GSEB Class 8 Maths Chapter 6 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 6 "ઘન અને ઘનમૂળ" (Std 8 Maths Chapter 6 Ghan ane Ghanmul) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 6.1 અને 6.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, હાર્ડી-રામાનુજન સંખ્યા, અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે ઘનમૂળ તથા પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 6. ghan ane ghanmul imp notes) ✦
- ઘન સંખ્યા (Cube Number) : કોઈ સંખ્યાને તેની જ સાથે ત્રણ વાર ગુણવાથી મળતી સંખ્યાને તે સંખ્યાનો ઘન કહે છે. જેમ કે `1^3 = 1`, `2^3 = 8`, `3^3 = 27`, `4^3 = 64`, `5^3 = 125`...
- હાર્ડી-રામાનુજન સંખ્યા : 1729 એ સૌથી નાની હાર્ડી-રામાનુજન સંખ્યા છે, જેને બે અલગ અલગ સંખ્યાઓના ઘનના સરવાળા તરીકે બે રીતે રજૂ કરી શકાય છે:
`1729 = 1728 + 1 = 12^3 + 1^3`
`1729 = 1000 + 729 = 10^3 + 9^3` - બેકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ મળે અને એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી સંખ્યા જ મળે.
- જો કોઈ સંખ્યાના એકમનો અંક 1 હોય તો તેના ઘનનો એકમનો અંક 1, 4 હોય તો 4, 5 હોય તો 5, 6 હોય તો 6, 9 હોય તો 9 અને 0 હોય તો 0 જ રહે છે. જ્યારે એકમનો અંક 2 હોય તો 8, 8 હોય તો 2, 3 હોય તો 7 અને 7 હોય તો 3 મળે છે.
- કોઈ પૂર્ણઘન સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં દરેક અવિભાજ્ય અવયવ ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં (જૂથમાં) આવે છે.
- પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતમાં આવેલાં શૂન્યોની સંખ્યા હંમેશાં 3 ના ગુણકમાં (3, 6, 9...) હોય છે.
- ઘનમૂળ એ ઘન કરવાની પ્રક્રિયાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે. ઘનમૂળ દર્શાવવા માટે સંકેત `\sqrt[3]{}` વપરાય છે. જેમ કે `\sqrt[3]{8} = 2`, `\sqrt[3]{27} = 3`.
✦ સ્વાધ્યાય 6.1 (std 8 Maths chapter 6.1 ghan ane ghanmul swadhyay) ✦
1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન નથી ?
(i) 216
ઉકેલ - (i) :
216 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3`
`216 = 2^3 × 3^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
216 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3`
`216 = 2^3 × 3^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
(ii) 128
ઉકેલ - (ii) :
128 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2`
`128 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2`
`128 = 2^3 × 2^3 × 2`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 ત્રણની ત્રિપુટીમાં આવતો નથી (એક 2 બાકી રહે છે).
`∴` 128 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
128 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2`
`128 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2`
`128 = 2^3 × 2^3 × 2`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 ત્રણની ત્રિપુટીમાં આવતો નથી (એક 2 બાકી રહે છે).
`∴` 128 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(iii) 1000
ઉકેલ - (iii) :
1000 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5`
`1000 = 2^3 × 5^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
1000 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5`
`1000 = 2^3 × 5^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
(iv) 100
ઉકેલ - (iv) :
100 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`100 = 2 × 2 × 5 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 અને 5 બંને માત્ર બે-બે વાર જ આવે છે, ત્રણની ત્રિપુટી બનતી નથી.
`∴` 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
100 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`100 = 2 × 2 × 5 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 અને 5 બંને માત્ર બે-બે વાર જ આવે છે, ત્રણની ત્રિપુટી બનતી નથી.
`∴` 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(v) 46656
ઉકેલ - (v) :
46656 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3`
`46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)`
`46656 = 2^3 × 2^3 × 3^3 × 3^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 46656 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
46656 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3`
`46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)`
`46656 = 2^3 × 2^3 × 3^3 × 3^3`
અહીં બધા જ અવિભાજ્ય અવયવો ત્રણ-ત્રણની ત્રિપુટીમાં મળે છે.
`∴` 46656 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
2. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેને નીચે આપેલ સંખ્યા સાથે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય :
(i) 243
ઉકેલ - (i) :
243 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`243 = (3 × 3 × 3) × 3 × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ની ત્રિપુટી બનાવવા માટે હજુ એક વાર 3 ની જરૂર છે.
`∴` 243 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 243 × 3 = 729` (જે `9^3` છે).
243 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`243 = (3 × 3 × 3) × 3 × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ની ત્રિપુટી બનાવવા માટે હજુ એક વાર 3 ની જરૂર છે.
`∴` 243 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 243 × 3 = 729` (જે `9^3` છે).
(ii) 256
ઉકેલ - (ii) :
256 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`256 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2 × 2`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 ની છેલ્લી ત્રિપુટી પૂરી કરવા માટે હજુ એક વાર 2 ની જરૂર છે.
`∴` 256 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 256 × 2 = 512` (જે `8^3` છે).
256 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`256 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2 × 2`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 ની છેલ્લી ત્રિપુટી પૂરી કરવા માટે હજુ એક વાર 2 ની જરૂર છે.
`∴` 256 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 256 × 2 = 512` (જે `8^3` છે).
(iii) 72
ઉકેલ - (iii) :
72 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`72 = (2 × 2 × 2) × 3 × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ની ત્રિપુટી પૂર્ણ કરવા માટે હજુ એક વાર 3 ની જરૂર છે.
`∴` 72 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 72 × 3 = 216` (જે `6^3` છે).
72 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`72 = (2 × 2 × 2) × 3 × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ની ત્રિપુટી પૂર્ણ કરવા માટે હજુ એક વાર 3 ની જરૂર છે.
`∴` 72 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 72 × 3 = 216` (જે `6^3` છે).
(iv) 675
ઉકેલ - (iv) :
675 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`675 = (3 × 3 × 3) × 5 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ની ત્રિપુટી પૂરી કરવા માટે હજુ એક વાર 5 ની જરૂર છે.
`∴` 675 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 675 × 5 = 3375` (જે `15^3` છે).
675 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`675 = (3 × 3 × 3) × 5 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ની ત્રિપુટી પૂરી કરવા માટે હજુ એક વાર 5 ની જરૂર છે.
`∴` 675 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 675 × 5 = 3375` (જે `15^3` છે).
(v) 100
ઉકેલ - (v) :
100 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`100 = 2 × 2 × 5 × 5`
અહીં ત્રિપુટી બનાવવા માટે એક વાર 2 અને એક વાર 5 ની જરૂર છે.
એટલે કે ગુણવાની સંખ્યા `= 2 × 5 = 10` થાય.
`∴` 100 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 10 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 100 × 10 = 1000` (જે `10^3` છે).
100 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`100 = 2 × 2 × 5 × 5`
અહીં ત્રિપુટી બનાવવા માટે એક વાર 2 અને એક વાર 5 ની જરૂર છે.
એટલે કે ગુણવાની સંખ્યા `= 2 × 5 = 10` થાય.
`∴` 100 ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે નાનામાં નાની સંખ્યા 10 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 100 × 10 = 1000` (જે `10^3` છે).
3. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેના વડે નીચે આપેલ સંખ્યાને ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય :
(i) 81
ઉકેલ - (i) :
81 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`81 = (3 × 3 × 3) × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ત્રિપુટીમાં આવતો નથી (એક વાર 3 વધારાનો છે).
`∴` 81 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 81 ÷ 3 = 27` (જે `3^3` છે).
81 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`81 = (3 × 3 × 3) × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ત્રિપુટીમાં આવતો નથી (એક વાર 3 વધારાનો છે).
`∴` 81 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 81 ÷ 3 = 27` (જે `3^3` છે).
(ii) 128
ઉકેલ - (ii) :
128 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`128 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2`
અહીં એક અવિભાજ્ય અવયવ 2 ત્રિપુટી વગર વધારાનો છે.
`∴` 128 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 128 ÷ 2 = 64` (જે `4^3` છે).
128 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`128 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 2`
અહીં એક અવિભાજ્ય અવયવ 2 ત્રિપુટી વગર વધારાનો છે.
`∴` 128 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 128 ÷ 2 = 64` (જે `4^3` છે).
(iii) 135
ઉકેલ - (iii) :
135 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`135 = (3 × 3 × 3) × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 135 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 135 ÷ 5 = 27` (જે `3^3` છે).
135 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`135 = (3 × 3 × 3) × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 135 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 135 ÷ 5 = 27` (જે `3^3` છે).
(iv) 192
ઉકેલ - (iv) :
192 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`192 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 192 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 192 ÷ 3 = 64` (જે `4^3` છે).
192 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`192 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 3`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 192 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 192 ÷ 3 = 64` (જે `4^3` છે).
(v) 704
ઉકેલ - (v) :
704 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`704 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 11`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 704 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 704 ÷ 11 = 64` (જે `4^3` છે).
704 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`704 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 11`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11 ત્રિપુટી બનાવતો નથી (વધારાનો છે).
`∴` 704 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.
મળતી પૂર્ણઘન સંખ્યા `= 704 ÷ 11 = 64` (જે `4^3` છે).
4. પરિક્ષિતે 5 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી માપ લઈ એક પ્લાસ્ટિકનો લંબઘન બનાવ્યો છે. તો આવા કેટલા લંબઘન સાથે રાખવાથી મળતો ઘન એ પૂર્ણઘન હોય ?
ઉકેલ - 4 :
લંબઘનનું ઘનફળ `= \text{લંબાઈ} × \text{પહોળાઈ} × \text{ઊંચાઈ}`
`= 5 × 2 × 5`
`= 5 × 5 × 2 \text{ સેમી}^3`
હવે આ અવયવોને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે દરેક અવયવની 3 ની ત્રિપુટી હોવી જોઈએ.
અહીં 5 બે વાર છે, તેથી એક વાર 5 જોઈએ.
અને 2 એક જ વાર છે, તેથી બે વાર 2 (એટલે કે `2 × 2 = 4`) જોઈએ.
`∴` જરૂરી ગુણક સંખ્યા `= 5 × 2 × 2 = 20`
આમ, એક મોટો પૂર્ણઘન બનાવવા માટે આવા 20 લંબઘન ની જરૂર પડશે.
લંબઘનનું ઘનફળ `= \text{લંબાઈ} × \text{પહોળાઈ} × \text{ઊંચાઈ}`
`= 5 × 2 × 5`
`= 5 × 5 × 2 \text{ સેમી}^3`
હવે આ અવયવોને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે દરેક અવયવની 3 ની ત્રિપુટી હોવી જોઈએ.
અહીં 5 બે વાર છે, તેથી એક વાર 5 જોઈએ.
અને 2 એક જ વાર છે, તેથી બે વાર 2 (એટલે કે `2 × 2 = 4`) જોઈએ.
`∴` જરૂરી ગુણક સંખ્યા `= 5 × 2 × 2 = 20`
આમ, એક મોટો પૂર્ણઘન બનાવવા માટે આવા 20 લંબઘન ની જરૂર પડશે.
✦ સ્વાધ્યાય 6.2 (std 8 Maths chapter 6.2 ghan ane ghanmul swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યાનું ઘનમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધો :
(i) 64
ઉકેલ - (i) :
`64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)`
`64 = 2^3 × 2^3`
`\sqrt[3]{64} = 2 × 2 = 4`
આમ, 64 નું ઘનમૂળ 4 છે.
`64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)`
`64 = 2^3 × 2^3`
`\sqrt[3]{64} = 2 × 2 = 4`
આમ, 64 નું ઘનમૂળ 4 છે.
(ii) 512
ઉકેલ - (ii) :
`512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)`
`512 = 2^3 × 2^3 × 2^3`
`\sqrt[3]{512} = 2 × 2 × 2 = 8`
આમ, 512 નું ઘનમૂળ 8 છે.
`512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)`
`512 = 2^3 × 2^3 × 2^3`
`\sqrt[3]{512} = 2 × 2 × 2 = 8`
આમ, 512 નું ઘનમૂળ 8 છે.
(iii) 10648
ઉકેલ - (iii) :
`10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11)`
`10648 = 2^3 × 11^3`
`\sqrt[3]{10648} = 2 × 11 = 22`
આમ, 10648 નું ઘનમૂળ 22 છે.
`10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11)`
`10648 = 2^3 × 11^3`
`\sqrt[3]{10648} = 2 × 11 = 22`
આમ, 10648 નું ઘનમૂળ 22 છે.
(iv) 27000
ઉકેલ - (iv) :
`27000 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)`
`27000 = 2^3 × 3^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{27000} = 2 × 3 × 5 = 30`
આમ, 27000 નું ઘનમૂળ 30 છે.
`27000 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)`
`27000 = 2^3 × 3^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{27000} = 2 × 3 × 5 = 30`
આમ, 27000 નું ઘનમૂળ 30 છે.
(v) 15625
ઉકેલ - (v) :
`15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)`
`15625 = 5^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{15625} = 5 × 5 = 25`
આમ, 15625 નું ઘનમૂળ 25 છે.
`15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)`
`15625 = 5^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{15625} = 5 × 5 = 25`
આમ, 15625 નું ઘનમૂળ 25 છે.
(vi) 13824
ઉકેલ - (vi) :
`13824 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)`
`13824 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{13824} = 2 × 2 × 2 × 3 = 24`
આમ, 13824 નું ઘનમૂળ 24 છે.
`13824 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)`
`13824 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{13824} = 2 × 2 × 2 × 3 = 24`
આમ, 13824 નું ઘનમૂળ 24 છે.
(vii) 110592
ઉકેલ - (vii) :
`110592 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)`
`110592 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 2^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{110592} = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48`
આમ, 110592 નું ઘનમૂળ 48 છે.
`110592 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)`
`110592 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 2^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{110592} = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48`
આમ, 110592 નું ઘનમૂળ 48 છે.
(viii) 46656
ઉકેલ - (viii) :
`46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)`
`46656 = 2^3 × 2^3 × 3^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{46656} = 2 × 2 × 3 × 3 = 36`
આમ, 46656 નું ઘનમૂળ 36 છે.
`46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)`
`46656 = 2^3 × 2^3 × 3^3 × 3^3`
`\sqrt[3]{46656} = 2 × 2 × 3 × 3 = 36`
આમ, 46656 નું ઘનમૂળ 36 છે.
(ix) 175616
ઉકેલ - (ix) :
`175616 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (7 × 7 × 7)`
`175616 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 7^3`
`\sqrt[3]{175616} = 2 × 2 × 2 × 7 = 56`
આમ, 175616 નું ઘનમૂળ 56 છે.
`175616 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (7 × 7 × 7)`
`175616 = 2^3 × 2^3 × 2^3 × 7^3`
`\sqrt[3]{175616} = 2 × 2 × 2 × 7 = 56`
આમ, 175616 નું ઘનમૂળ 56 છે.
(x) 91125
ઉકેલ - (x) :
`91125 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)`
`91125 = 3^3 × 3^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{91125} = 3 × 3 × 5 = 45`
આમ, 91125 નું ઘનમૂળ 45 છે.
`91125 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)`
`91125 = 3^3 × 3^3 × 5^3`
`\sqrt[3]{91125} = 3 × 3 × 5 = 45`
આમ, 91125 નું ઘનમૂળ 45 છે.
2. નીચેનાં વિધાન ખરાં છે કે ખોટાં તે કહો :
(i) કોઈપણ એકી સંખ્યાનો ઘન બેકી સંખ્યા હોય.
જવાબ : ખોટું
કારણ : એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી સંખ્યા જ આવે છે (જેમ કે `3^3 = 27`, `5^3 = 125`).
કારણ : એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી સંખ્યા જ આવે છે (જેમ કે `3^3 = 27`, `5^3 = 125`).
(ii) પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતિમ બે અંકો શૂન્ય ન હોય.
જવાબ : ખરું
કારણ : પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા હંમેશાં 3 ના ગુણકમાં (3, 6, 9...) જ હોય, ક્યારેય 2 શૂન્યો ન હોય.
કારણ : પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા હંમેશાં 3 ના ગુણકમાં (3, 6, 9...) જ હોય, ક્યારેય 2 શૂન્યો ન હોય.
(iii) જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરતાં એકમનો અંક 5 આવે તો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક 25 આવે.
જવાબ : ખોટું
કારણ : ઉદાહરણ તરીકે `15^2 = 225` (એકમનો અંક 5 છે), પરંતુ તેનો ઘન `15^3 = 3375` થાય છે જેમાં છેલ્લા બે અંક 75 છે (25 નથી).
કારણ : ઉદાહરણ તરીકે `15^2 = 225` (એકમનો અંક 5 છે), પરંતુ તેનો ઘન `15^3 = 3375` થાય છે જેમાં છેલ્લા બે અંક 75 છે (25 નથી).
(iv) એવી કોઈ પૂર્ણઘન સંખ્યા ના મળે કે જેનો એકમનો અંક 8 હોય.
જવાબ : ખોટું
કારણ : `2^3 = 8` અને `12^3 = 1728` જેવી સંખ્યાઓ પૂર્ણઘન છે અને તેમનો એકમનો અંક 8 છે.
કારણ : `2^3 = 8` અને `12^3 = 1728` જેવી સંખ્યાઓ પૂર્ણઘન છે અને તેમનો એકમનો અંક 8 છે.
(v) બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની પણ હોય.
જવાબ : ખોટું
કારણ : બે અંકની સૌથી નાની સંખ્યા 10 છે અને તેનો ઘન `10^3 = 1000` થાય છે, જે 4 અંકની સંખ્યા છે. તેથી બે અંકની સંખ્યાનો ઘન ક્યારેય 3 અંકનો ન હોઈ શકે.
કારણ : બે અંકની સૌથી નાની સંખ્યા 10 છે અને તેનો ઘન `10^3 = 1000` થાય છે, જે 4 અંકની સંખ્યા છે. તેથી બે અંકની સંખ્યાનો ઘન ક્યારેય 3 અંકનો ન હોઈ શકે.
(vi) બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં સાત કે તેથી વધુ અંકોની સંખ્યા પણ મળે.
જવાબ : ખોટું
કારણ : બે અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા 99 છે અને તેનો ઘન `99^3 = 970299` થાય છે, જે માત્ર 6 અંકની સંખ્યા છે.
કારણ : બે અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા 99 છે અને તેનો ઘન `99^3 = 970299` થાય છે, જે માત્ર 6 અંકની સંખ્યા છે.
(vii) એક અંકની સંખ્યાનો ઘન કરવાથી એક અંકની સંખ્યા પણ મળે.
જવાબ : ખરું
કારણ : `1^3 = 1` અને `2^3 = 8` માં એક અંકની સંખ્યાનો ઘન એક અંકનો જ મળે છે.
કારણ : `1^3 = 1` અને `2^3 = 8` માં એક અંકની સંખ્યાનો ઘન એક અંકનો જ મળે છે.
Post a Comment