17/32
b. 12/5, 7/10, 9/14 :
12/5 = 2.4, 7/10 = 0.70, 9/14 = 0.64.
ઉતરતો ક્રમ : 12/5 > 7/10 > 9/14
✦ વિભાગ 7.8 : અપૂર્ણાંકોના સરવાળા અને બાદબાકી ✦
વિચારો અને શોધો (સરવાળા - પાના નં. 179)
1. બ્રહ્મગુપ્તની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો :
b. `\frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9 + 4}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}`
c. `\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}`
d. `\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{14 + 6}{21} = \frac{20}{21}`
e. `\frac{3}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{45 + 20 + 12}{60} = \frac{77}{60} = 1\frac{17}{60}`
f. `\frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{10 + 12}{15} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}`
g. `\frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{12 + 10}{15} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}`
h. `\frac{3}{5} + \frac{5}{8} = \frac{24 + 25}{40} = \frac{49}{40} = 1\frac{9}{40}`
i. `\frac{9}{2} + \frac{5}{4} = \frac{18 + 5}{4} = \frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}`
j. `\frac{8}{3} + \frac{2}{7} = \frac{56 + 6}{21} = \frac{62}{21} = 2\frac{20}{21}`
k. `\frac{3}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{77}{60} = 1\frac{17}{60}`
l. `\frac{2}{3} + \frac{4}{5} + \frac{3}{7} = \frac{70 + 84 + 45}{105} = \frac{199}{105} = 1\frac{94}{105}`
m. `\frac{9}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{6} = \frac{54 + 15 + 14}{12} = \frac{83}{12} = 6\frac{11}{12}`
2. રહીમ 2/3 લિટર પીળા રંગને 3/4 લિટર વાદળી રંગ સાથે ભેળવીને લીલો રંગ બનાવે છે. તેણે બનાવેલા લીલા રંગનું કદ (volume) કેટલું છે?
`= \frac{8 + 9}{12}`
`= \frac{17}{12}`
`= 1\frac{5}{12} \text{ લિટર}`
3. ગીતાએ 2/5 મીટર ઝૂલ ખરીદી અને શમીમે તે જ 3/4 મીટર ખરીદી, જેથી ટેબલક્લોથને સંપૂર્ણ કિનારી (border) લગાવી શકાય, જેની પરિમિતિ 1 મીટર છે. બંનેએ ખરીદેલી ઝૂલની લંબાઈ શોધો. શું ઝૂલ ટેબલક્લોથની સંપૂર્ણ કિનારીને આવરી લેવા માટે પૂરતી હશે?
`= \frac{8 + 15}{20}`
`= \frac{23}{20}`
`= 1\frac{3}{20} \text{ મીટર}`
અહીં 23/20 મીટર > 1 મીટર હોવાથી, હા, ઝૂલ સંપૂર્ણ કિનારીને આવરી લેવા માટે પૂરતી હશે.
વિચારો અને શોધો (સમછેદી બાદબાકી - પાના નં. 181)
2. `\frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7 - 5}{9} = \frac{2}{9}`
3. `\frac{10}{27} - \frac{1}{27} = \frac{10 - 1}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}`
વિચારો અને શોધો (વિષમછેદી બાદબાકી - પાના નં. 182)
1. બ્રહ્મગુપ્તની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેની બાદબાકી કરો :
b. `\frac{2}{5} - \frac{4}{15} = \frac{6 - 4}{15} = \frac{2}{15}`
c. `\frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15 - 8}{18} = \frac{7}{18}`
d. `\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}`
2. દર્શાવ્યા મુજબ બાદબાકી કરો :
`= \frac{10}{3} - \frac{13}{4}`
`= \frac{40 - 39}{12}`
`= \frac{1}{12}`
b. 23/3 માંથી 18/5 :
`= \frac{23}{3} - \frac{18}{5}`
`= \frac{115 - 54}{15}`
`= \frac{61}{15}`
`= 4\frac{1}{15}`
c. 45/7 માંથી 29/7 :
`= \frac{45 - 29}{7}`
`= \frac{16}{7}`
`= 2\frac{2}{7}`
3. નીચેની સમસ્યાઓ ઉકેલો :
`\text{ચાલવાનું અંતર} = \frac{7}{10} - \frac{1}{2}`
`= \frac{7 - 5}{10}`
`= \frac{2}{10}`
`= \frac{1}{5} \text{ કિમી}`
b. જીવિકાને બગીચાનો એક સંપૂર્ણ ચક્કર લગાવવા માટે 10/3 મિનિટ લાગે છે અને તેના મિત્ર નમિતને તે જ કાર્ય કરવા માટે 13/4 મિનિટ લાગે છે. કોણ ઓછો સમય લે છે અને કેટલો?
જીવિકાનો સમય = 10/3 = 40/12 મિનિટ.
નમિતનો સમય = 13/4 = 39/12 મિનિટ.
અહીં 39/12 < 40/12 હોવાથી, નમિત ઓછો સમય લે છે.
`\text{તફાવત} = \frac{40}{12} - \frac{39}{12} = \frac{1}{12} \text{ મિનિટ}`
✦ વિભાગ 7.9 : ઈતિહાસનો એક નાનકડો ભાગ અને કોયડા ✦
કોયડો (Puzzle) - પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 184-185)
1. શું તમે ત્રણ અલગ અપૂર્ણાંક એકમો શોધી શકો છો જેનો સરવાળો 1 થાય? આ સમસ્યાનો ફક્ત એક જ ઉકેલ છે. (3 અપૂર્ણાંકોનો ક્રમ બદલ્યા સિવાય)
સૌથી મોટો અપૂર્ણાંક એકમ 1/2 હોવો જોઈએ.
બાકી રહેતા 1/2 માટે 1/3 અને 1/6 મળે છે :
`\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1`
જવાબ : 1/2, 1/3 અને 1/6
2. શું તમે ચાર અલગ અલગ અપૂર્ણાંક એકમો શોધી શકો છો જેનો સરવાળો 1 થાય? આ સમસ્યાના છ ઉકેલો છે! શું તમે તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક શોધી શકો છો? શું તમે તે બધા શોધી શકો છો?
1. `\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = 1`
2. `\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = 1`
3. `\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = 1`
4. `\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = 1`
5. `\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = 1`
6. `\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = 1`
Post a Comment