GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 9 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 9 "સંમિતિ" (Std 6 Maths Prakash Chapter 9 Sanmiti) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 9.1 થી 9.2 માં આપેલા તમામ 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'પ્રયત્ન કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. રૈખિક સંમિતિ, સંમિતિની રેખાઓ, દર્પણ પ્રતિબિંબ (Reflection), કાગળ કામ અને પંચિંગ રમત, પરિભ્રમણીય સંમિતિ (Rotational Symmetry), સંમિતિના ખૂણાઓ તથા સંસદ ભવન અને રંગોળીના કોયડાઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 9. sanmiti imp notes) ✦
- સંમિતિ (Symmetry) : જ્યારે કોઈ આકૃતિના ભાગો ચોક્કસ પૅટર્નમાં પુનરાવર્તિત થતા હોય અને આકૃતિ બંને બાજુથી સમાન દેખાતી હોય, ત્યારે તેને સંમિતિય આકાર કહે છે.
- સંમિતિની રેખા (Line of Symmetry) : જે રેખા કોઈ આકૃતિને બે એવા ભાગમાં વહેંચે છે કે જેથી એક ભાગને તે રેખા પરથી વાળતાં તે બીજા ભાગ પર સંપૂર્ણપણે બંધબેસતો (overlap) આવે, તેને સંમિતિની રેખા કે અક્ષ કહે છે.
- પ્રતિબિંબ સંમિતિ (Reflection Symmetry) : સંમિતિની રેખા એ અરીસાના પરાવર્તન (reflection) જેવું કાર્ય કરે છે, જેમાં રેખાની એક બાજુનું પ્રતિબિંબ બીજી બાજુ રચાય છે.
- પરિભ્રમણીય સંમિતિ (Rotational Symmetry) : જ્યારે કોઈ આકૃતિને નિશ્ચિત બિંદુ (પરિભ્રમણ કેન્દ્ર) ની આસપાસ ચોક્કસ ખૂણે ફેરવવામાં આવે અને તે મૂળ આકૃતિ જેવી જ દેખાય, ત્યારે તેને પરિભ્રમણીય સંમિતિ કહે છે.
- સંમિતિના ખૂણાઓ : 360° ના સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન આકૃતિ જેટલા ખૂણે મૂળ સ્થિતિ જેવી દેખાય તે ખૂણાઓને સંમિતિના ખૂણાઓ કહે છે. વર્તુળમાં દરેક ખૂણો સંમિતિનો ખૂણો છે.
✦ વિભાગ 9.1 : સંમિતિની રેખા (Line of Symmetry) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 219)
1. શું તમને પ્રકરણની શરૂઆતમાં આપેલી આકૃતિઓમાં કોઈ સંમિતિની રેખા દેખાય છે? વાદળના ચિત્ર વિશે શું કહેશો?
• પ્રકરણની શરૂઆતમાં આપેલા ફૂલ, પતંગિયું, રંગોળી અને ફરકડીના ચિત્રોમાં સંમિતિની રેખાઓ (અથવા પરિભ્રમણીય સંમિતિ) સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે.
• વાદળના ચિત્રમાં કોઈ નિયમિત આકાર કે પુનરાવર્તિત પૅટર્ન ન હોવાથી તેમાં કોઈ સંમિતિની રેખા હોતી નથી.
2. નીચેની દરેક આકૃતિઓ માટે, જો તેમાં સંમિતિની રેખાઓ હોય તો તે ઓળખો.
• ત્રિકોણાકાર આકૃતિમાં : 1 અથવા 3 સંમિતિની રેખાઓ હોઈ શકે.
• કોયડાના ટુકડાઓની આકૃતિમાં મધ્યમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સંમિતિની રેખા બને છે.
પ્રયત્ન કરો / સ્વાધ્યાયરૂપી પ્રશ્નો (પાના નં. 224-230)
1. નીચેની દરેક આકૃતિમાં, કાગળની વાળેલી ચોરસ શીટમાં એક છિદ્ર પાડવામાં આવ્યો અને પછી કાગળને ખોલવામાં આવ્યો. કાગળ જે રેખા પરથી વાળવામાં આવ્યો, તે રેખાને ઓળખો. આકૃતિ (d) એક જ છિદ્ર પાડીને બનાવવામાં આવી. કાગળને કેવી રીતે વાળવામાં આવ્યો?
• a, b, c આકૃતિઓમાં કાગળને મધ્યમાંથી આડી કે ઊભી ગડી (સંમિતિની રેખા) પર વાળીને છિદ્ર પાડવામાં આવ્યું હતું.
• આકૃતિ (d) માં કાગળને ખૂણા પરથી વિકર્ણ આકારમાં વાળીને છિદ્ર પાડવામાં આવ્યું હતું.
2. સંમિતિની આપેલી રેખા(ઓ) પરથી, અન્ય છિદ્ર કે છિદ્રો શોધો :
સંમિતિની રેખાથી જેટલા અંતરે ડાબી કે ઉપરની બાજુએ છિદ્ર હોય, બરાબર તેટલા જ સમાન અંતરે રેખાની સામેની બાજુએ (જમણી કે નીચે) બીજું છિદ્ર રચાય છે.
3. અહીં કાગળ કાપવા સંબંધિત કેટલાક પ્રશ્નો છે. ઊભી ગડી અને આડી ગડી ધ્યાનમાં લો...
કાગળને દર્શાવેલી ગડી પર વાળીને કાતરથી આકાર કાપવાથી ખોલ્યા બાદ બંને તરફ સમાન પૅટર્ન (સંમિતિય આકાર) મળે છે.
4. નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે કાગળને કાપ્યા પછી જ્યારે ખોલવામાં આવે ત્યારે છિદ્રનો આકાર કેવો હશે તેનું અનુમાન કરો.
કાપેલા ભાગનું પરાવર્તન થઈને સંમિતિય આકાર રચાય છે (દા.ત., ચોરસ કાપવાથી ચોરસ છિદ્ર અને વર્તુળ કાપવાથી વર્તુળાકાર છિદ્ર બને).
5. ધારો કે, તમારે આ દરેક આકારોને થોડી ગડીઓ (folds) અને એક સીધા (straight) કાપથી મેળવવાના છે. તમે તે કેવી રીતે કરશો? a. કેન્દ્રમાં એક ચોરસ છિદ્ર છે. b. કેન્દ્રમાં એક ચોરસ છિદ્ર છે.
કાગળને ઊભી અને આડી બંને દિશામાં બે વાર વાળીને (ચોથો ભાગ કરી) કેન્દ્રના ભાગ પર એક જ ત્રાંસો સીધો કાપ મૂકવાથી ખોલ્યા બાદ મધ્યમાં ચોરસ છિદ્ર રચાઈ જાય છે.
6. આ આકારોમાં સંમિતિની કેટલી રેખાઓ છે? a. ..., b. સમાન બાજુઓ અને સમાન ખૂણાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ, c. સમાન બાજુઓ અને સમાન ખૂણાઓ ધરાવતો ષટ્કોણ (hexagon)
• c. સમાન બાજુઓ અને ખૂણાવાળો ષટ્કોણ (નિયમિત ષટ્કોણ) : 6 સંમિતિની રેખાઓ
7. દરેક આકૃતિની છાપ (trace) લો અને જો તેમાં સંમિતિની રેખાઓ હોય તો તે દોરો : (આકૃતિઓ a, b, c)
• આકૃતિ (b) અને (c) માં આપેલી ભોંયતળિયા કે ગ્રીડની આકૃતિ મુજબ સંમિતિની રેખાઓ દોરી શકાય.
8. નીચે આપેલા કોલમ (Kolam – રંગોળીનો એક પ્રકાર) માટે સંમિતિની રેખાઓ શોધો.
આપેલા કોલમની ડિઝાઇન ખૂબ જ સપ્રમાણ હોવાથી તેમાં ઊભી, આડી અને બંને વિકર્ણો મળીને કુલ 4 સંમિતિની રેખાઓ મળે છે.
9. માગ્યા મુજબ દોરો. a. એક સંમિતિની રેખા ધરાવતો ત્રિકોણ. b. ત્રણ સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ. c. એકપણ સંમિતિની રેખા ન ધરાવતો ત્રિકોણ. શું બરાબર બે સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ દોરવાનું શક્ય છે?
• b. 3 સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ : સમબાજુ ત્રિકોણ
• c. એકપણ સંમિતિની રેખા ન ધરાવતો ત્રિકોણ : વિષમબાજુ ત્રિકોણ
• શું બરાબર 2 સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ દોરવો શક્ય છે? ⟶ ના, કોઈપણ ત્રિકોણને બરાબર 2 સંમિતિની રેખાઓ હોઈ શકે નહીં.
10. માગ્યા મુજબ દોરો. દરેક કિસ્સામાં, આકૃતિમાં ઓછામાં ઓછી એક વક્ર (curved) સીમા હોવી જોઈએ. a. એક સંમિતિની રેખા ધરાવતી આકૃતિ. b. બે સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતો આકાર. c. ચાર સંમિતિની રેખાઓ ધરાવતી આકૃતિ.
• b. 2 સંમિતિની રેખાઓવાળી વક્ર આકારની આકૃતિ : લંબગોળ (Ellipse)
• c. 4 સંમિતિની રેખાઓવાળી આકૃતિ : વર્તુળ
11 અને 12. આપેલી આકૃતિઓને વાદળી રેખા સંમિતિની રેખા બને તે રીતે પૂર્ણ કરો.
વાદળી રેખાથી સમાન અંતરે ડાબી બાજુના બિંદુઓ અને રેખાખંડોના પરાવર્તિત (mirror image) બિંદુઓ જમણી બાજુ અંકિત કરી આકૃતિ પૂર્ણ કરવી.
13. નીચે આપેલા ચિત્રની ટપકાંવાળા ગ્રીડ પર નકલ કરો. દરેક આકાર માટે, સંમિતિની રેખા ધરાવતો આકાર બનાવવા માટે બે વધુ રેખાઓ દોરો.
આપેલા આકારને સંમિતિય બનાવવા માટે તેની ધારો પર યોગ્ય સ્થાને બે વધારાની રેખાઓ દોરીને નિયમિત સ્ટાર કે ફૂલ જેવો આકાર બનાવી શકાય.
✦ વિભાગ 9.2 : પરિભ્રમણીય સંમિતિ (Rotational Symmetry) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 235-236)
1. નીચે આપેલી આકૃતિઓ માટે દર્શાવેલ કેન્દ્ર બિંદુ (.)ની આસપાસ સંમિતિના ખૂણાઓ શોધો : (a), (b), (c)
• આકૃતિ (a) માં 2 ભુજાઓ હોવાથી સંમિતિના ખૂણા : 180° અને 360°
• આકૃતિ (b) માં 4 કિરણાકાર ભુજાઓ હોવાથી સંમિતિના ખૂણા : 90°, 180°, 270°, 360°
• આકૃતિ (c) માં 6 ભુજાઓ હોવાથી સંમિતિના ખૂણા : 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°
2. નીચેનામાંથી કઈ આકૃતિમાં એકથી વધુ સંમિતિના ખૂણા છે?
3. દરેક આકૃતિ માટે પરિભ્રમણીય સંમિતિનો ક્રમ આપો :
• સમબાજુ ત્રિકોણ : ક્રમ 3 (120° ના ખૂણે)
• નિયમિત ષટ્કોણ : ક્રમ 6 (60° ના ખૂણે)
• લંબચોરસ : ક્રમ 2 (180° ના ખૂણે)
પ્રયત્ન કરો / સ્વાધ્યાયરૂપી પ્રશ્નો (પાના નં. 238-240)
1. વર્તુળ અને ચોરસ સિવાયની એવી બે આકૃતિઓ દોરો, જેમાં પ્રતિબિંબિત સંમિતિ (reflection symmetry) અને પરિભ્રમણીય સંમિતિ (rotational symmetry) બંને હોય.
1. સમબાજુ ત્રિકોણ (3 સંમિતિ રેખાઓ અને 120° નો પરિભ્રમણ ક્રમ 3)
2. નિયમિત ષટ્કોણ (6 સંમિતિ રેખાઓ અને 60° નો પરિભ્રમણ ક્રમ 6)
2. જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, નીચેના માટે કાચી આકૃતિ દોરો : a. ઓછામાં ઓછી બે સંમિતિની રેખાઓ અને ઓછામાં ઓછા બે સંમિતિના ખૂણાઓ ધરાવતો ત્રિકોણ. b. માત્ર એક સંમિતિની રેખા ધરાવતો, પરંતુ પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન ધરાવતો ત્રિકોણ. c. પરિભ્રમણીય સંમિતિ ધરાવતો, પરંતુ પ્રતિબિંબિત સંમિતિ ન ધરાવતો ચતુષ્કોણ. d. પ્રતિબિંબિત સંમિતિ ધરાવતો, પરંતુ પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન ધરાવતો ચતુષ્કોણ.
• b. માત્ર 1 સંમિતિ રેખા અને પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન હોય : સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ.
• c. પરિભ્રમણીય સંમિતિ હોય પણ પ્રતિબિંબિત સંમિતિ ન હોય : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (ક્રમ 2 છે પણ અરીસાની રેખા નથી).
• d. પ્રતિબિંબિત સંમિતિ હોય પણ પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન હોય : પતંગાકાર ચતુષ્કોણ અથવા સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ.
3. એક આકૃતિમાં 60° એ સંમિતિનો સૌથી નાનો ખૂણો છે. આ આકૃતિના અન્ય સંમિતિના ખૂણાઓ કયા છે?
જવાબ : 60°, 120°, 180°, 240°, 300° અને 360°.
4. એક આકૃતિમાં 60° એ સંમિતિનો ખૂણો છે. આ આકૃતિમાં 60° કરતાં નાના સંમિતિના બે ખૂણાઓ છે. તેનો સૌથી નાનો સંમિતિનો ખૂણો કયો છે?
જો 60° ના બે સરખા ભાગ (દ્વિભાજન) પાડવાથી નાના સંમિતિના ખૂણા મળતા હોય, તો :
`\text{સૌથી નાનો ખૂણો} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ`
જવાબ : 30°
5. શું પરિભ્રમણીય સંમિતિ ધરાવતી એવી કોઈ આકૃતિ હોઈ શકે છે કે જેમાં સંમિતિનો સૌથી નાનો ખૂણો : a. 45° હોય? b. 17° હોય?
• b. 17° : ના, શક્ય નથી (કારણ કે 360 એ 17 વડે નિઃશેષ વિભાજ્ય નથી; `360 \div 17 = 21.17` પૂર્ણાંક નથી).
6. આ ચિત્ર દિલ્લીમાં આવેલા નવા સંસદ ભવનનું છે. a. શું ચિત્રની બહારની સીમારેખા (boundary)માં પ્રતિબિંબિત સંમિતિ છે? જો હા, તો સંમિતિની રેખાઓ દોરો. તે કેટલી છે? b. શું તેના કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંમિતિ છે? જો હા, તો ભ્રમણીય સંમિતિના ખૂણાઓ શોધો.
નવું સંસદ ભવન ત્રિજ્યાલય (ત્રિ-કોણીય) આકારનું છે :
• a. હા, પ્રતિબિંબિત સંમિતિ છે. તેમાં મુખ્ય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી 3 સંમિતિની રેખાઓ છે.
• b. હા, પરિભ્રમણીય સંમિતિ છે. ત્રિકોણીય આકાર હોવાથી તેના પરિભ્રમણના ખૂણાઓ 120°, 240° અને 360° છે.
7. પ્રકરણ 1, કોષ્ટક 3ના નિયમિત બહુકોણ (Regular Polygons)ના પ્રથમ ક્રમની આકાર શ્રેણીમાં કેટલી સંમિતિની રેખાઓ છે? તમને કયો સંખ્યાક્રમ મળે છે?
સંખ્યાક્રમ : 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (ગણતરીની સંખ્યાઓ).
8. અશોક ચક્રમાં કેટલી સંમિતિની રેખાઓ અને સંમિતિના ખૂણાઓ હોય છે?
• સંમિતિની રેખાઓ = 24
• સૌથી નાનો પરિભ્રમણ કોણ = `360^\circ \div 24 = 15^\circ`
• સંમિતિના ખૂણાઓ = 15° ના તમામ ગુણક (15°, 30°, 45°... 360°).
Post a Comment