GSEB Class 8 Maths Chapter 10 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 10 "ઘાત અને ઘાતાંક" (Std 8 Maths Chapter 10 Ghat ane Ghatank) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 10.1 અને 10.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, ઋણ ઘાતાંકના નિયમો, ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ અને સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ (Standard Form) સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 10. ghat ane ghatank imp notes) ✦
- ઋણ ઘાતાંક (Negative Exponents) : કોઈપણ શૂન્યતર પૂર્ણાંક `a` માટે, `a^{-m} = \frac{1}{a^m}` થાય છે. જ્યાં `a^{-m}` એ `a^m` નો વ્યસ્ત છે.
- ઘાતાંકના નિયમો (Laws of Exponents) : કોઈપણ શૂન્યતર પૂર્ણાંકો `a` અને `b` તથા પૂર્ણાંક ઘાતાંકો `m` અને `n` માટે:
1. ગુણાકારનો નિયમ : `a^m \times a^n = a^{m + n}`
2. ભાગાકારનો નિયમ : `a^m \div a^n = a^{m - n}`
3. ઘાતની ઘાતનો નિયમ : `(a^m)^n = a^{m \times n}`
4. ગુણાકારની ઘાતનો નિયમ : `a^m \times b^m = (ab)^m`
5. ભાગાકારની ઘાતનો નિયમ : `\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m`
6. શૂન્ય ઘાતાંકનો નિયમ : `a^0 = 1` (જ્યાં `a \ne 0`) - સંખ્યાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ (Standard Form / Scientific Notation) : ખૂબ મોટી કે ખૂબ નાની સંખ્યાઓને `k \times 10^n` સ્વરૂપે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં `1.0 \le k < 10` અને `n` પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
- જ્યારે દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ ખસેડવામાં આવે ત્યારે 10 નો ઘાતાંક ઋણ બને છે, અને ડાબી બાજુ ખસેડવામાં આવે ત્યારે 10 નો ઘાતાંક ધન બને છે.
✦ સ્વાધ્યાય 10.1 (std 8 Maths chapter 10.1 ghat ane ghatank swadhyay) ✦
1. કિંમત શોધો :
(i) `3^{-2}`
નિયમ: `a^{-m} = \frac{1}{a^m}`
`3^{-2} = \frac{1}{3^2}`
`= \frac{1}{3 \times 3}`
`= \frac{1}{9}`
(ii) `(-4)^{-2}`
`(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2}`
`= \frac{1}{(-4) \times (-4)}`
`= \frac{1}{16}`
(iii) `(\frac{1}{2})^{-5}`
નિયમ: `(\frac{1}{a})^{-m} = a^m`
`(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5`
`= 2^5`
`= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2`
`= 32`
2. સાદું રૂપ આપો અને પરિણામને ધન ઘાતાંક સ્વરૂપે દર્શાવો :
(i) `(-4)^5 \div (-4)^8`
નિયમ: `a^m \div a^n = a^{m - n}`
`= (-4)^{5 - 8}`
`= (-4)^{-3}`
ધન ઘાતાંક સ્વરૂપે દર્શાવતાં (`a^{-m} = \frac{1}{a^m}`):
`= \frac{1}{(-4)^3}`
(ii) `(\frac{1}{2^3})^2`
નિયમ: `(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}` અને `(a^m)^n = a^{m \times n}`
`= \frac{1^2}{(2^3)^2}`
`= \frac{1}{2^{3 \times 2}}`
`= \frac{1}{2^6}`
(iii) `(-3)^4 \times (\frac{5}{3})^4`
`(-3)^4 = [(-1) \times 3]^4 = (-1)^4 \times 3^4 = 1 \times 3^4 = 3^4`
`= 3^4 \times \frac{5^4}{3^4}`
`= \frac{3^4 \times 5^4}{3^4}`
`= 5^4`
(iv) `(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}`
કૌંસમાં ભાગાકારનો નિયમ વાપરતાં (`a^m \div a^n = a^{m - n}`):
`= 3^{-7 - (-10)} \times 3^{-5}`
`= 3^{-7 + 10} \times 3^{-5}`
`= 3^3 \times 3^{-5}`
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતાં (`a^m \times a^n = a^{m + n}`):
`= 3^{3 + (-5)}`
`= 3^{-2}`
ધન ઘાતાંક સ્વરૂપે: `= \frac{1}{3^2}`
(v) `2^{-3} \times (-7)^{-3}`
નિયમ: `a^m \times b^m = (ab)^m`
`= [2 \times (-7)]^{-3}`
`= (-14)^{-3}`
ધન ઘાતાંક સ્વરૂપે: `= \frac{1}{(-14)^3}`
3. કિંમત શોધો :
(i) `(3^0 + 4^{-1}) \times 2^2`
`3^0 = 1`, `4^{-1} = \frac{1}{4}` અને `2^2 = 4`
`= (1 + \frac{1}{4}) \times 4`
`= (\frac{4 + 1}{4}) \times 4`
`= \frac{5}{4} \times 4`
`= 5`
(ii) `(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}`
`2^{-1} = \frac{1}{2}`, `4^{-1} = \frac{1}{4}`
`= (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}) \div 2^{-2}`
`= \frac{1}{8} \div \frac{1}{2^2}`
`= \frac{1}{8} \div \frac{1}{4}`
`= \frac{1}{8} \times \frac{4}{1}`
`= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}`
(iii) `(\frac{1}{2})^{-2} + (\frac{1}{3})^{-2} + (\frac{1}{4})^{-2}`
નિયમ: `(\frac{1}{a})^{-m} = a^m`
`(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4`
`(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9`
`(\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16`
`= 4 + 9 + 16`
`= 29`
(iv) `(3^{-1} + 4^{-1} + 5^{-1})^0`
નિયમ: કોઈપણ શૂન્યતર સંખ્યાની 0 ઘાતનું મૂલ્ય હંમેશાં 1 થાય છે (`a^0 = 1`).
`∴ (3^{-1} + 4^{-1} + 5^{-1})^0 = 1`
(v) `\{(-\frac{2}{3})^{-2}\}^2`
નિયમ: `(a^m)^n = a^{m \times n}`
`= (-\frac{2}{3})^{-2 \times 2}`
`= (-\frac{2}{3})^{-4}`
ઋણ ઘાતાંકને ધન બનાવવા વ્યસ્ત લેતાં :
`= (-\frac{3}{2})^4`
`= \frac{(-3)^4}{2^4}`
`= \frac{81}{16}`
4. કિંમત શોધો :
(i) `\frac{8^{-1} \times 5^3}{2^{-4}}`
ઋણ ઘાતાંકને ધન ઘાતાંકમાં ફેરવતાં :
`= \frac{2^4 \times 5^3}{8^1}`
`8 = 2^3` મૂકતાં :
`= \frac{2^4 \times 125}{2^3}`
`= 2^{4 - 3} \times 125`
`= 2^1 \times 125`
`= 250`
(ii) `(5^{-1} \times 2^{-1}) \times 6^{-1}`
`= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}) \times \frac{1}{6}`
`= \frac{1}{10} \times \frac{1}{6}`
`= \frac{1}{60}`
5. `m` ની કિંમત શોધો જેથી `5^m \div 5^{-3} = 5^5` થાય.
ડાબી બાજુ ભાગાકારનો નિયમ વાપરતાં (`a^m \div a^n = a^{m - n}`):
`5^{m - (-3)} = 5^5`
`5^{m + 3} = 5^5`
બંને બાજુ આધાર સમાન (5) હોવાથી ઘાતાંક સરખાવતાં :
`m + 3 = 5`
`m = 5 - 3`
`m = 2`
6. કિંમત શોધો :
(i) `\{(\frac{1}{3})^{-1} - (\frac{1}{4})^{-1}\}^{-1}`
`(\frac{1}{3})^{-1} = 3` અને `(\frac{1}{4})^{-1} = 4`
`= \{3 - 4\}^{-1}`
`= \{-1\}^{-1}`
`= \frac{1}{-1}`
`= -1`
(ii) `(\frac{5}{8})^{-7} \times (\frac{8}{5})^{-4}`
`(\frac{5}{8})^{-7} = (\frac{8}{5})^7` લખી શકાય.
`= (\frac{8}{5})^7 \times (\frac{8}{5})^{-4}`
આધાર સરખા હોવાથી ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતાં :
`= (\frac{8}{5})^{7 + (-4)}`
`= (\frac{8}{5})^3`
`= \frac{8^3}{5^3}`
`= \frac{512}{125}`
7. સાદું રૂપ આપો :
(i) `\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}} \quad (t \ne 0)`
`25 = 5^2` અને `10 = 2 \times 5` મૂકતાં :
`= \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-3} \times (2 \times 5^1) \times t^{-8}}`
છેદમાં આધાર 5 ના પદો જોડતાં (`5^{-3} \times 5^1 = 5^{-3 + 1} = 5^{-2}`):
`= \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-2} \times 2 \times t^{-8}}`
અંશ અને છેદના સમાન આધારવાળા પદોની બાદબાકી કરતાં :
`= \frac{5^{2 - (-2)} \times t^{-4 - (-8)}}{2}`
`= \frac{5^{2 + 2} \times t^{-4 + 8}}{2}`
`= \frac{5^4 \times t^4}{2}`
`5^4 = 625` હોવાથી :
`= \frac{625 t^4}{2}`
(ii) `\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}`
અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેરવતાં : `10 = 2 \times 5`, `125 = 5^3` અને `6 = 2 \times 3`
`= \frac{3^{-5} \times (2 \times 5)^{-5} \times 5^3}{5^{-7} \times (2 \times 3)^{-5}}`
`= \frac{3^{-5} \times 2^{-5} \times 5^{-5} \times 5^3}{5^{-7} \times 2^{-5} \times 3^{-5}}`
અંશ અને છેદમાંથી `3^{-5}` અને `2^{-5}` દૂર કરતાં :
`= \frac{5^{-5 + 3}}{5^{-7}}`
`= \frac{5^{-2}}{5^{-7}}`
`= 5^{-2 - (-7)}`
`= 5^{-2 + 7}`
`= 5^5`
`= 3125`
✦ સ્વાધ્યાય 10.2 (std 8 Maths chapter 10.2 ghat ane ghatank swadhyay) ✦
1. નીચેની સંખ્યાઓને તેમના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવો :
(i) 0.0000000000085
અહીં દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 12 સ્થાન ખસેડવું પડે છે.
`= 8.5 \times 10^{-12}`
(ii) 0.00000000000942
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 12 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 9.42 \times 10^{-12}`
(iii) 6020000000000000
દશાંશ ચિહ્નને ડાબી બાજુ 15 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 6.02 \times 10^{15}`
(iv) 0.00000000837
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 9 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 8.37 \times 10^{-9}`
(v) 31860000000
દશાંશ ચિહ્નને ડાબી બાજુ 10 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 3.186 \times 10^{10}`
2. નીચેની સંખ્યાઓને તેમના સામાન્ય સ્વરૂપે દર્શાવો :
(i) `3.02 \times 10^{-6}`
`= \frac{3.02}{10^6}`
`= 0.00000302`
(ii) `4.5 \times 10^4`
`= 4.5 \times 10000`
`= 45000`
(iii) `3 \times 10^{-8}`
`= \frac{3}{10^8}`
`= 0.00000003`
(iv) `1.0001 \times 10^9`
`= 1.0001 \times 1000000000`
`= 1000100000`
(v) `5.8 \times 10^{12}`
`= 5.8 \times 1000000000000`
`= 5800000000000`
(vi) `3.61492 \times 10^6`
`= 3.61492 \times 1000000`
`= 3614920`
3. નીચે આપેલા વિધાનોમાં દર્શાવેલ સંખ્યાઓને તેમના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવો :
(i) 1 માઇક્રોન = `\frac{1}{1000000}` મીટર
`= \frac{1}{10^6} \text{ મીટર}`
`= 1 \times 10^{-6} \text{ મીટર}`
(ii) એક ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર 0.00000000000000000016 કુલંબ છે.
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 19 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 1.6 \times 10^{-19} \text{ કુલંબ}`
(iii) બેક્ટેરિયાનું માપ 0.0000005 મીટર છે.
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 7 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 5 \times 10^{-7} \text{ મીટર}`
(iv) વનસ્પતિકોષનું માપ 0.00001275 મીટર છે.
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 5 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 1.275 \times 10^{-5} \text{ મીટર}`
(v) એક જાડા કાગળની જાડાઈ 0.07 મીમી છે.
દશાંશ ચિહ્નને જમણી બાજુ 2 સ્થાન ખસેડતાં :
`= 7 \times 10^{-2} \text{ મીમી}`
4. એક થપ્પીમાં 20 મીમી જાડાઈ હોય તેવી 5 ચોપડી અને 0.016 મીમી જાડાઈ ધરાવતા 5 કાગળ ગોઠવેલા છે, તો થપ્પીની કુલ ઊંચાઈ શોધો.
1 ચોપડીની જાડાઈ = 20 મીમી
`∴ 5 \text{ ચોપડીની કુલ જાડાઈ} = 5 \times 20 = 100 \text{ મીમી}`
1 કાગળની જાડાઈ = 0.016 મીમી
`∴ 5 \text{ કાગળની કુલ જાડાઈ} = 5 \times 0.016 = 0.080 \text{ મીમી}`
થપ્પીની કુલ ઊંચાઈ `= 100 + 0.080`
`= 100.08 \text{ મીમી}`
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતાં (દશાંશ ચિહ્નને ડાબી બાજુ 2 સ્થાન ખસેડતાં):
`= 1.0008 \times 10^2 \text{ મીમી}`
આમ, થપ્પીની કુલ ઊંચાઈ `1.0008 \times 10^2` મીમી થાય.
إرسال تعليق