GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 8 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 8 "રચનાઓ સાથે રમત" (Std 6 Maths Prakash Chapter 8 Rachnao Sathe Ramat) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 8.1 થી 8.6 માં આપેલા તમામ 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'રચના કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. પરિકર અને માપપટ્ટી વડે વર્તુળ, ચાપ, તરંગ, ચોરસ અને લંબચોરસની રચના, વિકર્ણોના ગુણધર્મો તથા આપેલાં બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓની ભૌમિતિક રચનાઓ પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર રજૂ કરેલ છે.
- ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
- ✦ વિભાગ 8.1 : કલાકૃતિ (Art Work)
- ✦ વિભાગ 8.2 : ચોરસ અને લંબચોરસ (Square and Rectangle)
- ✦ વિભાગ 8.3 : ચોરસ અને લંબચોરસની રચના
- ✦ વિભાગ 8.4 : લંબચોરસમાં એક સંશોધન (An Exploration in Rectangle)
- ✦ વિભાગ 8.5 : લંબચોરસ અને ચોરસના વિકર્ણોનું અન્વેષણ
- ✦ વિભાગ 8.6 : આપેલાં બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓ
- ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 8. rachnao sathe ramat imp notes) ✦
- વર્તુળ અને ત્રિજ્યા : વર્તુળનાં તમામ બિંદુઓ તેના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલાં હોય છે. આ ચોક્કસ અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા (radius) કહે છે. પરિકરનો ઉપયોગ વર્તુળ અને ચાપ દોરવા માટે થાય છે.
- લંબચોરસના ગુણધર્મો :
1. સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
2. બધા જ ચારેય ખૂણા કાટખૂણા (90°) હોય છે. - ચોરસના ગુણધર્મો :
1. ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
2. બધા જ ચારેય ખૂણા કાટખૂણા (90°) હોય છે. - પરિભ્રમિત આકારો : ચોરસ કે લંબચોરસને કોઈપણ ખૂણે ફેરવવાથી (પરિભ્રમણ કરાવવાથી) તેની બાજુઓની લંબાઈ કે ખૂણાનાં માપ બદલાતાં નથી; તે આકાર ચોરસ કે લંબચોરસ જ રહે છે.
- વિકર્ણોના ગુણધર્મો :
• લંબચોરસ અને ચોરસ બંનેના વિકર્ણો લંબાઈમાં એકસમાન હોય છે.
• ચોરસના વિકર્ણો સામસામેના ખૂણાઓને બરાબર દ્વિભાજિત કરે છે (45° અને 45° ના ભાગ પાડે છે).
• લંબચોરસના વિકર્ણો ખૂણાઓને સામાન્ય રીતે અસમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. - સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓ : આપેલાં બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ મેળવવા માટે તે બંને બિંદુઓને કેન્દ્ર લઈ સમાન ત્રિજ્યાવાળા ચાપ મારી છેદબિંદુ મેળવવામાં આવે છે.
✦ વિભાગ 8.1 : કલાકૃતિ (Art Work) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 191)
1. આ અર્ધવર્તુળ મેળવવા માટે પરિકરમાં કેટલી ત્રિજ્યા લેવી જોઈએ? AXની લંબાઈ કેટલી હોવી જોઈએ?
મધ્યરેખા AB ની કુલ લંબાઈ = 8 સેમી છે.
તરંગમાં બે સમાન અર્ધવર્તુળ સમાયેલાં છે, તેથી રેખાખંડ AX ની લંબાઈ :
`AX = \frac{AB}{2}`
`= \frac{8}{2}`
`= 4 \text{ સેમી}`
હવે, AX એ પ્રથમ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ બને છે :
`\text{પરિકરમાં લેવાની ત્રિજ્યા} = \frac{AX}{2}`
`= \frac{4}{2}`
`= 2 \text{ સેમી}`
આમ, AX ની લંબાઈ 4 સેમી હોવી જોઈએ અને પરિકરમાં 2 સેમી ત્રિજ્યા લેવી જોઈએ.
2. જુદી જુદી લંબાઈની મધ્યરેખા લો અને તેના પર તરંગ દોરવાનો પ્રયાસ કરો.
દાખલા તરીકે 10 સેમી લંબાઈની મધ્યરેખા લઈએ :
`\text{દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ} = \frac{10}{2}`
`= 5 \text{ સેમી}`
`\text{પરિકરમાં ત્રિજ્યા} = \frac{5}{2}`
`= 2.5 \text{ સેમી}`
પ્રથમ 5 સેમીના ભાગ પર ઉપર તરફ અને પછીના 5 સેમીના ભાગ પર નીચે તરફ અર્ધવર્તુળ દોરવાથી સુંદર તરંગ રચાય છે.
3. આકૃતિ ફરીથી બનાવવાનો પ્રયાસ કરો જ્યાં તરંગો અડધા વર્તુળ કરતાં નાના હોય. (જેમ કે “વ્યક્તિ”ની આકૃતિની ગરદનમાં જોઈ શકાય છે) અહીં બંને તરંગો સમાન બને તે એક પડકાર છે. આ યુક્તિપૂર્ણ પણ હોઈ શકે છે.
અડધા વર્તુળ કરતાં નાનો વક્ર દોરવા માટે કેન્દ્રને મધ્યરેખાથી થોડે દૂર (ઉપર કે નીચે) રાખવું પડે છે. બંને બાજુ સમાન વક્ર મેળવવા માટે મધ્યરેખાથી સમાન લંબ અંતરે કેન્દ્રો નક્કી કરી સમાન ત્રિજ્યાવાળા ચાપ દોરવા પડે છે.
✦ વિભાગ 8.2 : ચોરસ અને લંબચોરસ (Square and Rectangle) ✦
ચોરસનું નામકરણ (પાના નં. 193)
આ ચોરસ માટે નીચેનામાંથી કયું નામ માન્ય નથી? 1. PQSR, 2. SPQR, 3. RSPQ, 4. QRSP
ચોરસ PQRS માં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ P પછી Q, Q પછી R અને R પછી S આવે છે.
વિકલ્પ 1 માં 'PQSR' આપેલ છે, જેમાં P થી Q પછી સીધું S આવે છે (વિકર્ણ માર્ગે કૂદકો મારે છે, સળંગ સીમા પર ફરતું નથી).
આથી, 1. PQSR નામ માન્ય નથી.
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 194)
1. લંબચોરસ અને ચાર ચોરસની ગોઠવણી (આકૃતિ 8.3માં બતાવેલ) ટપકાંવાળા કાગળ (ડોટ ગ્રીડ) પર દોરો. લંબચોરસની આસપાસ સપ્રમાણ રીતે ચાર ચોરસ મૂકાયેલા હોય તે રીતે આ આકૃતિ ફરીથી બનાવવા માટે તમે શું કર્યું? તમારા સહપાઠીઓ સાથે ચર્ચા કરો.
પ્રથમ મધ્યમાં લંબચોરસ દોર્યો અને તેની લંબાઈ તથા પહોળાઈનાં ટપકાં ગણ્યાં. ત્યારબાદ ચારેય ખૂણાઓ આગળ સમાન અંતર (ટપકાંઓની સંખ્યા) રાખીને સમાન માપના ચાર ચોરસ દોર્યા જેથી સમગ્ર આકૃતિ સપ્રમાણ (સમમિત) બને.
2. નીચે આપેલી આકૃતિઓમાં કોઈ ચોરસ છે કે નહીં તે ઓળખો. જો જરૂર હોય તો માપનો ઉપયોગ કરો. (આકૃતિઓ A, B, C, D)
• આકૃતિ A : ચોરસ છે (ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને ખૂણા 90° છે).
• આકૃતિ B : સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે, ચોરસ નથી (ખૂણા 90° નથી).
• આકૃતિ C : ચોરસ છે (પરિભ્રમિત ચોરસ છે, બાજુઓ સમાન અને ખૂણા 90° છે).
• આકૃતિ D : લંબચોરસ છે, ચોરસ નથી (પાસપાસેની બાજુઓ અસમાન છે).
3. ડોટ ગ્રીડ પર ઓછામાં ઓછા 3 પરિભ્રમિત ચોરસ અને લંબચોરસ દોરો. તેમને એવી રીતે દોરો કે તેમના ખૂણા ટપકાંઓ (ડોટ) પર હોય. તમે દોરેલા ચોરસ અને લંબચોરસ તેમના સંબંધિત ગુણધર્મોને સંતોષે છે કે નહીં તે ચકાસો.
ત્રાંસી રેખાઓ વાપરીને (દા.ત., 1 એકમ આડા અને 1 એકમ ઊભા) ટપકાં જોડીને દોરેલો ચોરસ ચારેય સમાન બાજુઓ અને 90° ના ખૂણા ધરાવે છે, જે ચોરસના ગુણધર્મો સંતોષે છે.
✦ વિભાગ 8.3 : ચોરસ અને લંબચોરસની રચના ✦
ચોરસ રચના પરથી પ્રશ્ન (પાના નં. 196)
બાજુ RS કેટલી લાંબી છે અને ∠R અને ∠Sનાં માપ શું છે?
6 સેમી બાજુવાળા ચોરસ PQRS ની રચનામાં :
• બાજુ RS ની લંબાઈ = 6 સેમી થાય.
• `\angle R = 90^\circ` અને `\angle S = 90^\circ` થાય.
રચના કરો (પાના નં. 197)
1. 4 સેમી અને 6 સેમી લંબાઈની બાજુઓવાળો એક લંબચોરસ દોરો. તે લંબચોરસના બંને ગુણધર્મોને સંતોષે છે કે કેમ તે તપાસો.
1. માપપટ્ટી વડે 6 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો.
2. બિંદુ A અને B આગળ કોણમાપક વડે 90° ના ખૂણે લંબ રેખાઓ દોરો.
3. પરિકરમાં 4 સેમી ત્રિજ્યા લઈ A અને B પરથી ચાપ મારી અનુક્રમે D અને C મેળવો.
4. રેખાખંડ CD જોડો.
ચકાસણી : સામસામેની બાજુઓ AB = CD = 6 સેમી અને AD = BC = 4 સેમી છે તથા ચારેય ખૂણા 90° છે, તેથી લંબચોરસના બંને ગુણધર્મો સંતોષાય છે.
2. 2 સેમી અને 10 સેમી બાજુઓવાળો એક લંબચોરસ દોરો. તે લંબચોરસના બંને ગુણધર્મોને સંતોષે છે કે કેમ તે તપાસો.
1. 10 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
2. બંને છેડે 90° ના ખૂણે 2 સેમી લંબાઈના લંબ દોરો.
3. સામેના છેડા જોડી લંબચોરસ પૂર્ણ કરો.
ચકાસણી : સામસામેની બાજુઓ 10 સેમી અને 2 સેમી સમાન છે અને બધા ખૂણા 90° છે.
3. શું ચાર બાજુવાળી એવી આકૃતિ બનાવવી શક્ય છે જેમાં બધા ખૂણાનું માપ 90° હોય પરંતુ સામસામેની બાજુઓ સમાન ન હોય?
કારણ : યુક્લિડની ભૂમિતિ મુજબ જો ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા 90° ના હોય, તો સામસામેની બાજુઓ આપોઆપ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની જ બને છે. તેથી સામસામેની બાજુઓ અસમાન હોય તેવો 90° ના ખૂણાવાળો ચતુષ્કોણ રચી શકાતો નથી.
✦ વિભાગ 8.4 : લંબચોરસમાં એક સંશોધન ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 198-200)
• બિંદુઓ X અને Y કઈ સ્થિતિમાં એકબીજાની સૌથી નજીક હશે? તમને શું લાગે છે કે તેઓ ક્યારે સૌથી દૂર હશે? X અને Y બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર ABની લંબાઈ સાથે કેવી રીતે સરખાવવામાં આવે છે? X અને Y વચ્ચેનું સૌથી વધુ અંતર ACની લંબાઈ સાથે કેવી રીતે સરખાવી શકાય? BD સાથે કેવી રીતે?
• સૌથી નજીક : જ્યારે X અને Y સામસામે સીધા લંબ અંતરે હોય (એટલે કે AX = BY હોય), ત્યારે તેઓ સૌથી નજીક હોય છે.
• લઘુત્તમ અંતર = AB ની લંબાઈ = 7 સેમી જેટલું જ હોય છે.
• સૌથી દૂર : જ્યારે બિંદુ X એક ખૂણા પર (D પર) અને Y સામેના વિરુદ્ધ ખૂણા પર (B પર) હોય, ત્યારે તેઓ સૌથી દૂર હોય છે.
• મહત્તમ અંતર એ લંબચોરસના વિકર્ણ AC અથવા BD ની લંબાઈ જેટલું હોય છે :
`\text{વિકર્ણની લંબાઈ} = \sqrt{7^2 + 4^2}`
`= \sqrt{49 + 16}`
`= \sqrt{65} \approx 8.06 \text{ સેમી}`
• આ દરેક કિસ્સામાં અવલોકન કરો (પાના નં. 199) : i. ABની સરખામણીમાં XYની લંબાઈ કેટલી છે, સરખામણી કરો. ii. 4-બાજુવાળી આકૃતિ ABYXનો આકાર.
ii. આકૃતિ ABYX એ એક લંબચોરસ બને છે.
અન્વેષણ કરો / રચના કરો (પાના નં. 199-202)
• જો આપણે AF = 4 સેમી લઈએ, તો ACની લંબાઈ કેટલી હોવી જોઈએ? (બે સમાન ચોરસમાં વિભાજિત લંબચોરસ)
અહીં ચોરસ હોવાથી AB = AF = 4 સેમી અને BC = 4 સેમી :
`AC = 4 + 4`
`= 8 \text{ સેમી}`
• એક એવા લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ આપો જેને નીચેનામાં વિભાજિત કરી શકાતું નથી : બે સમાન ચોરસ; ત્રણ સમાન ચોરસ.
• બે સમાન ચોરસમાં વિભાજિત થવા લંબાઈ : પહોળાઈ = 2 : 1 હોવું જોઈએ.
• ત્રણ સમાન ચોરસમાં વિભાજિત થવા લંબાઈ : પહોળાઈ = 3 : 1 હોવું જોઈએ.
આથી, જો લંબચોરસની બાજુઓ 5 સેમી અને 3 સેમી લઈએ (ગુણોત્તર 5 : 3), તો તેને બે કે ત્રણ સમાન ચોરસમાં વિભાજિત કરી શકાતો નથી.
1. લંબચોરસની અંદર ચોરસ : 8 સેમી અને 4 સેમી બાજુઓવાળા લંબચોરસની અંદર સમાન કેન્દ્રવાળો ચોરસ કેવી રીતે બનાવશો?
લંબચોરસની પહોળાઈ 4 સેમી હોવાથી અંદર બનતા મહત્તમ ચોરસની બાજુની લંબાઈ 4 સેમી હશે.
લંબચોરસની લંબાઈ 8 સેમી છે, તેથી બંને બાજુથી `\frac{8 - 4}{2} = 2 \text{ સેમી}` અંતર છોડીને મધ્યમાં 4 સેમી × 4 સેમી નો ચોરસ દોરવાથી બંનેનાં કેન્દ્ર સમાન થશે.
2. ચોરસની નિસરણી (Falling Squares) : 7 સેમી, 5 સેમી અને 3 સેમી બાજુવાળા ચોરસ ગોઠવો.
1. પ્રથમ 7 સેમી બાજુવાળો ચોરસ દોરો.
2. તેના ઉપરના જમણા શિરોબિંદુ આગળથી શરૂ કરી 5 સેમી બાજુવાળો બીજો ચોરસ જોડીને દોરો.
3. તેના ઉપરના જમણા શિરોબિંદુ આગળથી 3 સેમી બાજુવાળો ત્રીજો ચોરસ દોરો.
આમ, પગથિયાં આકારની સુંદર નિસરણી રચાશે.
✦ વિભાગ 8.5 : લંબચોરસ અને ચોરસના વિકર્ણોનું અન્વેષણ ✦
અન્વેષણ કરો / ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 203-205)
• શું g અને h સમાન છે? શું c અને d સમાન છે? સમાન હોય તેવી ખૂણાઓની જોડ ઓળખો. આ ખાસ કિસ્સામાં શું થાય છે તે જુઓ! (ચોરસના કિસ્સામાં)
• સામાન્ય લંબચોરસમાં : `g \ne h` અને `c \ne d` (ખૂણા સમાન ભાગમાં વહેંચાતા નથી).
• સમાન ખૂણાઓની જોડ (યુગ્મકોણ) :
`\angle d = \angle a`
`\angle c = \angle f`
`\angle e = \angle h`
`\angle b = \angle g`
• ચોરસના ખાસ કિસ્સામાં :
ચોરસમાં વિકર્ણ ખૂણાઓને બરાબર અડધા ભાગમાં વહેંચે છે :
`g = h = c = d = 45^\circ`
આમ, તમામ આઠેય ખૂણાઓ સમાન (દરેક 45°) બને છે.
રચના કરો (પાના નં. 205-211)
1. એક લંબચોરસની રચના કરો, જેમાં એક વિકર્ણ સામસામેના ખૂણાઓને 50° અને 40° માં વિભાજિત કરે છે.
1. કોઈપણ લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો.
2. બિંદુ A આગળ 90° નો કાટકોણ અને બિંદુ B આગળ 90° નો કાટકોણ દોરો.
3. બિંદુ A આગળથી 50° ના ખૂણે કિરણ દોરો જે B માંથી નીકળતા લંબને બિંદુ C આગળ છેદે.
4. બિંદુ C આગળથી લંબરેખા દોરી બિંદુ D મેળવો. લંબચોરસ ABCD તૈયાર થશે.
2. એક લંબચોરસની રચના કરો, જેમાં એક વિકર્ણ સામસામેના ખૂણાઓને 45° અને 45° માં વિભાજિત કરે છે. તમે બાજુઓ વિશે શું અવલોકન કરી શકો છો?
જ્યારે વિકર્ણ કાટખૂણાના બે સમાન ભાગ (45° અને 45°) પાડે, ત્યારે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે, જેથી પાસપાસેની બાજુઓ સમાન થાય છે (`AB = BC`).
અવલોકન : આ લંબચોરસની બધી જ બાજુઓ સમાન બને છે, એટલે કે તે એક ચોરસ બની જાય છે.
3. એક લંબચોરસની રચના કરો, જેની એક બાજુ 4 સેમી છે અને વિકર્ણની લંબાઈ 8 સેમી છે.
1. માપપટ્ટી વડે 4 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ BC દોરો.
2. બિંદુ B આગળ 90° ના ખૂણે લંબ કિરણ l દોરો.
3. પરિકરમાં 8 સેમી ત્રિજ્યા લઈ, બિંદુ C ને કેન્દ્ર ગણી લંબ કિરણ l પર ચાપ મારો. છેદબિંદુને A નામ આપો.
4. C અને A આગળથી અનુરૂપ લંબ દોરી ચોથું બિંદુ D મેળવો. લંબચોરસ ABCD તૈયાર થશે.
4. એક લંબચોરસની રચના કરો, જેની એક બાજુ 3 સેમી છે અને વિકર્ણની લંબાઈ 7 સેમી છે.
1. 3 સેમી લંબાઈનો આધાર રેખાખંડ દોરો.
2. એક છેડે 90° નો લંબ દોરો.
3. સામેના છેડેથી પરિકરમાં 7 સેમી ત્રિજ્યા લઈ લંબ પર ચાપ મારી ત્રીજું બિંદુ મેળવો.
4. કાટખૂણાઓની મદદથી લંબચોરસ પૂર્ણ કરો.
✦ વિભાગ 8.6 : આપેલાં બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓ ✦
રચના કરો (પાના નં. 211-216)
1. એક મોટું ઘર બનાવો, જેમાં બધી બાજુઓની લંબાઈ 7 સેમી હોય.
1. 7 સેમી લંબાઈનો આધાર રેખાખંડ DE દોરો.
2. D અને E આગળથી 90° ના ખૂણે 7 સેમી ઊંચી ઊભી બાજુઓ દોરી બિંદુઓ B અને C મેળવો.
3. પરિકરમાં 7 સેમી ત્રિજ્યા લઈ, બિંદુ B અને C પરથી ઉપરની તરફ ચાપ મારો. બંને ચાપના છેદબિંદુને A નામ આપો.
4. રેખાખંડ AB અને AC જોડો.
5. પરિકરમાં 7 સેમી ત્રિજ્યા રાખી, A ને કેન્દ્ર લઈ B અને C ને જોડતો છતનો વક્ર ચાપ દોરો.
2. ઘરની રચનામાં ઉપયોગમાં લેવાયેલાં પગલાંઓનો ઉપયોગ કરીને ’કલાકૃતિ’ વિભાગમાંથી “વ્યક્તિ”, “વળાંકવાળો તરંગ” અને “આંખો'ને ફરીથી બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.
• વ્યક્તિ : માથા માટે પરિકરથી પૂર્ણ વર્તુળ અને નીચે શરીર માટે ચોરસ દોરી તેના પર યોગ્ય ત્રિજ્યાથી વક્ર ચાપ દોરવો.
• આંખો : એક આડી રેખા દોરી તેના પર સમાન અંતરે બે કેન્દ્રો A અને B નક્કી કરી ઉપર અને નીચે સામસામે ચાપ મારતાં સમપ્રમાણ આંખનો આકાર રચાશે.
3. શું કોઈ એવી 4-બાજુવાળી આકૃતિ છે, જેમાં બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય પણ તે ચોરસ ન હોય? જો આવી કોઈ આકૃતિ અસ્તિત્વમાં હોય, તો શું તમે તેની રચના કરી શકો છો?
રચનાનાં પગલાં (બાજુ 5 સેમી) :
1. 5 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AC દોરો.
2. બિંદુ A આગળ 90° સિવાયનો કોઈપણ ખૂણો (દા.ત., 60°) બનાવી 5 સેમી લંબાઈનું કિરણ દોરી બિંદુ B મેળવો.
3. પરિકરમાં 5 સેમી ત્રિજ્યા રાખી બિંદુ B અને C પરથી ચાપ મારી ચોથું બિંદુ D મેળવો.
4. બાજુઓ જોડો. બનતો ચતુષ્કોણ ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે, જેની ચારેય બાજુઓ 5 સેમી સમાન છે પરંતુ ખૂણા 90° નથી.
إرسال تعليق