GSEB Class 7 Maths Chapter 1 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 7 ગણિત પ્રકરણ 1 "પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ" (Std 7 Maths Chapter 1 Purnank Sankhyao) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 1.1, 1.2 અને 1.3 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો, સંવૃતતા, ક્રમનો, જૂથનો તથા વિભાજનનો ગુણધર્મ સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 7 Maths chapter 1. purnank sankhyao imp notes) ✦
- પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ (Integers) : ધન પૂર્ણાંકો (1, 2, 3...), ઋણ પૂર્ણાંકો (-1, -2, -3...) અને શૂન્ય (0) મળીને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ બને છે.
- સંવૃતતાનો ગુણધર્મ (Closure Property) :
• પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સરવાળા, બાદબાકી અને ગુણાકાર માટે સંવૃત છે. એટલે કે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકો `a` અને `b` માટે `a + b`, `a - b` અને `a \times b` પૂર્ણાંક સંખ્યા જ મળે.
• પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ભાગાકારની ક્રિયા માટે સંવૃત નથી. - ક્રમનો ગુણધર્મ (Commutative Property) :
• સરવાળા માટે : `a + b = b + a` (પાલન થાય છે)
• ગુણાકાર માટે : `a \times b = b \times a` (પાલન થાય છે)
• બાદબાકી અને ભાગાકાર માટે ક્રમના નિયમનું પાલન થતું નથી. - જૂથનો ગુણધર્મ (Associative Property) :
• સરવાળા માટે : `(a + b) + c = a + (b + c)`
• ગુણાકાર માટે : `(a \times b) \times c = a \times (b \times c)`
• બાદબાકી અને ભાગાકાર માટે જૂથના નિયમનું પાલન થતું નથી. - તટસ્થ ઘટક (Identity Element) :
• સરવાળા માટેનો તટસ્થ ઘટક 0 (શૂન્ય) છે: `a + 0 = 0 + a = a`
• ગુણાકાર માટેનો તટસ્થ ઘટક 1 (એક) છે: `a \times 1 = 1 \times a = a` - વિભાજનનો ગુણધર્મ (Distributive Property) :
• ગુણાકારનું સરવાળા પર વિભાજન : `a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)`
• ગુણાકારનું બાદબાકી પર વિભાજન : `a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)` - ગુણાકાર અને ભાગાકારના ચિહ્નોના નિયમો :
• ધન × ઋણ = ઋણ `[a \times (-b) = -(a \times b)]`
• ઋણ × ઋણ = ધન `[(-a) \times (-b) = a \times b]`
• ઋણ ÷ ધન = ઋણ `[(-a) \div b = -(a \div b)]`
• ઋણ ÷ ઋણ = ધન `[(-a) \div (-b) = a \div b]`
• શૂન્ય વડે ભાગાકાર અર્થહીન (અવ્યાખ્યાયિત) છે (`a \div 0` શક્ય નથી), પરંતુ `0 \div a = 0` થાય.
✦ સ્વાધ્યાય 1.1 (std 7 Maths chapter 1.1 purnank sankhyao swadhyay) ✦
1. પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની એવી જોડી લખો જેનો :
(a) સરવાળો (-7) હોય
જોડી : -4 અને -3 (અથવા -10 અને 3)
ચકાસણી : `(-4) + (-3) = -4 - 3 = -7`
(b) તફાવત (-10) હોય
જોડી : -2 અને 8 (અથવા -12 અને -2)
ચકાસણી : `(-2) - (8) = -2 - 8 = -10`
(c) સરવાળો 0 હોય
જોડી : -5 અને 5
ચકાસણી : `(-5) + 5 = 0`
2. માગ્યા મુજબ પૂર્ણાંકો લખો :
(a) જેનો તફાવત 8 હોય એવા ઋણ પૂર્ણાંકોની જોડી લખો.
ઋણ પૂર્ણાંકોની જોડી : -2 અને -10
ચકાસણી : `(-2) - (-10) = -2 + 10 = 8`
(b) જેનો સરવાળો (-5) હોય એવા ઋણ પૂર્ણાંક અને ધન પૂર્ણાંક લખો.
ઋણ પૂર્ણાંક = -7 અને ધન પૂર્ણાંક = 2 (અથવા -8 અને 3)
ચકાસણી : `(-7) + 2 = -5`
(c) જેનો તફાવત (-3) હોય એવા ઋણ પૂર્ણાંક અને ધન પૂર્ણાંક લખો.
ઋણ પૂર્ણાંક = -1 અને ધન પૂર્ણાંક = 2
ચકાસણી : `(-1) - (2) = -1 - 2 = -3`
3. ક્વિઝના ત્રણ ક્રમિક રાઉન્ડ પછી ટીમ A ના ગુણ (-40), 10, 0 છે અને ટીમ B ના ગુણ 10, 0, (-40) છે. કઈ ટીમના ગુણ વધુ છે ? શું આપણે કહી શકીએ કે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને કોઈ પણ ક્રમમાં ઉમેરી શકીએ ?
ટીમ A ના કુલ ગુણ `= (-40) + 10 + 0 = -30`
ટીમ B ના કુલ ગુણ `= 10 + 0 + (-40) = 10 - 40 = -30`
અહીં બંને ટીમના ગુણ સમાન (-30) છે.
આથી, બંને ટીમના ગુણ સરખા છે.
હા, આપણે કહી શકીએ કે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને કોઈપણ ક્રમમાં ઉમેરી શકાય છે (સરવાળા માટે ક્રમનો ગુણધર્મ).
4. નીચે આપેલ વિધાનોને સાચાં બનાવવા માટે ખાલી જગ્યા પૂરો :
(ii) `(-53) + `0` = -53` [સરવાળા માટે તટસ્થ સંખ્યા 0]
(iii) `17 + (`-17`) = 0` [વિરોધી સંખ્યાનો સરવાળો શૂન્ય]
(iv) `[13 + (-12)] + (`-7`) = 13 + [(-12) + (-7)]` [સરવાળા માટે જૂથનો નિયમ]
(v) `(-4) + [15 + (-3)] = [(-4) + 15] + (`-3`)` [સરવાળા માટે જૂથનો નિયમ]
✦ સ્વાધ્યાય 1.2 (std 7 Maths chapter 1.2 purnank sankhyao swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલ દરેકના જવાબ લખો :
(a) `3 \times (-1)`
(b) `(-1) \times 225`
(c) `(-21) \times (-30)`
`= 21 \times 30 = 630`
(d) `(-316) \times (-1)`
(e) `(-15) \times 0 \times (-18)`
`= 0 \times (-18) = 0`
(f) `(-12) \times (-11) \times 10`
`= 132 \times 10 = 1320`
(g) `9 \times (-3) \times (-6)`
`= 9 \times 18 = 162`
(h) `(-18) \times (-5) \times (-4)`
`= 90 \times (-4) = -360`
(i) `(-1) \times (-2) \times (-3) \times 4`
`= 2 \times (-12) = -24`
(j) `(-3) \times (-6) \times (-2) \times (-1)`
`= 18 \times 2 = 36`
2. ચકાસો :
(a) `18 \times [7 + (-3)] = [18 \times 7] + [18 \times (-3)]`
ડા.બા. `= 18 \times [7 + (-3)] = 18 \times (7 - 3) = 18 \times 4 = 72`
જ.બા. `= [18 \times 7] + [18 \times (-3)] = 126 + (-54) = 126 - 54 = 72`
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી પરિણામ સાબિત થાય છે.
(b) `(-21) \times [(-4) + (-6)] = [(-21) \times (-4)] + [(-21) \times (-6)]`
ડા.બા. `= (-21) \times [(-4) + (-6)] = (-21) \times (-10) = 210`
જ.બા. `= [(-21) \times (-4)] + [(-21) \times (-6)] = 84 + 126 = 210`
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી પરિણામ સાબિત થાય છે.
3. નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(i) કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા `a` માટે, `(-1) \times a` બરાબર શું થાય ?
`(-1) \times a = -a` થાય (એટલે કે `a` ની વિરોધી સંખ્યા મળે).
(ii) નીચેની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો `(-1)` સાથેનો ગુણાકાર શું થશે ?
(b) 37 માટે : `37 \times (-1) =` -37
(c) 0 માટે : `0 \times (-1) =` 0
4. `(-1) \times 5` થી શરૂ કરીને, નિશ્ચિત પેટર્ન વડે વિવિધ ગુણાકારો લઈને દર્શાવો કે `(-1) \times (-1) = 1` થાય.
`(-1) \times 5 = -5`
`(-1) \times 4 = -4 = (-5) + 1`
`(-1) \times 3 = -3 = (-4) + 1`
`(-1) \times 2 = -2 = (-3) + 1`
`(-1) \times 1 = -1 = (-2) + 1`
`(-1) \times 0 = 0 = (-1) + 1`
`(-1) \times (-1) = 1 = 0 + 1`
આમ, પેટર્ન દર્શાવે છે કે `(-1) \times (-1) = 1` થાય છે.
✦ સ્વાધ્યાય 1.3 (std 7 Maths chapter 1.3 purnank sankhyao swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલ દરેકના જવાબ લખો :
(a) `(-30) \div 10`
(b) `50 \div (-5)`
(c) `(-36) \div (-9)`
(d) `(-49) \div 49`
(e) `13 \div [(-2) + 1]`
(f) `0 \div (-12)`
(g) `(-31) \div [(-30) + (-1)]`
(h) `[(-36) \div 12] \div 3`
(i) `[(-6) + 5] \div [(-2) + 1]`
2. નીચેના દરેક `a, b` અને `c` ની કિંમતો માટે `a \div (b + c) \ne (a \div b) + (a \div c)` ચકાસો :
(a) `a = 12, b = -4, c = 2`
ડા.બા. `= a \div (b + c) = 12 \div [(-4) + 2] = 12 \div (-2) = -6`
જ.બા. `= (a \div b) + (a \div c) = [12 \div (-4)] + [12 \div 2] = (-3) + 6 = 3`
અહીં `-6 \ne 3` હોવાથી ડા.બા. `\ne` જ.બા. ચકાસાય છે.
(b) `a = -10, b = 1, c = 1`
ડા.બા. `= a \div (b + c) = (-10) \div (1 + 1) = (-10) \div 2 = -5`
જ.બા. `= (a \div b) + (a \div c) = [(-10) \div 1] + [(-10) \div 1] = (-10) + (-10) = -20`
અહીં `-5 \ne -20` હોવાથી ડા.બા. `\ne` જ.બા. ચકાસાય છે.
3. ખાલી જગ્યા પૂરો :
(b) `(-75) \div `75` = -1`
(c) `(-206) \div `-206` = 1`
(d) `-87 \div `-1` = 87`
(e) -87` \div 1 = -87`
(f) -48` \div 48 = -1`
(g) `20 \div `-10` = -2`
(h) -12` \div 4 = -3`
4. પૂર્ણાંક સંખ્યા `(a, b)` ની પાંચ જોડ લખો જેથી `a \div b = -3` થાય. આવી એક જોડ `(6, -2)` છે કારણ કે `6 \div (-2) = -3`.
1. (-6, 2) કારણ કે `(-6) \div 2 = -3`
2. (9, -3) કારણ કે `9 \div (-3) = -3`
3. (-12, 4) કારણ કે `(-12) \div 4 = -3`
4. (15, -5) કારણ કે `15 \div (-5) = -3`
5. (-18, 6) કારણ કે `(-18) \div 6 = -3`
5. બપોરે 12 વાગ્યાનું તાપમાન શૂન્યથી ઉપર 10°C છે. જો એ 2°C પ્રતિ કલાકના દરે મધ્યરાત્રિ સુધી ઓછું થતું જાય તો કયા સમયે તાપમાન શૂન્યથી નીચે 8°C હોય ? મધ્યરાત્રિનું તાપમાન શું હોય ?
બપોરે 12 વાગ્યાનું તાપમાન = `+10^\circ\text{C}`
તાપમાનમાં થતો ઘટાડો = `2^\circ\text{C}` પ્રતિ કલાક (એટલે કે `-2^\circ\text{C}`)
શૂન્યથી નીચે 8°C તાપમાન એટલે કે `-8^\circ\text{C}`
તાપમાનનો કુલ તફાવત `= 10 - (-8) = 10 + 8 = 18^\circ\text{C}`
લાગતો સમય `= \frac{18}{2} = 9 \text{ કલાક}`
બપોરે 12 વાગ્યા પછીના 9 કલાક એટલે રાત્રે 9:00 વાગ્યે તાપમાન શૂન્યથી નીચે 8°C થશે.
• મધ્યરાત્રિનું તાપમાન :
બપોરે 12 થી મધ્યરાત્રિ (રાત્રે 12) સુધીનો સમય = 12 કલાક
12 કલાકમાં તાપમાનનો કુલ ઘટાડો `= 12 \times 2 = 24^\circ\text{C}`
મધ્યરાત્રિનું તાપમાન `= 10 - 24 = -14^\circ\text{C}` (શૂન્યથી નીચે 14°C)
6. વર્ગપરીક્ષામાં (+3) ગુણ દરેક સાચા જવાબ માટે અને (-2) ગુણ દરેક ખોટા જવાબ માટે આપવામાં આવે છે અને કોઈ પણ પ્રયત્ન ન કરવા માટે 0 ગુણ છે :
(i) રાધિકાએ 20 ગુણ મેળવ્યા. જો તેણે 12 સાચા જવાબો આપ્યા હોય, તો તેના કેટલા જવાબો ખોટા છે ?
(ii) મોહિનીએ આ પરીક્ષામાં (-5) ગુણ મેળવ્યા. જો કે તેના 7 સાચા જવાબો હતા તો તેણે કેટલા ખોટા જવાબો લખ્યા ?
(i) રાધિકા માટે :
12 સાચા જવાબોના ગુણ `= 12 \times 3 = 36`
મેળવેલ કુલ ગુણ = 20
ખોટા જવાબોના ગુણ `= 20 - 36 = -16`
એક ખોટા જવાબના ગુણ = -2
`\text{ખોટા જવાબોની સંખ્યા} = \frac{-16}{-2} = 8`
આમ, રાધિકાએ 8 જવાબો ખોટા આપ્યા હતા.
(ii) મોહિની માટે :
7 સાચા જવાબોના ગુણ `= 7 \times 3 = 21`
મેળવેલ કુલ ગુણ = -5
ખોટા જવાબોના ગુણ `= -5 - 21 = -26`
`\text{ખોટા જવાબોની સંખ્યા} = \frac{-26}{-2} = 13`
આમ, મોહિનીએ 13 જવાબો ખોટા લખ્યા હતા.
7. એક લિફ્ટ (એલિવેટર) 6 મીટર પ્રતિ મિનિટના દરે ખાણમાં ઊતરે છે. જો તે જમીનથી 10 મીટર ઉપરથી નીચે ઊતરતી હોય તો (-350) મીટર સુધી પહોંચતાં તેને કેટલો સમય લાગશે ?
શરૂઆતનું સ્થાન = `+10 \text{ મીટર}` (જમીનથી ઉપર)
અંતિમ સ્થાન = `-350 \text{ મીટર}` (જમીનથી નીચે)
કાપવાનું કુલ અંતર `= 10 - (-350) = 10 + 350 = 360 \text{ મીટર}`
લિફ્ટની ઝડપ = 6 મીટર/મિનિટ
`\text{લાગતો સમય} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{360}{6} = 60 \text{ મિનિટ}`
`60 \text{ મિનિટ} = 1 \text{ કલાક}`
આમ, લિફ્ટને પહોંચતાં 1 કલાક (60 મિનિટ) નો સમય લાગશે.
إرسال تعليق