GSEB Class 7 Maths Chapter 12 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 7 ગણિત પ્રકરણ 12 "સંમિતિ" (Std 7 Maths Chapter 12 Sanmiti) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 12.1, 12.2 અને 12.3 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, રૈખિક સંમિતિ, પરિભ્રમણીય સંમિતિ, સંમિતિની રેખાઓ, પરિભ્રમણ કોણ અને પરિભ્રમણ ક્રમ સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 7 Maths chapter 12. sanmiti imp notes) ✦
- રૈખિક સંમિતિ (Line Symmetry) : જો કોઈ આકૃતિમાં એક એવી રેખા દોરી શકાય જેના પરથી આકૃતિને વાળતાં બંને ભાગ એકબીજા પર બરાબર બંધબેસતા આવે, તો તે આકૃતિ રૈખિક સંમિતિ ધરાવે છે તેમ કહેવાય. આ રેખાને સંમિતિની અક્ષ અથવા સંમિતિની રેખા કહે છે.
- નિયમિત બહુકોણની સંમિતિની રેખાઓ : નિયમિત બહુકોણમાં જેટલી બાજુઓ હોય તેટલી જ સંમિતિની રેખાઓ હોય છે.
• સમબાજુ ત્રિકોણ : 3 સંમિતિની રેખાઓ
• ચોરસ : 4 સંમિતિની રેખાઓ
• નિયમિત પંચકોણ : 5 સંમિતિની રેખાઓ
• નિયમિત ષટ્કોણ : 6 સંમિતિની રેખાઓ - પરિભ્રમણીય સંમિતિ (Rotational Symmetry) : જ્યારે કોઈ આકૃતિને કોઈ નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ ચોક્કસ ખૂણે ફેરવવામાં આવે અને તે મૂળ આકૃતિ જેવી જ દેખાય, ત્યારે તે પરિભ્રમણીય સંમિતિ ધરાવે છે તેમ કહેવાય.
- પરિભ્રમણ કેન્દ્ર (Centre of Rotation) : જે બિંદુની આસપાસ આકૃતિનું પરિભ્રમણ થાય છે તેને પરિભ્રમણ કેન્દ્ર કહેવાય છે.
- પરિભ્રમણ કોણ (Angle of Rotation) : પરિભ્રમણ દરમિયાન આકૃતિ જેટલા ન્યૂનતમ ખૂણે ફરતાં મૂળ સ્થિતિ જેવી દેખાય તે ખૂણાને પરિભ્રમણ કોણ કહે છે.
- પરિભ્રમણનો ક્રમ (Order of Rotational Symmetry) : એક સંપૂર્ણ ચક્ર (360°) ના પરિભ્રમણ દરમિયાન આકૃતિ જેટલી વખત મૂળ આકૃતિ જેવી જ બંધબેસતી દેખાય તે સંખ્યાને પરિભ્રમણનો ક્રમ કહે છે.
`\text{પરિભ્રમણનો ક્રમ} = \frac{360^\circ}{\text{પરિભ્રમણ કોણ}}`
✦ સ્વાધ્યાય 12.1 (std 7 Maths chapter 12.1 sanmiti swadhyay) ✦
1. કાણાં પાડેલી આકૃતિઓની નકલ કરો અને સંમિતિની અક્ષ શોધો :
જવાબ : બંને કાણાંની વચ્ચેથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ (આડી) રેખા સંમિતિની અક્ષ બને.
(b) ચોરસમાં ઉપરના જમણા ખૂણે અને નીચેના જમણા ખૂણે કાણાં છે :
જવાબ : બંને કાણાં વચ્ચેથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા સંમિતિની અક્ષ બને.
(c) ચોરસમાં ઉપરના ડાબા ખૂણે અને નીચેના જમણા ખૂણે કાણાં છે :
જવાબ : વિકર્ણ રેખા એ સંમિતિની અક્ષ બને.
(d) વર્તુળમાં વ્યાસની સામસામે બે કાણાં છે :
જવાબ : તે બંને કાણાંને જોડતો વ્યાસ અથવા તેના લંબદ્વિભાજક વ્યાસ સંમિતિની અક્ષ બને.
(e) ત્રિકોણમાં બે ખૂણાઓ પાસે કાણાં છે :
જવાબ : શિરોબિંદુમાંથી સામેની બાજુ પરનો લંબદ્વિભાજક સંમિતિની અક્ષ બને.
2. નીચે આપેલી સંમિતિની રેખા દ્વારા બાકીનાં કાણાં શોધો :
જવાબ : સંમિતિની રેખાથી સમાન અંતરે જમણી બાજુ સામે કાણું આવે.
(b) ત્રિકોણમાં શિરોલંબ સંમિતિ રેખા છે અને જમણી બાજુ કાણું છે :
જવાબ : ડાબી બાજુ સમાન અંતરે કાણું આવે.
(c) ત્રિકોણમાં એક ખૂણામાં કાણું છે :
જવાબ : સંમિતિ રેખાની બીજી બાજુ સમાન અંતરે કાણું આવે.
(d) વર્તુળમાં શિરોલંબ અક્ષ છે અને ડાબી બાજુ કાણું છે :
જવાબ : વર્તુળની જમણી બાજુ સમાન અંતરે કાણું આવે.
3. દર્પણ રેખા (સંમિતિની રેખા) તૂટક રેખા વડે દર્શાવેલી છે. તૂટક રેખા પર પરાવર્તન કરી પૂર્ણ આકૃતિ બનાવો અને તેના નામ આપો :
`= \text{સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ}`
(b) સમલંબ જેવા અડધા ભાગનું પરાવર્તન કરતાં :
`= \text{લંબચોરસ}`
(c) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના અડધા ભાગનું પરાવર્તન કરતાં :
`= \text{સમબાજુ ચતુષ્કોણ (પતંગાકાર)}`
(d) અર્ધવર્તુળનું પરાવર્તન કરતાં :
`= \text{વર્તુળ}`
(e) અડધા પંચકોણનું પરાવર્તન કરતાં :
`= \text{નિયમિત પંચકોણ}`
(f) અડધા અષ્ટકોણનું પરાવર્તન કરતાં :
`= \text{નિયમિત અષ્ટકોણ}`
4. નીચેની આકૃતિઓ એક કરતાં વધુ સંમિતિની રેખાઓ ધરાવે છે. આવી આકૃતિઓ માટે બહુવિધ સંમિતિની રેખાઓ ઓળખો :
(b) ચોરસમાં 2 મધ્યબિંદુઓને જોડતી અને 2 વિકર્ણો એમ કુલ 4 સંમિતિની રેખાઓ મળે.
(c) લંબચોરસમાં સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતી 2 સંમિતિની રેખાઓ મળે.
(d) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં બંને વિકર્ણો પર 2 સંમિતિની રેખાઓ મળે.
5. નીચેની દરેક આકૃતિઓ માટે સંમિતિની રેખાઓની સંખ્યા જણાવો :
(b) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ : 1
(c) વિષમબાજુ ત્રિકોણ : 0 (એક પણ નહીં)
(d) ચોરસ : 4
(e) લંબચોરસ : 2
(f) સમબાજુ ચતુષ્કોણ : 2
(g) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ : 0
(h) વર્તુળ : અસંખ્ય (અનંત)
6. અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના કયા અક્ષરો પરાવર્તિત સંમિતિ ધરાવે છે ?
(b) આડો અરીસો (સમક્ષિતિજ સંમિતિ) : B, C, D, E, H, I, K, O, X
(c) બંને અરીસા (ઊભો અને આડો બંને) : H, I, O, X
✦ સ્વાધ્યાય 12.2 (std 7 Maths chapter 12.2 sanmiti swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલી કઈ આકૃતિઓમાં 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ છે ?
`\text{પરિભ્રમણ કોણ} = 90^\circ`
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{90^\circ}`
`= 4` ⟶ 1 કરતાં વધુ ક્રમ છે.
(b) સમબાજુ ત્રિકોણ :
`\text{પરિભ્રમણ કોણ} = 120^\circ`
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{120^\circ}`
`= 3` ⟶ 1 કરતાં વધુ ક્રમ છે.
(c) માત્ર એક પાંખિયાવાળો આકાર :
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 1` ⟶ 1 કરતાં વધુ નથી.
(d) H આકાર :
`\text{પરિભ્રમણ કોણ} = 180^\circ`
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{180^\circ}`
`= 2` ⟶ 1 કરતાં વધુ ક્રમ છે.
(e) વર્તુળમાં 3 પાંખિયાવાળી ડિઝાઇન :
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 3` ⟶ 1 કરતાં વધુ ક્રમ છે.
(f) પવનચક્કીના ચાર પાંખિયા :
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 4` ⟶ 1 કરતાં વધુ ક્રમ છે.
આમ, આકૃતિઓ (a), (b), (d), (e) અને (f) માં 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ છે.
2. દરેક આકૃતિ માટે પરિભ્રમણીય સંમિતિનો ક્રમ જણાવો :
(a) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ જેવા બે સામસામે જોડાયેલા ત્રિકોણ
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{180^\circ}`
`= 2`
(b) બે પાંખિયાવાળો Z આકાર
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{180^\circ}`
`= 2`
(c) સમબાજુ ત્રિકોણ
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{120^\circ}`
`= 3`
(d) પવનચક્કી જેવી 4 પાંખોવાળી આકૃતિ
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{90^\circ}`
`= 4`
(e) વત્તાకార (+) જેવો 4 પાંખોવાળો આકાર
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = \frac{360^\circ}{90^\circ}`
`= 4`
(f) નિયમિત પંચકોણ
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 5`
(g) 6 પાંખિયાવાળો તારક આકાર (નિયમિત ષટ્કોણ આધારિત)
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 6`
(h) 3 પાંખિયાવાળી ડિઝાઇન
`\text{પરિભ્રમણ ક્રમ} = 3`
✦ સ્વાધ્યાય 12.3 (std 7 Maths chapter 12.3 sanmiti swadhyay) ✦
1. એવી બે આકૃતિઓનાં નામ આપો જે રૈખિક સંમિતિ અને પરિભ્રમણીય સંમિતિ બંને ધરાવતી હોય :
1. સમબાજુ ત્રિકોણ : 3 રૈખિક સંમિતિ રેખાઓ અને પરિભ્રમણ ક્રમ 3.
2. ચોરસ : 4 રૈખિક સંમિતિ રેખાઓ અને પરિભ્રમણ ક્રમ 4.
(ઉપરાંત વર્તુળ પણ બંને સંમિતિ ધરાવે છે)
2. કાચી આકૃતિ દોરો :
જવાબ : સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (માત્ર 1 રૈખિક સંમિતિ રેખા હોય અને પરિભ્રમણ ક્રમ 1 હોય).
(ii) રૈખિક સંમિતિ ન હોય પરંતુ 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ હોય તેવો ત્રિકોણ :
જવાબ : આવો ત્રિકોણ શક્ય નથી. (કોઈપણ ત્રિકોણમાં જો પરિભ્રમણ ક્રમ > 1 હોય તો તે સમબાજુ ત્રિકોણ જ હોય અને તે રૈખિક સંમિતિ પણ ધરાવે જ).
(iii) માત્ર રૈખિક સંમિતિ હોય પરંતુ 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન હોય તેવો ચતુષ્કોણ :
જવાબ : સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ અથવા પતંગાકાર ચતુષ્કોણ.
(iv) 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ હોય પરંતુ રૈખિક સંમિતિ ન હોય તેવો ચતુષ્કોણ :
જવાબ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (પરિભ્રમણ ક્રમ 2 હોય છે પરંતુ રૈખિક સંમિતિ હોતી નથી).
3. જો કોઈ આકૃતિને બે કે તેથી વધુ સંમિતિની રેખાઓ હોય, તો શું તેને 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ હોઈ શકે ?
હા. જો કોઈ આકૃતિને બે કે તેથી વધુ સંમિતિની રેખાઓ હોય, તો તે હંમેશાં 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ પણ ધરાવે જ છે (જેમ કે ચોરસ, લંબચોરસ, સમબાજુ ત્રિકોણ).
4. કોષ્ટક પૂર્ણ કરો (પરિભ્રમણ કેન્દ્ર, ક્રમ અને ખૂણો) :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = વિકર્ણોનું છેદબિંદુ
પરિભ્રમણ ક્રમ = 4
પરિભ્રમણ કોણ = 90°
• લંબચોરસ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = વિકર્ણોનું છેદબિંદુ
પરિભ્રમણ ક્રમ = 2
પરિભ્રમણ કોણ = 180°
• સમબાજુ ચતુષ્કોણ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = વિકર્ણોનું છેદબિંદુ
પરિભ્રમણ ક્રમ = 2
પરિભ્રમણ કોણ = 180°
• સમબાજુ ત્રિકોણ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ (મધ્યકેન્દ્ર)
પરિભ્રમણ ક્રમ = 3
પરિભ્રમણ કોણ = 120°
• નિયમિત ષટ્કોણ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = ષટ્કોણનું કેન્દ્ર
પરિભ્રમણ ક્રમ = 6
પરિભ્રમણ કોણ = 60°
• વર્તુળ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = વર્તુળનું કેન્દ્ર
પરિભ્રમણ ક્રમ = અસંખ્ય
પરિભ્રમણ કોણ = દરેક ખૂણે
• અર્ધવર્તુળ :
પરિભ્રમણ કેન્દ્ર = વ્યાસનું મધ્યબિંદુ
પરિભ્રમણ ક્રમ = 1
પરિભ્રમણ કોણ = 360°
5. એવા ચતુષ્કોણનાં નામ આપો જે રૈખિક સંમિતિ અને 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ બંને ધરાવતા હોય :
1. ચોરસ (4 સંમિતિ રેખાઓ, પરિભ્રમણ ક્રમ 4)
2. લંબચોરસ (2 સંમિતિ રેખાઓ, પરિભ્રમણ ક્રમ 2)
3. સમબાજુ ચતુષ્કોણ (2 સંમિતિ રેખાઓ, પરિભ્રમણ ક્રમ 2)
6. કેન્દ્રની આસપાસ 60° ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરતાં એક આકૃતિ મૂળ સ્થિતિ જેવી જ દેખાય છે, તો બીજા કયા ખૂણાઓ માટે પણ આવું બનશે ?
જો આકૃતિ 60° ના ખૂણે મૂળ સ્થિતિ જેવી દેખાતી હોય, તો તે 60° ના તમામ ગુણક ખૂણાઓ પર મૂળ સ્થિતિ જેવી જ દેખાશે :
`= 60^\circ \times 2 = 120^\circ`
`= 60^\circ \times 3 = 180^\circ`
`= 60^\circ \times 4 = 240^\circ`
`= 60^\circ \times 5 = 300^\circ`
`= 60^\circ \times 6 = 360^\circ`
આમ, 120°, 180°, 240°, 300° અને 360° ના ખૂણાઓ માટે પણ આવું બનશે.
7. નીચે આપેલા ખૂણાઓ માટે 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ મળી શકે ?
(i) 45°
અહીં 360° એ 45° વડે નિઃશેષ વિભાજ્ય છે.
આથી, હા, 1 કરતાં વધુ ક્રમની (ક્રમ 8) પરિભ્રમણીય સંમિતિ મળે.
(ii) 17°
અહીં 360° એ 17° વડે નિઃશેષ વિભાજ્ય નથી (પૂર્ણાંક મળતો નથી).
આથી, ના, 1 કરતાં વધુ ક્રમની પરિભ્રમણીય સંમિતિ ન મળી શકે.
إرسال تعليق