GSEB Class 7 Maths Chapter 4 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 7 ગણિત પ્રકરણ 4 "સાદા સમીકરણ" (Std 7 Maths Chapter 4 Sada Samikaran) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 4.1, 4.2 અને 4.3 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સમીકરણની રચના, ચલને અલગ કરવાની પદ્ધતિ, સ્થાનાંતરની રીત તથા વ્યવહારુ કૂટપ્રશ્નો સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 7 Maths chapter 4. sada samikaran imp notes) ✦
- ચલ (Variable) : ચલ એટલે જેની કિંમત બદલાતી રહે છે. ચલની કિંમત નિશ્ચિત હોતી નથી. તેને સામાન્ય રીતે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો જેવા કે `x, y, z, m, n, p` વગેરે વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
- પદાવલિ (Expression) : ચલ અને અચલ પર ગાણિતિક ક્રિયાઓ (સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર) કરવાથી પદાવલિ બને છે. દા.ત., `4x + 5, 10y - 20`.
- સમીકરણ (Equation) : સમીકરણ એ ચલ પરની એવી શરત છે જેમાં હંમેશાં સમતા (બરાબર) (`=`) નું ચિહ્ન હોય છે. સમતાનું ચિહ્ન દર્શાવે છે કે ડાબી બાજુ (LHS) અને જમણી બાજુ (RHS) ની કિંમત સમાન છે.
- સમીકરણનો ઉકેલ (Solution) : ચલની જે કિંમત માટે સમીકરણની બંને બાજુઓની કિંમત સમાન થાય (એટલે કે શરત સંતોષાય), તે કિંમતને સમીકરણનો ઉકેલ કહે છે.
- સમીકરણ સંતુલનનો નિયમ : સમીકરણ એ બે પલ્લાંવાળા ત્રાજવા જેવું છે.
• બંને બાજુ સમાન સંખ્યા ઉમેરવાથી સમતા જળવાય છે.
• બંને બાજુથી સમાન સંખ્યા બાદ કરવાથી સમતા જળવાય છે.
• બંને બાજુ સમાન શૂન્યતર સંખ્યા વડે ગુણવાથી સમતા જળવાય છે.
• બંને બાજુ સમાન શૂન્યતર સંખ્યા વડે ભાગવાથી સમતા જળવાય છે. - સ્થાનાંતરનો નિયમ (Transposition) : સમીકરણમાં કોઈ પદને એક બાજુથી બીજી બાજુ લઈ જતાં તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.
• ધન (`+`) પદ બીજી બાજુ જતાં ઋણ (`-`) બને.
• ઋણ (`-`) પદ બીજી બાજુ જતાં ધન (`+`) બને.
• ગુણાકારમાં રહેલી સંખ્યા બીજી બાજુ ભાગાકારમાં (છેદમાં) જાય.
• ભાગાકારમાં રહેલી સંખ્યા બીજી બાજુ ગુણાકારમાં (અંશમાં) જાય.
✦ સ્વાધ્યાય 4.1 (std 7 Maths chapter 4.1 sada samikaran swadhyay) ✦
1. આપેલા કોષ્ટકમાં કહો કે સમીકરણનું સમાધાન થાય છે કે નહિ (હા / ના) :
ડા.બા. `= 3 + 3 = 6 \ne 0` ⟶ ના
(ii) `x + 3 = 0, x = 0`
ડા.બા. `= 0 + 3 = 3 \ne 0` ⟶ ના
(iii) `x + 3 = 0, x = -3`
ડા.બા. `= -3 + 3 = 0 = \text{જ.બા.}` ⟶ હા
(iv) `x - 7 = 1, x = 7`
ડા.બા. `= 7 - 7 = 0 \ne 1` ⟶ ના
(v) `x - 7 = 1, x = 8`
ડા.બા. `= 8 - 7 = 1 = \text{જ.બા.}` ⟶ હા
(vi) `5x = 25, x = 0`
ડા.બા. `= 5(0) = 0 \ne 25` ⟶ ના
(vii) `5x = 25, x = 5`
ડા.બા. `= 5(5) = 25 = \text{જ.બા.}` ⟶ હા
(viii) `5x = 25, x = -5`
ડા.બા. `= 5(-5) = -25 \ne 25` ⟶ ના
(ix) `\frac{m}{3} = 2, m = -6`
ડા.બા. `= \frac{-6}{3} = -2 \ne 2` ⟶ ના
(x) `\frac{m}{3} = 2, m = 0`
ડા.બા. `= \frac{0}{3} = 0 \ne 2` ⟶ ના
(xi) `\frac{m}{3} = 2, m = 6`
ડા.બા. `= \frac{6}{3} = 2 = \text{જ.બા.}` ⟶ હા
2. કૌંસમાં આપેલી કિંમતો આપેલાં સમીકરણનો ઉકેલ છે કે નહીં તે તપાસો :
(a) `n + 5 = 19 \quad (n = 1)`
`= 1 + 5`
`= 6`
જ.બા. `= 19`
`\text{ડા.બા.} \ne \text{જ.બા.}`
આથી, `n = 1` એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
(b) `7n + 5 = 19 \quad (n = -2)`
`= 7(-2) + 5`
`= -14 + 5`
`= -9`
જ.બા. `= 19`
`\text{ડા.બા.} \ne \text{જ.બા.}`
આથી, `n = -2` એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
(c) `7n + 5 = 19 \quad (n = 2)`
`= 7(2) + 5`
`= 14 + 5`
`= 19`
જ.બા. `= 19`
`\text{ડા.બા.} = \text{જ.બા.}`
આથી, `n = 2` એ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
(d) `4p - 3 = 13 \quad (p = 1)`
`= 4(1) - 3`
`= 4 - 3`
`= 1`
જ.બા. `= 13`
`\text{ડા.બા.} \ne \text{જ.બા.}`
આથી, `p = 1` એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
(e) `4p - 3 = 13 \quad (p = -4)`
`= 4(-4) - 3`
`= -16 - 3`
`= -19`
જ.બા. `= 13`
`\text{ડા.બા.} \ne \text{જ.બા.}`
આથી, `p = -4` એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
(f) `4p - 3 = 13 \quad (p = 0)`
`= 4(0) - 3`
`= 0 - 3`
`= -3`
જ.બા. `= 13`
`\text{ડા.બા.} \ne \text{જ.બા.}`
આથી, `p = 0` એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
3. પ્રયત્ન અને ભૂલની રીતે સમીકરણ ઉકેલો :
(i) `5p + 2 = 17`
ડા.બા. `= 5(1) + 2 = 5 + 2 = 7 \ne 17`
• `p = 2` લેતાં :
ડા.બા. `= 5(2) + 2 = 10 + 2 = 12 \ne 17`
• `p = 3` લેતાં :
ડા.બા. `= 5(3) + 2`
`= 15 + 2`
`= 17 = \text{જ.બા.}`
આમ, સમીકરણનો ઉકેલ `p = 3` છે.
(ii) `3m - 14 = 4`
ડા.બા. `= 3(4) - 14 = 12 - 14 = -2 \ne 4`
• `m = 5` લેતાં :
ડા.બા. `= 3(5) - 14 = 15 - 14 = 1 \ne 4`
• `m = 6` લેતાં :
ડા.બા. `= 3(6) - 14`
`= 18 - 14`
`= 4 = \text{જ.બા.}`
આમ, સમીકરણનો ઉકેલ `m = 6` છે.
4. નીચે આપેલાં વિધાનોને સમીકરણ સ્વરૂપે લખો :
`x + 4 = 9`
(ii) y માંથી 2 બાદ કરતાં 8 મળે :
`y - 2 = 8`
(iii) a ના 10 ગણા 70 છે :
`10a = 70`
(iv) એક સંખ્યા b ને 5 વડે ભાગતાં 6 મળે :
`\frac{b}{5} = 6`
(v) t નો `\frac{3}{4}` ભાગ એ 15 છે :
`\frac{3t}{4} = 15`
(vi) m ના 7 ગણામાં 7 ઉમેરતાં 77 મળે :
`7m + 7 = 77`
(vii) કોઈ સંખ્યા x ના એક ચતુર્થાંશમાંથી 4 બાદ કરતાં 4 મળે :
`\frac{x}{4} - 4 = 4`
(viii) y ના 6 ગણામાંથી 6 બાદ કરતાં 60 મળે :
`6y - 6 = 60`
(ix) જો તમે z ના ત્રીજા ભાગમાં 3 ઉમેરો તો તમને 30 મળે :
`\frac{z}{3} + 3 = 30`
5. નીચે આપેલાં સમીકરણોને વિધાનના સ્વરૂપે લખો :
(ii) `m - 7 = 3` : m માંથી 7 બાદ કરતાં 3 મળે.
(iii) `2m = 7` : m ના બે ગણા 7 છે.
(iv) `\frac{m}{5} = 3` : સંખ્યા m ને 5 વડે ભાગતાં 3 મળે.
(v) `\frac{3m}{5} = 6` : m ના ત્રણ ગણાને 5 વડે ભાગતાં 6 મળે.
(vi) `3p + 4 = 25` : p ના ત્રણ ગણામાં 4 ઉમેરતાં 25 મળે.
(vii) `4p - 2 = 18` : p ના 4 ગણામાંથી 2 બાદ કરતાં 18 મળે.
(viii) `\frac{p}{2} + 2 = 8` : p ના અડધા ભાગમાં 2 ઉમેરતાં 8 મળે.
6. નીચેની સ્થિતિ દર્શાવતાં સમીકરણ બનાવો :
પરમિત પાસેની લખોટી = m
ઈરફાન પાસે લખોટી `= 5m + 7`
સમીકરણ : `5m + 7 = 37`
(ii) લક્ષ્મીની ઉંમર y વર્ષ છે. તેના પિતા 49 વર્ષના છે અને તે લક્ષ્મીની ઉંમરના 3 ગણાથી 4 વર્ષ મોટા છે :
લક્ષ્મીના પિતાની ઉંમર `= 3y + 4`
સમીકરણ : `3y + 4 = 49`
(iii) સૌથી ઓછા ગુણ l છે. સૌથી વધારે ગુણ એ સૌથી ઓછા ગુણના બે ગણાથી 7 વધારે છે અને સૌથી વધારે ગુણ 87 છે :
સૌથી વધુ ગુણ `= 2l + 7`
સમીકરણ : `2l + 7 = 87`
(iv) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં શિરઃકોણ આધારકોણ b કરતાં બે ગણો છે :
આધારકોણ = b અને b
શિરઃકોણ `= 2b`
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો 180° થાય :
`b + b + 2b = 180°`
સમીકરણ : `4b = 180°`
✦ સ્વાધ્યાય 4.2 (std 7 Maths chapter 4.2 sada samikaran swadhyay) ✦
1. ચલને અલગ કરવા માટેનું પ્રથમ પગલું કહો અને પછી ઉકેલ શોધો :
(a) `x - 1 = 0`
`x - 1 + 1 = 0 + 1`
`x = 1`
(b) `x + 1 = 0`
`x + 1 - 1 = 0 - 1`
`x = -1`
(c) `x - 1 = 5`
`x - 1 + 1 = 5 + 1`
`x = 6`
(d) `x + 6 = 2`
`x + 6 - 6 = 2 - 6`
`x = -4`
(e) `y - 4 = -7`
`y - 4 + 4 = -7 + 4`
`y = -3`
(f) `y - 4 = 4`
`y - 4 + 4 = 4 + 4`
`y = 8`
(g) `y + 4 = 4`
`y + 4 - 4 = 4 - 4`
`y = 0`
(h) `y + 4 = -4`
`y + 4 - 4 = -4 - 4`
`y = -8`
2. ચલને અલગ કરવા માટેનું પ્રથમ પગલું કહો અને પછી ઉકેલ શોધો :
(a) `3l = 42`
`\frac{3l}{3} = \frac{42}{3}`
`l = 14`
(b) `\frac{b}{2} = 6`
`\frac{b}{2} \times 2 = 6 \times 2`
`b = 12`
(c) `\frac{p}{7} = 4`
`\frac{p}{7} \times 7 = 4 \times 7`
`p = 28`
(d) `4x = 25`
`\frac{4x}{4} = \frac{25}{4}`
`x = \frac{25}{4}`
(e) `8y = 36`
`\frac{8y}{8} = \frac{36}{8}`
`y = \frac{9}{2}`
(f) `\frac{z}{3} = \frac{5}{4}`
`\frac{z}{3} \times 3 = \frac{5}{4} \times 3`
`z = \frac{15}{4}`
(g) `\frac{a}{5} = \frac{7}{15}`
`\frac{a}{5} \times 5 = \frac{7}{15} \times 5`
`a = \frac{7}{3}`
(h) `20t = -10`
`\frac{20t}{20} = \frac{-10}{20}`
`t = -\frac{1}{2}`
3. ચલને અલગ કરવાનાં પગલાં કહો અને પછી ઉકેલ શોધો :
(a) `3n - 2 = 46`
`3n - 2 + 2 = 46 + 2`
`3n = 48`
પગલું 2 : બંને બાજુને 3 વડે ભાગતાં.
`\frac{3n}{3} = \frac{48}{3}`
`n = 16`
(b) `5m + 7 = 17`
`5m + 7 - 7 = 17 - 7`
`5m = 10`
પગલું 2 : બંને બાજુને 5 વડે ભાગતાં.
`\frac{5m}{5} = \frac{10}{5}`
`m = 2`
(c) `\frac{20p}{3} = 40`
`\frac{20p}{3} \times 3 = 40 \times 3`
`20p = 120`
પગલું 2 : બંને બાજુને 20 વડે ભાગતાં.
`\frac{20p}{20} = \frac{120}{20}`
`p = 6`
(d) `\frac{3p}{10} = 6`
`\frac{3p}{10} \times 10 = 6 \times 10`
`3p = 60`
પગલું 2 : બંને બાજુને 3 વડે ભાગતાં.
`\frac{3p}{3} = \frac{60}{3}`
`p = 20`
4. નીચેનાં સમીકરણો ઉકેલો :
(a) `10p = 100`
`p = 10`
(b) `10p + 10 = 100`
`10p = 90`
`p = \frac{90}{10}`
`p = 9`
(c) `\frac{p}{4} = 5`
`p = 20`
(d) `\frac{-p}{3} = 5`
`-p = 15`
`p = -15`
(e) `\frac{3p}{4} = 6`
`3p = 24`
`p = \frac{24}{3}`
`p = 8`
(f) `3s = -9`
`s = -3`
(g) `3s + 12 = 0`
`3s = -12`
`s = \frac{-12}{3}`
`s = -4`
(h) `3s = 0`
`s = 0`
(i) `2q = 6`
`q = 3`
(j) `2q - 6 = 0`
`2q = 6`
`q = \frac{6}{2}`
`q = 3`
(k) `2q + 6 = 0`
`2q = -6`
`q = \frac{-6}{2}`
`q = -3`
(l) `2q + 6 = 12`
`2q = 6`
`q = \frac{6}{2}`
`q = 3`
✦ સ્વાધ્યાય 4.3 (std 7 Maths chapter 4.3 sada samikaran swadhyay) ✦
1. આપેલી પરિસ્થિતિ મુજબ સમીકરણ રચી તેને ઉકેલો અને અજ્ઞાત સંખ્યા શોધો :
(a) સંખ્યાના 8 ગણામાં 4 ઉમેરતાં તમને 60 મળે છે.
ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `8x + 4 = 60`
`8x = 60 - 4`
`8x = 56`
`x = \frac{56}{8}`
`x = 7`
આમ, અજ્ઞાત સંખ્યા 7 છે.
(b) સંખ્યાના એક પંચમાંશ ભાગમાંથી 4 બાદ કરતાં 3 મળે.
ધારો કે તે સંખ્યા `y` છે.
સમીકરણ : `\frac{y}{5} - 4 = 3`
`\frac{y}{5} = 3 + 4`
`\frac{y}{5} = 7`
`y = 7 \times 5`
`y = 35`
આમ, તે સંખ્યા 35 છે.
(c) જો હું કોઈ સંખ્યાનો ત્રણ ચતુર્થાંશ ભાગ લઈ તેમાં 3 ઉમેરું છું, તો મને 21 મળે છે.
ધારો કે તે સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `\frac{3x}{4} + 3 = 21`
`\frac{3x}{4} = 21 - 3`
`\frac{3x}{4} = 18`
`3x = 18 \times 4`
`3x = 72`
`x = \frac{72}{3}`
`x = 24`
આમ, તે સંખ્યા 24 છે.
(d) જ્યારે મેં સંખ્યાના બે ગણામાંથી 11 બાદ કર્યા તો તે પરિણામ 15 હતું.
ધારો કે તે સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `2x - 11 = 15`
`2x = 15 + 11`
`2x = 26`
`x = \frac{26}{2}`
`x = 13`
આમ, તે સંખ્યા 13 છે.
(e) મુન્નાએ તેની પાસે રહેલી નોટબુકની સંખ્યાના ત્રણ ગણા, 50 માંથી બાદ કર્યા અને તેને પરિણામ 8 મળ્યું.
ધારો કે નોટબુકની સંખ્યા `m` છે.
સમીકરણ : `50 - 3m = 8`
`-3m = 8 - 50`
`-3m = -42`
`3m = 42`
`m = \frac{42}{3}`
`m = 14`
આમ, નોટબુકની સંખ્યા 14 છે.
(f) ઈલાએ એક સંખ્યા ધારી. જો તે તેમાં 19 ઉમેરે છે અને મળેલા સરવાળાને 5 વડે ભાગે છે તો તેને 8 મળશે.
ધારો કે ઈલાએ ધારેલી સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `\frac{x + 19}{5} = 8`
`x + 19 = 8 \times 5`
`x + 19 = 40`
`x = 40 - 19`
`x = 21`
આમ, ધારેલી સંખ્યા 21 છે.
(g) અનવર એક સંખ્યા ધારે છે. તે સંખ્યાના `\frac{5}{2}` ભાગમાંથી તે 7 બાદ કરે છે અને પરિણામ 23 મળે છે.
ધારો કે અનવરે ધારેલી સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `\frac{5x}{2} - 7 = 23`
`\frac{5x}{2} = 23 + 7`
`\frac{5x}{2} = 30`
`5x = 30 \times 2`
`5x = 60`
`x = \frac{60}{5}`
`x = 12`
આમ, અનવરે ધારેલી સંખ્યા 12 છે.
2. નીચેનાં સમીકરણો ઉકેલો :
(a) શિક્ષકે કહ્યું કે સૌથી વધારે ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીના ગુણ સૌથી ઓછા ગુણના બે ગણાથી 7 વધારે છે. જો સૌથી વધુ ગુણ 87 હોય, તો સૌથી ઓછા ગુણ કેટલા હશે ?
ધારો કે સૌથી ઓછા ગુણ `l` છે.
સમીકરણ : `2l + 7 = 87`
`2l = 87 - 7`
`2l = 80`
`l = \frac{80}{2}`
`l = 40`
આમ, સૌથી ઓછા ગુણ 40 હશે.
(b) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બે આધારખૂણાના માપ સરખાં છે. શિરઃકોણનું માપ 40° છે, તો ત્રિકોણના આધારખૂણાનું માપ શું હશે ?
ધારો કે પ્રત્યેક આધારખૂણાનું માપ `b` છે.
શિરઃકોણ = 40°
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો 180° થાય :
`b + b + 40° = 180°`
`2b + 40° = 180°`
`2b = 180° - 40°`
`2b = 140°`
`b = \frac{140°}{2}`
`b = 70°`
આમ, પ્રત્યેક આધારખૂણાનું માપ 70° હશે.
(c) એક મેચમાં સચિનના રન રાહુલના રન કરતાં બે ગણા છે. જો તેમના રન ભેગા કરવામાં આવે તો તેમના રન બે સદી કરતાં 2 જેટલા ઓછા છે, તો બંનેએ કેટલા રન કર્યા હશે ?
ધારો કે રાહુલના રન `= x` છે.
સચિનના રન બમણા હોવાથી `= 2x` થાય.
બે સદી કરતાં 2 ઓછા એટલે કે `= 200 - 2 = 198` રન.
સમીકરણ : `x + 2x = 198`
`3x = 198`
`x = \frac{198}{3}`
`x = 66`
રાહુલના રન `= 66`
સચિનના રન `= 2x = 2 \times 66 = 132`
આમ, રાહુલે 66 રન અને સચિને 132 રન કર્યા હશે.
3. નીચેના પ્રશ્નો ઉકેલો :
(i) ઈરફાને કહ્યું કે તેની પાસે પરમિત પાસેની લખોટીના 5 ગણા કરતાં 7 વધારે લખોટી છે. ઈરફાન પાસે 37 લખોટી છે, તો પરમિત પાસે કેટલી લખોટી હશે ?
ધારો કે પરમિત પાસે `m` લખોટી છે.
સમીકરણ : `5m + 7 = 37`
`5m = 37 - 7`
`5m = 30`
`m = \frac{30}{5}`
`m = 6`
આમ, પરમિત પાસે 6 લખોટી હશે.
(ii) લક્ષ્મીના પિતા 49 વર્ષના છે. તે લક્ષ્મીની ઉંમરના ત્રણ ગણાથી 4 વર્ષ મોટા છે. તો લક્ષ્મીની ઉંમર કેટલી હશે ?
ધારો કે લક્ષ્મીની ઉંમર `y` વર્ષ છે.
સમીકરણ : `3y + 4 = 49`
`3y = 49 - 4`
`3y = 45`
`y = \frac{45}{3}`
`y = 15`
આમ, લક્ષ્મીની ઉંમર 15 વર્ષ હશે.
(iii) સુંદરગ્રામના લોકોએ બગીચામાં વૃક્ષારોપણ કર્યું. ફળોના ન હોય તેવા છોડની સંખ્યા ફળોના છોડની સંખ્યાના ત્રણ ગણા કરતાં બે વધારે હતી. જો ફળોના ન હોય તેવા છોડ 77 હોય, તો ફળોના છોડની સંખ્યા કેટલી હશે ?
ધારો કે ફળોના છોડની સંખ્યા `x` છે.
સમીકરણ : `3x + 2 = 77`
`3x = 77 - 2`
`3x = 75`
`x = \frac{75}{3}`
`x = 25`
આમ, ફળોના છોડની સંખ્યા 25 હશે.
4. કોયડો ઉકેલો : "હું એક સંખ્યા છું. મારી ઓળખ જણાવો ! મારા સાત ગણા લો. તેમાં પચાસ ઉમેરો. ત્રેવડી સદી સુધી પહોંચવા માટે તમારે હજુ ચાલીસ જોઈએ છે."
ધારો કે તે અજ્ઞાત સંખ્યા `x` છે.
સંખ્યાના 7 ગણા `= 7x`
તેમાં 50 ઉમેરતાં `= 7x + 50`
ત્રેવડી સદી (300) પહોંચવા હજુ 40 જોઈએ એટલે કે સરવાળો `= 300 - 40 = 260` થાય.
સમીકરણ : `7x + 50 = 260`
`7x = 260 - 50`
`7x = 210`
`x = \frac{210}{7}`
`x = 30`
આમ, તે અજ્ઞાત સંખ્યા 30 છે.
إرسال تعليق