ધોરણ-8 [ગણિત] 12. અવયવીકરણ | std-8 [maths] 12. avyavikaran

GSEB Class 8 Maths Chapter 12 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 12 "અવયવીકરણ" (Std 8 Maths Chapter 12 Avayavikaran) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 12.1 અને 12.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સામાન્ય અવયવની રીત, પદોની પુનઃગોઠવણી, નિત્યસમના ઉપયોગથી અવયવીકરણ તથા બહુપદીઓના ભાગાકાર સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.

ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :

• ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
• ✦ સ્વાધ્યાય 12.1 સોલ્યુશન (Swadhyay 12.1)
• ✦ સ્વાધ્યાય 12.2 સોલ્યુશન (Swadhyay 12.2)
• ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)

✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 12. avayavikaran imp notes) ✦

• અવયવીકરણ (Factorisation) : જ્યારે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે બૈજિક પદાવલિને તેના અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે લખવામાં આવે ત્યારે તે પદાવલિનું અવયવીકરણ કર્યું કહેવાય.
• અવિભાજ્ય અવયવ સ્વરૂપ : બૈજિક પદાવલિમાં રહેલા પદોને તેના અવિભાજ્ય ગુણકો (સંખ્યા અને ચલ) ના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવવામાં આવે છે. જેમ કે, `30xy = 2 \times 3 \times 5 \times x \times y`.
• અવયવીકરણની રીતો :
     1. સામાન્ય અવયવની રીત : દરેક પદમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢીને બાકીના પદો કૌંસમાં લખવા.
     2. પદોની પુનઃગોઠવણી દ્વારા : જ્યારે બધા પદોમાંથી કોઈ સામાન્ય અવયવ ન મળે ત્યારે પદોના યોગ્ય જૂથ બનાવીને સામાન્ય અવયવ શોધવો.
     3. નિત્યસમના ઉપયોગથી :
         • `a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2`
         • `a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2`
         • `a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)`
         • `x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)`
• બહુપદીઓનો ભાગાકાર : બહુપદીનો એકપદી કે દ્વિપદી વડે ભાગાકાર કરતી વખતે અંશ અને છેદના સામાન્ય અવયવો રદ કરવામાં આવે છે.

✦ સ્વાધ્યાય 12.1 (std 8 Maths chapter 12.1 avayavikaran swadhyay) ✦

1. આપેલા પદોમાં સામાન્ય અવયવ શોધો :

(i) `12x, 36`

ઉકેલ - (i) :
`12x = 2 \times 2 \times 3 \times x`
`36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times 2 \times 3 = 12`

(ii) `2y, 22xy`

ઉકેલ - (ii) :
`2y = 2 \times y`
`22xy = 2 \times 11 \times x \times y`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times y = 2y`

(iii) `14pq, 28p^2q^2`

ઉકેલ - (iii) :
`14pq = 2 \times 7 \times p \times q`
`28p^2q^2 = 2 \times 2 \times 7 \times p \times p \times q \times q`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times 7 \times p \times q = 14pq`

(iv) `2x, 3x^2, 4`

ઉકેલ - (iv) :
`2x = 2 \times x \times 1`
`3x^2 = 3 \times x \times x \times 1`
`4 = 2 \times 2 \times 1`
ત્રણેય પદોમાં સામાન્ય અવયવ = 1

(v) `6abc, 24ab^2, 12a^2b`

ઉકેલ - (v) :
`6abc = 2 \times 3 \times a \times b \times c`
`24ab^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times a \times b \times b`
`12a^2b = 2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times 3 \times a \times b = 6ab`

(vi) `16x^3, -4x^2, 32x`

ઉકેલ - (vi) :
`16x^3 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times x`
`-4x^2 = (-1) \times 2 \times 2 \times x \times x`
`32x = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times 2 \times x = 4x`

(vii) `10pq, 20qr, 30rp`

ઉકેલ - (vii) :
`10pq = 2 \times 5 \times p \times q`
`20qr = 2 \times 2 \times 5 \times q \times r`
`30rp = 2 \times 3 \times 5 \times r \times p`
સામાન્ય અવયવ `= 2 \times 5 = 10`

(viii) `3x^2y^3, 10x^3y^2, 6x^2y^2z`

ઉકેલ - (viii) :
`3x^2y^3 = 3 \times x \times x \times y \times y \times y`
`10x^3y^2 = 2 \times 5 \times x \times x \times x \times y \times y`
`6x^2y^2z = 2 \times 3 \times x \times x \times y \times y \times z`
સામાન્ય અવયવ `= x \times x \times y \times y = x^2y^2`

2. આપેલી પદાવલિઓના અવયવ મેળવો :

(i) `7x - 42`

`= 7 \times x - 7 \times 6`
સામાન્ય 7 બહાર લેતાં :
`= 7(x - 6)`

(ii) `6p - 12q`

`= 6 \times p - 6 \times 2q`
સામાન્ય 6 બહાર લેતાં :
`= 6(p - 2q)`

(iii) `7a^2 + 14a`

`= 7a \times a + 7a \times 2`
સામાન્ય 7a બહાર લેતાં :
`= 7a(a + 2)`

(iv) `-16z + 20z^3`

`= -4z \times 4 + 4z \times 5z^2`
સામાન્ય 4z બહાર લેતાં :
`= 4z(-4 + 5z^2) = 4z(5z^2 - 4)`

(v) `20l^2m + 30alm`

`= 10lm \times 2l + 10lm \times 3a`
સામાન્ય 10lm બહાર લેતાં :
`= 10lm(2l + 3a)`

(vi) `5x^2y - 15xy^2`

`= 5xy \times x - 5xy \times 3y`
સામાન્ય 5xy બહાર લેતાં :
`= 5xy(x - 3y)`

(vii) `10a^2 - 15b^2 + 20c^2`

`= 5 \times 2a^2 - 5 \times 3b^2 + 5 \times 4c^2`
સામાન્ય 5 બહાર લેતાં :
`= 5(2a^2 - 3b^2 + 4c^2)`

(viii) `-4a^2 + 4ab - 4ca`

`= 4a \times (-a) + 4a \times b - 4a \times c`
સામાન્ય 4a બહાર લેતાં :
`= 4a(-a + b - c)`

(ix) `x^2yz + xy^2z + xyz^2`

`= xyz \times x + xyz \times y + xyz \times z`
સામાન્ય xyz બહાર લેતાં :
`= xyz(x + y + z)`

(x) `ax^2y + bxy^2 + cxyz`

`= xy \times ax + xy \times by + xy \times cz`
સામાન્ય xy બહાર લેતાં :
`= xy(ax + by + cz)`

3. અવયવ મેળવો (પદોની પુનઃગોઠવણી દ્વારા) :

(i) `x^2 + xy + 8x + 8y`

બબ્બે પદોના જૂથ બનાવતાં :
`= (x^2 + xy) + (8x + 8y)`
`= x(x + y) + 8(x + y)`
સામાન્ય કૌંસ `(x + y)` બહાર લેતાં :
`= (x + y)(x + 8)`

(ii) `15xy - 6x + 5y - 2`

`= (15xy - 6x) + (5y - 2)`
`= 3x(5y - 2) + 1(5y - 2)`
`= (5y - 2)(3x + 1)`

(iii) `ax + bx - ay - by`

`= (ax + bx) - (ay + by)`
`= x(a + b) - y(a + b)`
`= (a + b)(x - y)`

(iv) `15pq + 15 + 9q + 25p`

પદોની યોગ્ય પુનઃગોઠવણી કરતાં :
`= 15pq + 9q + 25p + 15`
`= (15pq + 9q) + (25p + 15)`
`= 3q(5p + 3) + 5(5p + 3)`
`= (5p + 3)(3q + 5)`

(v) `z - 7 + 7xy - xyz`

પદોની પુનઃગોઠવણી કરતાં :
`= z - xyz - 7 + 7xy`
`= z(1 - xy) - 7(1 - xy)`
`= (1 - xy)(z - 7)`

✦ સ્વાધ્યાય 12.2 (std 8 Maths chapter 12.2 avayavikaran swadhyay) ✦

1. નીચે આપેલી પદાવલિઓના અવયવ મેળવો (નિત્યસમના ઉપયોગથી) :

(i) `a^2 + 8a + 16`

નિત્યસમ: `a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2`
`= (a)^2 + 2(a)(4) + (4)^2`
`= (a + 4)^2`

(ii) `p^2 - 10p + 25`

નિત્યસમ: `a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2`
`= (p)^2 - 2(p)(5) + (5)^2`
`= (p - 5)^2`

(iii) `25m^2 + 30m + 9`

`= (5m)^2 + 2(5m)(3) + (3)^2`
`= (5m + 3)^2`

(iv) `49y^2 + 84yz + 36z^2`

`= (7y)^2 + 2(7y)(6z) + (6z)^2`
`= (7y + 6z)^2`

(v) `4x^2 - 8x + 4`

સામાન્ય 4 બહાર લેતાં :
`= 4(x^2 - 2x + 1)`
`= 4[(x)^2 - 2(x)(1) + (1)^2]`
`= 4(x - 1)^2`

(vi) `121b^2 - 88bc + 16c^2`

`= (11b)^2 - 2(11b)(4c) + (4c)^2`
`= (11b - 4c)^2`

(vii) `(l + m)^2 - 4lm`

કૌંસનું વિસ્તરણ કરતાં :
`= (l^2 + 2lm + m^2) - 4lm`
`= l^2 + (2lm - 4lm) + m^2`
`= l^2 - 2lm + m^2`
`= (l - m)^2`

(viii) `a^4 + 2a^2b^2 + b^4`

`= (a^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2`
`= (a^2 + b^2)^2`

2. અવયવ પાડો (તફાવતના નિત્યસમ `a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)` મુજબ) :

(i) `4p^2 - 9q^2`

`= (2p)^2 - (3q)^2`
`= (2p - 3q)(2p + 3q)`

(ii) `63a^2 - 112b^2`

સામાન્ય 7 બહાર લેતાં :
`= 7(9a^2 - 16b^2)`
`= 7[(3a)^2 - (4b)^2]`
`= 7(3a - 4b)(3a + 4b)`

(iii) `49x^2 - 36`

`= (7x)^2 - (6)^2`
`= (7x - 6)(7x + 6)`

(iv) `16x^5 - 144x^3`

સામાન્ય `16x^3` બહાર લેતાં :
`= 16x^3(x^2 - 9)`
`= 16x^3[(x)^2 - (3)^2]`
`= 16x^3(x - 3)(x + 3)`

(v) `(l + m)^2 - (l - m)^2`

`a = (l + m)` અને `b = (l - m)` લેતાં :
`= [(l + m) - (l - m)][(l + m) + (l - m)]`
`= (l + m - l + m)(l + m + l - m)`
`= (2m)(2l)`
`= 4lm`

(vi) `9x^2y^2 - 16`

`= (3xy)^2 - (4)^2`
`= (3xy - 4)(3xy + 4)`

(vii) `(x^2 - 2xy + y^2) - z^2`

કૌંસનું પૂર્ણવર્ગ સ્વરૂપ `(x - y)^2` મૂકતાં :
`= (x - y)^2 - (z)^2`
`= (x - y - z)(x - y + z)`

(viii) `25 - 4a^2 + 28ab - 49b^2`

ઋણ નિશાની સામાન્ય કાઢીને ગોઠવતાં :
`= 25 - (4a^2 - 28ab + 49b^2)`
કૌંસમાં `(2a - 7b)^2` મૂકતાં :
`= (5)^2 - (2a - 7b)^2`
`= [5 - (2a - 7b)][5 + (2a - 7b)]`
`= (5 - 2a + 7b)(5 + 2a - 7b)`

3. પદાવલિઓના અવયવ મેળવો :

(i) `ax^2 + bx`

સામાન્ય x લેતાં :
`= x(ax + b)`

(ii) `7p^2 + 21q^2`

સામાન્ય 7 લેતાં :
`= 7(p^2 + 3q^2)`

(iii) `2x^3 + 2xy^2 + 2xz^2`

સામાન્ય 2x લેતાં :
`= 2x(x^2 + y^2 + z^2)`

(iv) `am^2 + bm^2 + bn^2 + an^2`

બબ્બે પદોના જૂથ બનાવી સામાન્ય કાઢતાં :
`= m^2(a + b) + n^2(b + a)`
`= (a + b)(m^2 + n^2)`

(v) `(lm + l) + m + 1`

`= l(m + 1) + 1(m + 1)`
`= (m + 1)(l + 1)`

(vi) `y(y + z) + 9(y + z)`

સામાન્ય કૌંસ `(y + z)` બહાર લેતાં :
`= (y + z)(y + 9)`

(vii) `5y^2 - 20y - 8z + 2yz`

પદોની ગોઠવણી કરતાં :
`= 5y^2 - 20y + 2yz - 8z`
`= 5y(y - 4) + 2z(y - 4)`
`= (y - 4)(5y + 2z)`

(viii) `10ab + 4a + 5b + 2`

`= (10ab + 4a) + (5b + 2)`
`= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)`
`= (5b + 2)(2a + 1)`

(ix) `6xy - 4y + 6 - 9x`

પદોની ગોઠવણી કરતાં :
`= 6xy - 9x - 4y + 6`
`= 3x(2y - 3) - 2(2y - 3)`
`= (2y - 3)(3x - 2)`

4. અવયવ મેળવો :

(i) `a^4 - b^4`

`= (a^2)^2 - (b^2)^2`
`= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)`
ફરીથી `(a^2 - b^2)` ના અવયવ પાડતાં :
`= (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)`

(ii) `p^4 - 81`

`= (p^2)^2 - (9)^2`
`= (p^2 - 9)(p^2 + 9)`
`= [(p)^2 - (3)^2](p^2 + 9)`
`= (p - 3)(p + 3)(p^2 + 9)`

(iii) `x^4 - (y + z)^4`

`= (x^2)^2 - [(y + z)^2]^2`
`= [x^2 - (y + z)^2][x^2 + (y + z)^2]`
`= [x - (y + z)][x + (y + z)][x^2 + (y + z)^2]`
`= (x - y - z)(x + y + z)[x^2 + (y + z)^2]`

(iv) `x^4 - (x - z)^4`

`= (x^2)^2 - [(x - z)^2]^2`
`= [x^2 - (x - z)^2][x^2 + (x - z)^2]`
`= [x - (x - z)][x + (x - z)][x^2 + (x^2 - 2xz + z^2)]`
`= (x - x + z)(x + x - z)(2x^2 - 2xz + z^2)`
`= z(2x - z)(2x^2 - 2xz + z^2)`

(v) `a^4 - 2a^2b^2 + b^4`

`= (a^2 - b^2)^2`
`= [(a - b)(a + b)]^2`
`= (a - b)^2 (a + b)^2`

5. નીચેની પદાવલિઓના અવયવ મેળવો (`x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)` મુજબ) :

(i) `p^2 + 6p + 8`

અહીં ગુણાકાર 8 અને સરવાળો 6 થાય તેવી બે સંખ્યાઓ 4 અને 2 છે (`4 \times 2 = 8` અને `4 + 2 = 6`).
`= p^2 + 4p + 2p + 8`
`= p(p + 4) + 2(p + 4)`
`= (p + 4)(p + 2)`

(ii) `q^2 - 10q + 21`

અહીં ગુણાકાર 21 અને સરવાળો -10 થાય તેવી સંખ્યાઓ -7 અને -3 છે (`-7 \times -3 = 21` અને `-7 - 3 = -10`).
`= q^2 - 7q - 3q + 21`
`= q(q - 7) - 3(q - 7)`
`= (q - 7)(q - 3)`

(iii) `p^2 + 6p - 16`

અહીં ગુણાકાર -16 અને સરવાળો 6 થાય તેવી સંખ્યાઓ 8 અને -2 છે (`8 \times (-2) = -16` અને `8 - 2 = 6`).
`= p^2 + 8p - 2p - 16`
`= p(p + 8) - 2(p + 8)`
`= (p + 8)(p - 2)`

---

✦ નીચે ધોરણ - 8 ના બધા વિષયોની link આપેલી છે. તેની મુલાકાત લેવી. ✦

ગુજરાતી હિન્દી સંસ્કૃત અંગ્રેજી ગણિત વિજ્ઞાન સામાજિક વિજ્ઞાન