GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 2 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 2 "રેખાઓ અને ખૂણાઓ" (Std 6 Maths Prakash Chapter 2 Rekhao ane Khunao) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગોમાં આપેલા 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા પ્રવૃત્તિઓના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. બિંદુ, રેખાખંડ, રેખા, કિરણ, ખૂણાઓનું અંશમાપ, કોણમાપકનો ઉપયોગ તથા વિવિધ પ્રકારના ખૂણાઓની સમજૂતી પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર રજૂ કરેલ છે.
- ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
- ✦ વિભાગ 2.4 : કિરણ (વિચારો અને શોધો)
- ✦ વિભાગ 2.5 : ખૂણો (વિચારો અને શોધો / ગાણિતિક ચર્ચા)
- ✦ વિભાગ 2.6 : ખૂણાઓની સરખામણી (ગાણિતિક ચર્ચા / વિચારો અને શોધો)
- ✦ વિભાગ 2.8 : ખૂણાના વિશિષ્ટ પ્રકારો (વિચારો અને શોધો)
- ✦ વિભાગ 2.9 : ખૂણાઓનું માપન (વિચારો અને શોધો)
- ✦ વિભાગ 2.10 : ખૂણા દોરવા (રમતો / વિચારો અને શોધો)
- ✦ વિભાગ 2.11 : ખૂણાના પ્રકાર અને તેમના માપ (વિચારો અને શોધો)
- ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 2. rekhao ane khunao imp notes) ✦
- બિંદુ (Point) : બિંદુ એક ચોક્કસ સ્થાન દર્શાવે છે. તેને લંબાઈ, પહોળાઈ કે ઊંચાઈ હોતી નથી. તેને અંગ્રેજી મૂળાક્ષરના મોટા અક્ષર (કેપિટલ) વડે દર્શાવાય છે. એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ દોરી શકાય છે, જ્યારે બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી માત્ર એક જ અનન્ય રેખા પસાર થાય છે.
- રેખાખંડ (Line Segment) : બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સૌથી ટૂંકો માર્ગ એટલે રેખાખંડ. તેને બે અંત્યબિંદુઓ હોય છે. રેખાખંડની લંબાઈ નિશ્ચિત હોય છે જેને માપી શકાય છે. સંકેત : AB અથવા BA.
- રેખા (Line) : રેખાખંડને બંને દિશામાં અનંત સુધી લંબાવતાં રેખા મળે છે. રેખાને કોઈ અંત્યબિંદુ હોતું નથી. તેને બંને તરફ તીર દર્શાવી લખાય છે : `\overleftrightarrow{AB}`.
- કિરણ (Ray) : રેખાનો એવો ભાગ જે એક ઉદ્ભવબિંદુથી શરૂ થઈ એક જ દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે. તેને એક જ અંત્યબિંદુ (ઉદ્ભવબિંદુ) હોય છે : `\vec{AP}`.
- ખૂણો (Angle) : એક જ સામાન્ય ઉદ્ભવબિંદુમાંથી નીકળતાં બે કિરણો વડે ખૂણો બને છે. સામાન્ય બિંદુને શિરોબિંદુ અને બંને કિરણોને ખૂણાની ભુજાઓ કહે છે. ખૂણાનું માપ એ શિરોબિંદુની આસપાસ થતા પરિભ્રમણનું માપ છે.
- ખૂણાઓનું વર્ગીકરણ :
• લઘુકોણ (Acute Angle) : 0° થી મોટા અને 90° થી નાના ખૂણાને લઘુકોણ કહે છે.
• કાટકોણ (Right Angle) : બરાબર 90° ના માપના ખૂણાને કાટકોણ કહે છે (સરળકોણનો અડધો ભાગ).
• ગુરુકોણ (Obtuse Angle) : 90° થી મોટા અને 180° થી નાના ખૂણાને ગુરુકોણ કહે છે.
• સરળકોણ (Straight Angle) : બરાબર 180° ના માપના ખૂણાને સરળકોણ કહે છે (પૂર્ણ આંટાનો અડધો ભાગ).
• વિપરીતકોણ (Reflex Angle) : 180° થી મોટા અને 360° થી નાના ખૂણાને વિપરીતકોણ કહે છે.
• પૂર્ણ આંટો : 360° નું સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ. - ખૂણાનો દ્વિભાજક (Angle Bisector) : આપેલા ખૂણાને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરતી રેખા કે કિરણને ખૂણાનો દ્વિભાજક કહે છે.
✦ વિભાગ 2.4 : કિરણ (Ray) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 15-17)
1. રિહાને કાગળના એક ટુકડા પર એક બિંદુ દર્શાવ્યું. આ બિંદુમાંથી પસાર થતી કેટલી રેખાઓ તે દોરી શકે છે? શીતલે કાગળના એક ટુકડા પર બે બિંદુઓ દર્શાવ્યાં. તે આ બંને બિંદુઓમાંથી પસાર થતી કેટલી જુદી જુદી રેખાઓ દોરી શકે છે? શું તમે રિહાન અને શીતલને તેમના જવાબો શોધવામાં મદદ કરી શકો છો?
• રિહાન માટે : એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી અસંખ્ય (અગણિત) રેખાઓ દોરી શકાય છે.
• શીતલ માટે : આપેલા બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી માત્ર એક અને માત્ર એક જ (અનન્ય) રેખા દોરી શકાય છે.
2. આકૃતિ 2.4 માં રેખાખંડોનાં નામ આપો. દર્શાવેલાં પાંચ બિંદુઓમાંથી કયાં બિંદુઓ ફક્ત એક જ રેખાખંડ પર છે? કયાં બિંદુઓ બે રેખાખંડો પર છે?
• રેખાખંડોનાં નામ : LM, MP, PQ અને QR (અથવા પાસપાસેના જોડાણથી બનતા રેખાખંડો).
• ફક્ત એક જ રેખાખંડ પર હોય તેવાં બિંદુઓ : છેડાનાં બિંદુઓ L અને R.
• બે રેખાખંડો પર હોય તેવાં બિંદુઓ : વચ્ચેનાં સામાન્ય બિંદુઓ M, P અને Q.
3. આકૃતિ 2.5 માં દર્શાવેલાં કિરણોનાં નામ આપો. શું T આ દરેક કિરણનું ઉદ્ભવ બિંદુ છે?
• કિરણોનાં નામ : `\vec{TA}` (અથવા `\vec{T\text{આગળ}}`), `\vec{TN}` અને `\vec{TB}`.
• હા, બિંદુ T એ આ દરેક કિરણનું પ્રારંભિક ઉદ્ભવબિંદુ છે.
4. નીચેના દરેકને દર્શાવવા માટે એક કાચી આકૃતિ દોરો અને યોગ્ય નામાંકન કરો :
સામાન્ય બિંદુ O રાખી બે કિરણો `\vec{OP}` અને `\vec{OQ}` દોરવા, જે ખૂણો POQ રચે છે.
b. `\overleftrightarrow{XY}` અને `\overleftrightarrow{PQ}` બિંદુ M માં છેદે છે :
ચોકડી (X) આકારમાં બે રેખાઓ દોરી તેમના છેદબિંદુ આગળ M નામ આપવું.
c. રેખા l પર બિંદુઓ (points) E અને F આવેલાં છે, પરંતુ બિંદુ D તેના પર આવેલું નથી :
એક રેખા l દોરી તેના પર E અને F બિંદુઓ દર્શાવવાં અને D ને રેખાની બહાર દર્શાવવું.
d. બિંદુ P, `\overline{AB}` પર આવેલું છે :
રેખાખંડ AB દોરી બિંદુ A અને B ની વચ્ચે ગમે ત્યાં બિંદુ P અંકિત કરવું.
5. આકૃતિ 2.6 પરથી નામ આપો :
b. એક રેખા (line) : `\overleftrightarrow{DB}` (અથવા `\overleftrightarrow{DE}` / `\overleftrightarrow{EO}`)
c. ચાર કિરણ (ray) : `\vec{OD}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OE}`
d. પાંચ રેખાખંડ (line segment) : `\overline{DE}, \overline{EO}, \overline{OB}, \overline{OC}, \overline{OD}`
6. અહીં એક `\vec{OA}` (આકૃતિ 2.7) છે. તે Oથી શરૂ થાય છે અને બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે. તે બિંદુ Bમાંથી પણ પસાર થાય છે.
હા. કારણ કે કિરણનું ઉદ્ભવબિંદુ O સમાન છે અને બિંદુ B પણ તે જ કિરણના માર્ગ પર આવેલું છે.
b. શું આપણે `\vec{OA}` ને `\vec{AO}` તરીકે લખી શકીએ? શા માટે?
ના. કારણ કે કિરણના નામાભિધાનમાં પ્રથમ અક્ષર હંમેશાં તેનું ઉદ્ભવબિંદુ દર્શાવે છે. `\vec{OA}` નું ઉદ્ભવબિંદુ O છે, જ્યારે `\vec{AO}` લખતાં ઉદ્ભવબિંદુ A થઈ જાય અને તેની દિશા બદલાઈ જાય છે.
✦ વિભાગ 2.5 : ખૂણો (Angle) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 19-21)
1. શું તમે આપેલાં ચિત્રોમાં ખૂણા શોધી શકો છો? કોઈ પણ એક ખૂણો બનાવતાં કિરણો દોરો અને ખૂણાના શિરોબિંદુનું નામ આપો.
ચિત્રમાં સાયકલની ફ્રેમ કે બારીની કિનારી પર ખૂણાઓ બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુ D આગળ કિરણો `\vec{DA}`, `\vec{DB}` અને `\vec{DC}` દ્વારા ખૂણાઓ રચાય છે, જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુ D છે.
2. બાજુઓ ST અને SR ધરાવતો ખૂણો દોરો અને તેને નામ આપો.
સામાન્ય શિરોબિંદુ S રાખી બે કિરણો `\vec{ST}` અને `\vec{SR}` દોરો.
ખૂણાનું નામ : ∠TSR અથવા ∠RST
3. ∠APC ને ∠P તરીકે કેમ દર્શાવી શકાય નહીં તે સમજાવો.
કારણ કે શિરોબિંદુ P આગળ એક કરતાં વધુ ખૂણાઓ (જેમ કે ∠APB, ∠BPC અને સમગ્ર ∠APC) બને છે. જો માત્ર ∠P લખવામાં આવે, તો તેમાંથી કયા ચોક્કસ ખૂણાની વાત છે તે સ્પષ્ટ થતું નથી.
4. આપેલી આકૃતિમાં ચિહ્નિત કરેલા ખૂણાઓનાં નામ આપો.
આકૃતિમાં ચિહ્નિત કરેલા ખૂણાઓ : ∠PTQ અને ∠QTR (અથવા સમગ્ર ∠PTR).
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 20-21)
5. તમારા કાગળ પર ત્રણ બિંદુઓ ચિહ્નિત કરો જે એક જ રેખા પર ન હોય. તેમને A, B, C નામ આપો. આ બિંદુઓની જોડમાંથી પસાર થતી તમામ સંભવિત રેખાઓ દોરો. તમને કેટલી રેખાઓ મળે છે? તેમનાં નામ આપો. તમે A, B, Cનો ઉપયોગ કરીને કેટલા ખૂણાને નામ આપી શકો છો તે લખો અને આકૃતિ 2.9માં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકને વક્ર (curve) સાથે ચિહ્નિત કરો.
• મળતી રેખાઓની સંખ્યા : 3 રેખાઓ (`\overleftrightarrow{AB}, \overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{CA}` ત્રિકોણ બનાવે છે).
• ખૂણાઓની સંખ્યા : 3 ખૂણાઓ મળે છે :
1. ∠BAC (અથવા ∠A)
2. ∠ABC (અથવા ∠B)
3. ∠BCA (અથવા ∠C)
6. હવે તમારા કાગળ પર ચાર બિંદુઓ એવી રીતે ચિહ્નિત કરો કે, જેથી તેમાંના કોઈ પણ ત્રણ એક જ રેખા પર ન હોય. તેમને A, B, C, D નામ આપો. આ બિંદુઓની જોડમાંથી પસાર થતી તમામ સંભવિત રેખાઓ દોરો. તમને કેટલી રેખાઓ મળે છે? તેમનાં નામ આપો. તમે A, B, C, Dનો ઉપયોગ કરીને કેટલા ખૂણાને નામ આપી શકો છો? તે બધા લખો અને આકૃતિ 2.9માં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકને વક્ર સાથે ચિહ્નિત કરો.
• મળતી રેખાઓની સંખ્યા :
`\text{કુલ રેખાઓ} = \frac{4 \times (4 - 1)}{2}`
`= \frac{4 \times 3}{2}`
`= 6 \text{ રેખાઓ}`
રેખાઓનાં નામ : `\overleftrightarrow{AB}, \overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{CD}, \overleftrightarrow{DA}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{BD}`.
• ચતુષ્કોણના 4 મુખ્ય ખૂણાઓ : ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA (વિકર્ણો દોરતાં કુલ 8 ત્રિકોણીય ખૂણાઓ અને છેદબિંદુ આગળ 4 ખૂણાઓ મળીને અનેક ખૂણાઓ બને છે).
✦ વિભાગ 2.6 : ખૂણાઓની સરખામણી (Comparing Angles) ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 21-23)
• શું બે ખૂણાની સરખામણી કરવી હંમેશાં સરળ છે? અહીં કેટલાક ખૂણા આપેલા છે. દરેક ખૂણાને નામ આપો. તમે તેમની સરખામણી કેવી રીતે કરશો? અન્ય કઈ જગ્યાએ આપણે સરખામણી કરવા માટે અધ્યારોપણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ?
ના, માત્ર નરી આંખે જોવાથી ખૂણાઓની સરખામણી હંમેશાં સરળ હોતી નથી. જો ખૂણાઓનાં માપ ખૂબ નજીક હોય તો અંદાજ લગાવવો મુશ્કેલ બને છે.
તેમની સરખામણી ટ્રેસિંગ પેપર દ્વારા અધ્યારોપણ (એકબીજા પર મૂકીને) કરીને અથવા કોણમાપક વડે અંશમાપ માપીને કરી શકાય છે.
રોજિંદા જીવનમાં સમાન માપના કાગળ, બે સિક્કા, બિસ્કિટ કે વાસણોની સરખામણી કરવા અધ્યારોપણ વપરાય છે.
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 23)
1. એક લંબચોરસ (rectangle) કાગળને વાળો, પછી બનાવેલી ગડી પર એક લીટી દોરો. તે ગડી અને કાગળની બાજુઓ વચ્ચે બનતા ખૂણાને નામ આપો અને તેમની સરખામણી કરો. લંબચોરસ કાગળને વાળીને જુદા જુદા ખૂણા બનાવો અને ખૂણાની સરખામણી કરો. તમે કયો ખૂણો સૌથી મોટો અને કયો સૌથી નાનો બનાવ્યો?
કાગળને ત્રાંસી ગડી વાળીને ખોલતાં તે કાગળની ધાર સાથે એક લઘુકોણ અને એક ગુરુકોણ બનાવે છે. ગુરુકોણ લઘુકોણ કરતાં મોટો હોય છે. કાગળને સીધો અડધો વાળતાં બંને કાટકોણ (90°) બને છે. ત્રાંસી ગડીથી બનેલો ગુરુકોણ સૌથી મોટો અને લઘુકોણ સૌથી નાનો બને છે.
2. દરેક કિસ્સામાં, કયો ખૂણો મોટો છે અને શા માટે? તે નક્કી કરો.
b. ∠AOB અથવા ∠XOB : ∠XOB મોટો છે, કારણ કે કિરણ OX એ કિરણ OA કરતાં વધુ પરિભ્રમણ પામેલું છે.
c. ∠XOB અથવા ∠XOC : ∠XOC મોટો છે, કારણ કે કિરણ OC એ કિરણ OB કરતાં વધુ આગળ વિસ્તરેલું છે.
3. ક્યો ખૂણો મોટો છે : ∠XOY કે ∠AOB ? કારણ આપો.
અધ્યારોપણ કરતાં શિરોબિંદુ O અને ભુજ OB પર O'Y ગોઠવતાં જો ભુજ OX એ OA ની બહાર રહેતો હોય, તો ∠XOY મોટો થાય. કારણ કે ખૂણાનું માપ ભુજની લંબાઈ પર નહીં પરંતુ ભુજ વચ્ચેના પરિભ્રમણ (વળાંક) પર આધાર રાખે છે.
• અધ્યારોપણ વગર ખૂણાઓની સરખામણી (સારસ પક્ષી - પાના નં. 24-25) :
✦ વિભાગ 2.8 : ખૂણાના વિશિષ્ટ પ્રકારો (Special Types of Angles) ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 28-29)
• શું OC ને એવી રીતે દોરી શકાય કે જેથી બંને ખૂણાનાં માપ સરખાં થાય? આ બંને ખૂણા સરખા શા માટે છે તે સમજાવો. જો એક આખા આંટાનો અડધો ભાગ લેવાથી એક સરળકોણ બને, તો આખા આંટાનો કેટલામો ભાગ કાટખૂણો બનાવશે?
હા, કાગળને બરાબર વચ્ચેથી વાળીને OB ને OA પર બંધબેસતો ગોઠવતાં ગડી આગળ લંબ રેખા મળે છે, જેથી ∠AOC = ∠COB બને છે.
ગડી વાળતાં બંને ભાગ એકબીજા પર સંપૂર્ણ અધ્યારોપિત થાય છે, તેથી બંને ખૂણા સમાન બને છે.
સરળકોણ એ 1/2 આંટો હોવાથી, કાટકોણ એ આખા આંટાનો :
`= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}`
`= \frac{1}{4} \text{ ભાગ (ચોથો ભાગ) બનાવશે.}`
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 29-32)
1. તમારા વર્ગખંડની બારીઓમાં કેટલા કાટખૂણા છે? શું તમને તમારા વર્ગખંડમાં બીજા કોઈ કાટકોણ દેખાય છે?
લંબચોરસ બારીની ચારેય કિનારીઓ વચ્ચે 4 કાટખૂણા હોય છે.
વર્ગખંડમાં બ્લેકબોર્ડના 4 ખૂણા, દરવાજાના ખૂણા, પુસ્તકની કિનારીઓ અને પાટલી (બેન્ચ) ની સપાટી પર કાટકોણ જોવા મળે છે.
2. આપેલા ચિત્રમાં Aને અન્ય બિંદુઓ સાથે સીધી લીટીથી જોડીને સરળકોણ (straight angle) બનાવો. આ માટેની જુદી જુદી રીતો કઈ છે?
બિંદુ A માંથી પસાર થતી એક સળંગ સીધી રેખા એવી રીતે દોરવી કે જેથી બિંદુ A ની બંને બાજુ વિરુદ્ધ કિરણો એક જ સીધી રેખામાં ગોઠવાય, જે 180° નો સરળકોણ રચે છે.
3. હવે, આપેલા ચિત્રમાં Aને અન્ય બિંદુઓ સાથે સીધી લીટીથી જોડીને કાટકોણ (right angle) બનાવો. આ માટેની જુદી જુદી રીતો કઈ છે?
બિંદુ A આગળ રેખા AB ને લંબરૂપે (90° ના ખૂણે) રેખા દોરવી, જેથી સરળકોણનું બે સમાન ભાગમાં વિભાજન થઈ કાટકોણ (90°) બને છે.
4. કાગળ પર એક ત્રાંસી ગડી (slanting crease) બનાવો. હવે, એક બીજી ગડી બનાવવાનો પ્રયાસ કરો જે આ ત્રાસી ગડીને લંબ હોય.
4 કાટખૂણા બને છે. કારણ કે બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી ચારેય બાજુ 90° ના ખૂણા રચે છે.
b. તમે કાગળને કેવી રીતે વાળ્યો તેનું વર્ણન :
પ્રથમ કાગળ પર એક ત્રાંસી ગડી પાડો. પછી તે ગડી પોતાની ઉપર જ બરાબર બંધબેસતી આવે તે રીતે કાગળને વાળીને બીજી ગડી પાડો. આમ કરવાથી બંને ગડીઓ પરસ્પર લંબ બનશે.
• ખૂણાઓનું વર્ગીકરણ (પાના નં. 31-32) :
• કાટકોણ કરતાં નાના ખૂણા ⟶ લઘુકોણ
• બરાબર 90° નો ખૂણો ⟶ કાટકોણ
• કાટકોણ કરતાં મોટા અને સરળકોણ કરતાં નાના ખૂણા ⟶ ગુરુકોણ
• સીધી રેખા પરનો 180° નો ખૂણો ⟶ સરળકોણ
3. 'લઘુકોણ' અને 'ગુરુકોણ' શબ્દોનો અર્થ :
'લઘુ' નો અર્થ સંસ્કૃતમાં 'નાનું' થાય છે, તેથી કાટકોણથી નાના ખૂણાને લઘુકોણ કહેવાય. 'ગુરુ' નો અર્થ 'મોટું' થાય છે, તેથી કાટકોણથી મોટા ખૂણાને ગુરુકોણ કહેવાય છે.
4. ત્રિકોણની આકૃતિઓમાં લઘુકોણની પૅટર્ન :
• આકૃતિ 1 (1 ત્રિકોણ) : 3 લઘુકોણ
• આકૃતિ 2 (4 નાના ત્રિકોણ) : `4 \times 3 = 12` લઘુકોણ
• આકૃતિ 3 : નાના ત્રિકોણોની સંખ્યા વધતાં લઘુકોણની સંખ્યા ક્રમશઃ વધતી જાય છે.
✦ વિભાગ 2.9 : ખૂણાઓનું માપન (Measuring Angles) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 35-43)
1. નીચેના ખૂણાઓનાં માપ લખો :
b. ∠WAL = 60° (કાપા ગણતાં 60 એકમ દર્શાવે છે)
c. ∠TAK = 90° (શિરોલંબ કાપો 90 એકમ દર્શાવે છે)
5. નીચેના દરેક ખૂણાનું અંશમાપ લખો.
• ખૂણો a : 80° (લઘુકોણ)
• ખૂણો b : 120° (ગુરુકોણ)
• ખૂણો c : 45° (લઘુકોણ)
6. ∠BXE, ∠CXE, ∠AXB અને ∠BXC ના અંશમાપ શોધો.
• `\angle BXE = 120^\circ`
• `\angle CXE = 85^\circ`
• `\angle AXB = 60^\circ`
• `\angle BXC = 120^\circ - 85^\circ = 35^\circ`
7. ∠PQR, ∠PQS અને ∠PQT ના અંશમાપ શોધો.
• `\angle PQR = 60^\circ`
• `\angle PQS = 100^\circ`
• `\angle PQT = 150^\circ`
9. આકૃતિ 2.21 (a) માં દર્શાવેલ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓ માપો, અને તેના માપને સંબંધિત ખૂણાઓ પાસે લખો. હવે, આ ત્રણેય માપનો સરવાળો કરો. તમને શું મળે છે? આ જ પ્રક્રિયા આકૃતિ 2.21 (b) અને (c) માં દર્શાવેલ ત્રિકોણ માટે કરો. અન્ય ત્રિકોણ (triangle) માટે પણ આ પ્રયાસ કરો, અને પછી સામાન્ય રીતે શું થાય છે તે માટે એક અનુમાન (અટકળ) (conjecture) કરો! આમ શા માટે બને છે તે આપણે પછીના ધોરણમાં શીખીશું.
કોણમાપક વડે ત્રિકોણ (a), (b) અને (c) ના ખૂણા માપીને સરવાળો કરતાં :
`\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ`
સામાન્ય અનુમાન (Conjecture) : કોઈપણ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશાં 180° થાય છે.
• ભૂલનું ધ્યાન રાખો, ભૂલ સુધારો! (Mind the Mistake, Mend the Mistake! - પાના નં. 44) :
• ખૂણા ક્યાં છે? (વિચારો અને શોધો - પાના નં. 45-46) :
ઘડિયાળના ડાયલમાં 12 કલાક વચ્ચે 360° નો ખૂણો હોય છે :
`1 \text{ કલાકનો ખૂણો} = \frac{360^\circ}{12}`
`= 30^\circ`
a. 1 વાગે : કાંટાઓ વચ્ચે 1 કલાકનો ગાળો હોવાથી ખૂણો = 30° થાય.
b. 2 વાગે : `2 \times 30^\circ =` 60°
4 વાગે : `4 \times 30^\circ =` 120°
6 વાગે : `6 \times 30^\circ =` 180° (સરળકોણ)
2. દરવાજાનો ખૂણો : દરવાજાની મિજાગરી એ શિરોબિંદુ છે. બંધ દરવાજાની સ્થિતિ પ્રારંભિક ભુજ અને ખૂલેલો દરવાજો અંતિમ ભુજ બને છે.
✦ વિભાગ 2.10 : ખૂણા દોરવા (રમતો / વિચારો અને શોધો) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 49-50)
1. આકૃતિ 2.23માં, શક્ય તેટલા બધા ખૂણાઓની યાદી બનાવો. શું તમે તે બધા શોધી શક્યા? હવે, બધા ખૂણાઓના માપનું અનુમાન કરો. ત્યારબાદ, કોણમાપક વડે ખૂણાઓ માપો. તમારા બધા અનુમાનોને એક કોષ્ટકમાં નોંધો. જુઓ કે, તમારાં અનુમાનો વાસ્તવિક માપની કેટલાં નજીક છે.
આકૃતિ 2.23 માં બનતા ખૂણાઓ : ∠APB, ∠BPC, ∠CPD, ∠APD, ∠APC વગેરે.
કોણમાપક વડે વાસ્તવિક માપણી કરી અંદાજ સાથે સરખામણી કરવી.
2. કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને નીચે આપેલા માપના ખૂણાઓ દોરો : A. 110°, B. 40°, C. 75°, D. 112°, E. 134°
• પાયાનું એક સીધું કિરણ દોરો.
• કોણમાપકનું કેન્દ્રબિંદુ કિરણના પ્રારંભિક બિંદુ પર અને 0° ની લાઈન કિરણ પર ગોઠવો.
• આપેલા માપ (40°, 75°, 110°, 112°, 134°) ના કાપા આગળ પેન્સિલથી ટપકું કરો.
• માપપટ્ટી વડે શિરોબિંદુ અને ટપકાંને જોડતું નવું કિરણ દોરો.
3. નીચે આપેલા ખૂણાના માપ જેટલો ખૂણો દોરો. તમે ખૂણો દોરવા માટે અનુસરેલાં પગલાં પણ લખો.
1. આપેલા ખૂણા ∠IHJ પર કોણમાપક મૂકી તેનું ચોક્કસ અંશમાપ માપો.
2. માપપટ્ટીથી એક નવું આધાર કિરણ દોરો.
3. નવા કિરણના શિરોબિંદુ પર કોણમાપક ગોઠવી તે જ માપ આગળ ટપકું અંકિત કરો.
4. શિરોબિંદુ અને ટપકાંને જોડી સમાન માપનો ખૂણો પૂર્ણ કરો.
✦ વિભાગ 2.11 : ખૂણાના પ્રકાર અને તેમના માપ ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 51-53)
1. નીચેની દરેક ગ્રીડમાં, Aને આકૃતિમાંના અન્ય ગ્રીડ બિંદુઓ સાથે એક સીધી રેખાથી જોડીને મેળવો : a. લઘુકોણ, b. ગુરુકોણ, c. વિપરીત કોણ
• a. લઘુકોણ : બિંદુ A સાથે 90° કરતાં નાનો ખુલાવ રહે તેવા બિંદુને જોડવું.
• b. ગુરુકોણ : બિંદુ A સાથે 90° કરતાં મોટો અને સીધી લાઈનથી નાનો ખૂણો બને તેમ જોડવું.
• c. વિપરીતકોણ : બહારની બાજુએ 180° કરતાં વધુ પરિભ્રમણ દર્શાવતો વક્ર કરવો.
2. કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને દરેક ખૂણાનું માપ શોધો. પછી દરેક ખૂણાને લઘુકોણ, ગુરુકોણ, કાટકોણ અથવા વિપરીતકોણ તરીકે વર્ગીકૃત કરો. a. ∠PTR, b. ∠PTQ, c. ∠PTW, d. વિપરીત ∠WTP
• a. ∠PTR : ગુરુકોણ (90° થી મોટો)
• b. ∠PTQ : લઘુકોણ (90° થી નાનો)
• c. ∠PTW : ગુરુકોણ
• d. વિપરીત ∠WTP : વિપરીતકોણ (180° થી મોટો)
ચાલો શોધીએ (પાના નં. 53)
• આ આકૃતિમાં, ∠TER = 80° છે. તો ∠BETનું માપ શું છે? ∠SETનું માપ શું છે?
`\angle BET = 180^\circ - \angle TER`
`= 180^\circ - 80^\circ`
`= 100^\circ`
તેવી જ રીતે ∠SET નું માપ શિરોલંબ કાટખૂણા (90°) ના સંદર્ભમાં :
`\angle SET = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ`
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 53-54)
1. નીચે આપેલા માપના ખૂણા દોરો : a. 140°, b. 82°, c. 195°, d. 70°, e. 35°
• a. 140° : ગુરુકોણ
• b. 82° : લઘુકોણ
• c. 195° : વિપરીતકોણ (180° ની સીધી લાઈનથી 15° નીચે)
• d. 70° : લઘુકોણ
• e. 35° : લઘુકોણ
3. ત્રણ લઘુકોણ, એક કાટકોણ અને બે ગુરુકોણ ધરાવતી કોઈ પણ આકૃતિ બનાવો.
એક 6 બાજુવાળો ષટ્કોણ દોરી શકાય જેમાં એક ખૂણો બરાબર 90° (કાટકોણ), ત્રણ ખૂણા 90° કરતાં નાના (લઘુકોણ) અને બે ખૂણા 90° કરતાં મોટા (ગુરુકોણ) રાખી શકાય.
4. અક્ષર 'M' એવી રીતે દોરો કે તેની બાજુઓના ખૂણા 40°ના હોય અને વચ્ચેનો ખૂણો 60°નો હોય.
કોણમાપક વડે બંને બાહ્ય શિરોબિંદુ આગળ 40° ના લઘુકોણ અને વચ્ચેના વી-આકારના શિરોબિંદુ આગળ 60° નો ખૂણો માપીને અક્ષર 'M' દોરવો.
5. અક્ષર “Y” એવી રીતે દોરો કે તેનાથી બનતા ત્રણ ખૂણા 150°, 60° અને 150° ના હોય.
કેન્દ્ર આગળ ત્રણ કિરણો દોરવાં, જેમાં ઉપરના બે ભુજ વચ્ચે 60° નો ખૂણો અને નીચેના ભુજ સાથે બંને બાજુ 150° અને 150° ના ખૂણા રહે (`150^\circ + 60^\circ + 150^\circ = 360^\circ`).
6. અશોક ચક્રમાં 24 આરા (spokes) છે. એકબીજાની પાસે આવેલા બે આરાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું અંશ માપ શું છે? બે આરાઓ વચ્ચે બનતો સૌથી મોટો લઘુકોણ કેટલો?
સંપૂર્ણ વર્તુળનું અંશમાપ = 360°
કુલ આરાની સંખ્યા = 24
`\text{બે ક્રમિક આરા વચ્ચેનો ખૂણો} = \frac{360^\circ}{24}`
`= 15^\circ`
લઘુકોણ એટલે 90° કરતાં નાનો ખૂણો :
15° ના ગુણકમાં 90° થી નાનો સૌથી મોટો ખૂણો :
`= 15^\circ \times 5`
`= 75^\circ`
(કારણ કે `15^\circ \times 6 = 90^\circ` કાટકોણ બની જાય).
આમ, સૌથી મોટો લઘુકોણ 75° છે.
7. કોયડો (Puzzle): હું એક લઘુકોણ છું. જો તમે મારા માપને બમણું (double) કરો છો, તો તમને એક લઘુકોણ મળે છે. જો તમે મારા માપને ત્રણ ગણું (triple) કરો છો, તો પણ તમને એક લઘુકોણ મળે છે. જો તમે મારા માપને ચાર ગણું (quadruple) કરો છો, તો પણ તમને ફરી એક લઘુકોણ મળે છે! પરંતુ, જો તમે મારા માપને 5 વડે ગુણો છો, તો તમને ગુરુકોણનું માપ મળે છે. મારા માપ માટે શું શક્યતાઓ છે?
ધારો કે ખૂણાનું માપ x છે.
શરત 1 : ચાર ગણું કરતાં લઘુકોણ મળે (< 90°) :
`4x < 90^\circ`
`x < \frac{90^\circ}{4}`
`x < 22.5^\circ`
શરત 2 : પાંચ ગણું કરતાં ગુરુકોણ મળે (> 90°) :
`5x > 90^\circ`
`x > \frac{90^\circ}{5}`
`x > 18^\circ`
આમ, ખૂણાનું માપ 18° થી મોટું અને 22.5° થી નાનું હોવું જોઈએ.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં શક્યતાઓ : 19°, 20°, 21° અથવા 22°.
Post a Comment