GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 1 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 1 "ગણિતમાં પૅટર્ન" (Std 6 Maths Prakash Chapter 1 Ganitma Pattern) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમના પાઠ્યપુસ્તક મુજબ વિભાગ 1.1 થી 1.6 માં આપેલા તમામ 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'પ્રયત્ન કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સંખ્યા શ્રેણીઓ, ચિત્રાત્મક રજૂઆત, ત્રિકોણીય અને ચોરસ સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધો તથા આકાર શ્રેણીઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.
- ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
- ✦ વિભાગ 1.1 : ગણિત શું છે ?
- ✦ વિભાગ 1.2 : સંખ્યાઓમાં પૅટર્ન (Patterns in Numbers)
- ✦ વિભાગ 1.3 : સંખ્યા શ્રેણીઓની ચિત્રાત્મક રજૂઆત
- ✦ વિભાગ 1.4 : સંખ્યા શ્રેણીઓ વચ્ચેના સંબંધો
- ✦ વિભાગ 1.5 : આકારોમાં પૅટર્ન (Patterns in Shapes)
- ✦ વિભાગ 1.6 : સંખ્યા શ્રેણીઓ સાથે સંબંધ
- ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 1. ganitma pattern imp notes) ✦
- ગણિત એટલે શું ? : ગણિત એ આપણી આસપાસ રહેલી પૅટર્નને ઓળખવામાં અને તે પૅટર્ન કેવી રીતે તથા શા માટે રચાઈ છે તેની સમજૂતી આપે છે.
- સંખ્યા સિદ્ધાંત (Number Theory) : ગણિતની જે શાખા પૂર્ણ સંખ્યાઓની પૅટર્નનો અભ્યાસ કરે છે, તેને સંખ્યા સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે.
- મૂળભૂત સંખ્યા શ્રેણીઓ :
• ગણતરીની સંખ્યાઓ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
• એકી (અયુગ્મ) સંખ્યાઓ : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
• બેકી (યુગ્મ) સંખ્યાઓ : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
• ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
• ચોરસ સંખ્યાઓ (વર્ગ સંખ્યાઓ) : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
• ઘન સંખ્યાઓ : 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
• વિરહંક સંખ્યાઓ : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (આગલા બે પદોનો સરવાળો)
• 2 ની ઘાત : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
• 3 ની ઘાત : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... - સંખ્યા શ્રેણીઓ વચ્ચેના સંબંધો :
• 1 થી શરૂ થતી પ્રથમ n એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશાં વર્ગ સંખ્યા n² આપે છે.
• ગણતરીની સંખ્યાઓને ઉપર અને નીચેના ક્રમમાં ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે છે (1 + 2 + 1 = 4 = 2²).
• બે ક્રમિક ત્રિકોણીય સંખ્યાઓનો સરવાળો ચોરસ સંખ્યા આપે છે (1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9).
• ત્રિકોણીય સંખ્યાઓને 6 વડે ગુણીને 1 ઉમેરતાં ષટ્કોણીય સંખ્યા મળે છે (6 × ત્રિકોણીય સંખ્યા + 1). - આકારોમાં પૅટર્ન (ભૂમિતિ) : ભૂમિતિ એ આકારોમાં રહેલી પૅટર્નનો અભ્યાસ કરે છે. નિયમિત બહુકોણ, સંપૂર્ણ આલેખ, એકબીજા પર ગોઠવેલા ચોરસ અને ત્રિકોણ તથા કોચ હિમકણ એ આકાર શ્રેણીઓનાં મુખ્ય ઉદાહરણો છે.
✦ વિભાગ 1.1 : ગણિત શું છે ? ✦
વિચારો અને શોધો
1. શું તમે એવાં અન્ય ઉદાહરણો વિશે વિચારી શકો કે, જ્યાં ગણિત આપણને આપણા રોજિંદા જીવનમાં મદદ કરે?
હા, રોજિંદા જીવનમાં ગણિત નીચે મુજબનાં કાર્યોમાં મદદ કરે છે :
• સમયનું નિયમન : શાળાએ પહોંચવાનો સમય, વાંચન અને ઊંઘનું આયોજન ઘડિયાળના સમયની ગણતરીથી થાય છે.
• બજારમાં ખરીદી : શાકભાજી કે કરિયાણું ખરીદતી વખતે વસ્તુના વજન અને કિંમતનો સરવાળો-બાદબાકી કરવા.
• રસોઈમાં પ્રમાણમાપ : રસોઈ બનાવતી વખતે પાણી, અનાજ અને મસાલાઓનું ચોક્કસ માપ નક્કી કરવા.
• બેંકિંગ વ્યવહારો : નાણાંની બચત, ખર્ચ અને વ્યાજની ગણતરી કરવા માટે.
2. ગણિતે માનવજાતિને આગળ વધવામાં કેવી રીતે મદદ કરી છે? (તમે આ સંબંધિત ઉદાહરણો વિચારી શકો છો. જેવાં કે; વૈજ્ઞાનિક પ્રયોગો કરવા; આપણી અર્થવ્યવસ્થા અને લોકશાહી ચલાવવી; પુલ, મકાનો અથવા અન્ય જટિલ માળખાંના બાંધકામ કરવાં; ટી.વી, મોબાઈલ ફોન, કમ્પ્યૂટર, સાઇકલ, ટ્રેન, કાર, વિમાન, કૅલેન્ડર, ઘડિયાળ વગેરે બનાવવાં.)
ગણિતે માનવજાતિની પ્રગતિમાં પાયાની ભૂમિકા ભજવી છે :
• ટેક્નોલૉજી અને ઇલેક્ટ્રોનિક્સ : કમ્પ્યૂટર અને મોબાઇલ ફોન દ્વિઅંકી (બાઇનરી) ગણિત અને અલ્ગોરિધમ પર કાર્ય કરે છે.
• એન્જિનિયરિંગ અને સ્થાપત્ય : મોટા પુલ, રસ્તા, રેલવે નેટવર્ક અને બહુમાળી ઇમારતોનું નિર્માણ ત્રિકોણમિતિ અને ક્ષેત્રફળના નિયમો આધારિત છે.
• અવકાશ સંશોધન : ઉપગ્રહો અને રોકેટને પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષામાં તરતા મૂકવા માટે ભ્રમણકક્ષા અને ઝડપની ચોક્કસ ગાણિતિક ગણતરી જરૂરી છે.
• અર્થતંત્ર અને આયોજન : દેશનું બજેટ, જીડીપી, આર્થિક વ્યવસ્થાઓ અને વસ્તી ગણતરીનું સંચાલન ગણિત અને આંકડાશાસ્ત્રથી થાય છે.
✦ વિભાગ 1.2 : સંખ્યાઓમાં પૅટર્ન (Patterns in Numbers) ✦
વિચારો અને શોધો
1. શું તમે કોષ્ટક 1ની દરેક શ્રેણીમાં પૅટર્ન ઓળખી શકો છો?
હા, કોષ્ટક 1 ની દરેક શ્રેણીમાં ચોક્કસ ગાણિતિક પૅટર્ન રહેલી છે :
• બધા જ 1 માં દરેક પદ 1 રહે છે.
• ગણતરીની સંખ્યાઓમાં ક્રમશઃ 1 નો ઉમેરો થાય છે.
• એકી સંખ્યાઓમાં ક્રમશઃ 2 નો ઉમેરો થાય છે.
• બેકી સંખ્યાઓમાં 2 થી શરૂ કરીને 2 નો ઉમેરો થાય છે.
• ત્રિકોણીય સંખ્યાઓમાં ક્રમિક રીતે +2, +3, +4, +5... ઉમેરાય છે.
• ચોરસ સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો વર્ગ (n²) છે.
• ઘન સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ઘન (n³) છે.
• વિરહંક સંખ્યાઓમાં આગળના બે પદોનો સરવાળો કરવાથી નવું પદ બને છે.
• 2 ની ઘાતમાં દરેક પદને 2 વડે ગુણવામાં આવે છે.
• 3 ની ઘાતમાં દરેક પદને 3 વડે ગુણવામાં આવે છે.
2. તમારી નોટબુકમાં કોષ્ટક 1ની દરેક શ્રેણીને, તે શ્રેણીમાં આવતી પછીની ત્રણ સંખ્યાઓની સાથે ફરીથી લખો. દરેક શ્રેણી પછી, તમારા પોતાના શબ્દોમાં લખો કે શ્રેણીમાં સંખ્યાઓ બનાવવા માટેનો નિયમ શું છે.
(1) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... (બધા જ 1)
નિયમ : દરેક પદ હંમેશાં 1 જ રહે છે.
(2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (ગણતરીની સંખ્યાઓ)
`7 + 1 = 8`
`8 + 1 = 9`
`9 + 1 = 10`
શ્રેણી : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
નિયમ : અગાઉની સંખ્યામાં 1 ઉમેરતાં પછીની સંખ્યા મળે છે.
(3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... [એકી (અયુગ્મ) સંખ્યાઓ]
`13 + 2 = 15`
`15 + 2 = 17`
`17 + 2 = 19`
શ્રેણી : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
નિયમ : 1 થી શરૂ કરીને દરેક સંખ્યામાં 2 ઉમેરતાં પછીની સંખ્યા મળે છે.
(4) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... [બેકી (યુગ્મ) સંખ્યાઓ]
`14 + 2 = 16`
`16 + 2 = 18`
`18 + 2 = 20`
શ્રેણી : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
નિયમ : 2 થી શરૂ કરીને દરેક સંખ્યામાં 2 ઉમેરતાં પછીની સંખ્યા મળે છે.
(5) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... (ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ)
`28 + 8 = 36`
`36 + 9 = 45`
`45 + 10 = 55`
શ્રેણી : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
નિયમ : n-મા પદ માટે પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો લેવામાં આવે છે.
(6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (ચોરસ સંખ્યાઓ)
`8^2 = 64`
`9^2 = 81`
`10^2 = 100`
શ્રેણી : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
નિયમ : પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે ગુણાકાર (વર્ગ n²) કરવાથી પદ મળે છે.
(7) 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (ઘન સંખ્યાઓ)
`7^3 = 343`
`8^3 = 512`
`9^3 = 729`
શ્રેણી : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729
નિયમ : પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ત્રણ વખત ગુણાકાર (ઘન n³) કરવાથી પદ મળે છે.
(8) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (વિરહંક સંખ્યાઓ)
`13 + 21 = 34`
`21 + 34 = 55`
`34 + 55 = 89`
શ્રેણી : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
નિયમ : અગાઉની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો કરવાથી પછીની સંખ્યા મળે છે.
(9) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... (2ની ઘાત)
`64 \times 2 = 128`
`128 \times 2 = 256`
`256 \times 2 = 512`
શ્રેણી : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
નિયમ : અગાઉની સંખ્યાને 2 વડે ગુણતાં પછીની સંખ્યા મળે છે (2ⁿ⁻¹).
(10) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... (3ની ઘાત)
`729 \times 3 = 2187`
`2187 \times 3 = 6561`
`6561 \times 3 = 19683`
શ્રેણી : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683
નિયમ : અગાઉની સંખ્યાને 3 વડે ગુણતાં પછીની સંખ્યા મળે છે (3ⁿ⁻¹).
✦ વિભાગ 1.3 : સંખ્યા શ્રેણીઓની ચિત્રાત્મક રજૂઆત ✦
વિચારો અને શોધો
1. તમારી નોટબુકમાં કોષ્ટક 2ની સંખ્યા શ્રેણીઓની ચિત્રાત્મક રજૂઆતોની નકલ કરો અને દરેક શ્રેણી માટે તે પછીનું ચિત્રો દોરો!
• બધા 1 : 1 ટપકું દર્શાવવું.
• ગણતરીની સંખ્યાઓ : 6 ટપકાં સીધી લાઈનમાં દર્શાવવા.
• એકી સંખ્યાઓ : 11 ટપકાં (L આકારમાં અથવા હરોળમાં) દર્શાવવા.
• બેકી સંખ્યાઓ : 12 ટપકાં (2 હરોળ × 6 સ્તંભ) લંબચોરસમાં દર્શાવવા.
• ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ : 21 ટપકાં ધરાવતો ત્રિકોણ (પાયામાં 6 ટપકાં, પછી 5, 4, 3, 2, 1) દોરવો.
• ચોરસ સંખ્યાઓ : 36 ટપકાં ધરાવતો ચોરસ (6 × 6 ગ્રીડ) દોરવો.
• ઘન સંખ્યાઓ : 216 સમઘન ધરાવતો મોટો સમઘન (6 × 6 × 6) દોરવો.
2. 1, 3, 6, 10, 15, … ને ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ શા માટે કહેવામાં આવે છે? 1, 4, 9, 16, 25, …… ને ચોરસ (વર્ગ) સંખ્યાઓ અથવા વર્ગો (squares) શા માટે કહેવામાં આવે છે? 1, 8, 27, 64, 125,… ને ઘન સંખ્યાઓ શા માટે કહેવામાં આવે છે?
• ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ : કારણ કે આ સંખ્યાઓ જેટલાં ટપકાંઓને સમાન અંતરે ગોઠવવાથી સમબાજુ ત્રિકોણ આકાર બને છે.
• ચોરસ સંખ્યાઓ : કારણ કે આ સંખ્યાઓ જેટલાં ટપકાંઓને સમાન હરોળ અને સ્તંભમાં ગોઠવવાથી સંપૂર્ણ ચોરસ આકાર (n × n) બને છે.
• ઘન સંખ્યાઓ : કારણ કે આ સંખ્યાઓ જેટલા નાના સમઘનોને ભેગા કરવાથી ત્રિ-પરિમાણીય મોટો સમઘન (n × n × n) બને છે.
3. તમે નોંધ્યું હશે કે 36 એ ત્રિકોણીય સંખ્યા અને વર્ગસંખ્યા (square numbers) બંને છે! એટલે કે, 36 ટપકાંને ત્રિકોણ (triangle) અને ચોરસ (square) બંનેમાં સંપૂર્ણ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તમારી નોટબુકમાં આને દર્શાવતાં ચિત્રો બનાવો! આ દર્શાવે છે કે, એક જ સંખ્યાને જુદી જુદી રીતે રજૂ કરી શકાય છે, અને સંદર્ભના આધારે તે જુદી જુદી ભૂમિકાઓ ભજવી શકે છે. કેટલીક અન્ય સંખ્યાઓને જુદી જુદી ચિત્રાત્મક રીતે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરો!
• ચોરસ સંખ્યા તરીકે :
`36 = 6 \times 6`
(6 હરોળ અને 6 સ્તંભમાં 36 ટપકાં ચોરસ બનાવે છે)
• ત્રિકોણીય સંખ્યા તરીકે :
`36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8`
(પ્રથમ 8 સંખ્યાઓના સરવાળા સ્વરૂપે 8 પાયાવાળો ત્રિકોણ બને છે)
અન્ય સંખ્યાઓ :
• 1225 એ ત્રિકોણીય અને ચોરસ સંખ્યા બંને છે (`35^2 = 1225`).
4. નીચે આપેલી સંખ્યા શ્રેણીને તમે શું કહેશો? 1, 7, 19, 37 ... તે સાચું છે, તેમને ષટ્કોણીય સંખ્યાઓ (hexagonal numbers) કહેવામાં આવે છે! આને તમારી નોટબુકમાં દોરો. શ્રેણીમાં તે પછીની સંખ્યા કઈ છે?
ક્રમિક તફાવત તપાસતાં :
`7 - 1 = 6`
`19 - 7 = 12`
`37 - 19 = 18`
તફાવત 6 ના ગુણકમાં (6, 12, 18, 24...) વધે છે :
આગળનો તફાવત 24 થશે :
`\text{પછીની સંખ્યા} = 37 + 24`
`= 61`
આમ, પછીની સંખ્યા 61 છે.
5. શું તમે 2ની ઘાત (power of 2), 3ની ઘાત (power of 3)ની શ્રેણીને ચિત્રાત્મક રજૂઆત કરવા માટે ચિત્રાત્મક રીતો વિશે વિચારી શકો છો?
• 2 ની ઘાત : એક રેખાખંડ કે બિંદુમાંથી 2 શાખાઓ ફૂટતી હોય તેવો દ્વિ-શાખી વૃક્ષ આલેખ (Tree Diagram) દોરી શકાય (1 ⟶ 2 ⟶ 4 ⟶ 8 ⟶ 16).
• 3 ની ઘાત : એક બિંદુમાંથી 3 શાખાઓ નીકળતી હોય તેવો ત્રિ-શાખી વૃક્ષ આલેખ અથવા ત્રિકોણના 3 ભાગ પાડીને ચિત્રાત્મક રજૂઆત કરી શકાય (1 ⟶ 3 ⟶ 9 ⟶ 27).
✦ વિભાગ 1.4 : સંખ્યા શ્રેણીઓ વચ્ચેના સંબંધો ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 7)
• આવાં જ ચિત્ર દોરીને, તમે કહી શકો છો કે પ્રથમ 10 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શું છે? હવે આવા જ ચિત્રની કલ્પના કરીને, અથવા જરૂરિયાત મુજબ તેને આંશિક રીતે દોરીને, તમે કહી શકો છો કે પ્રથમ 100 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શું છે?
• પ્રથમ 10 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો :
`= 10^2`
`= 100`
• પ્રથમ 100 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો :
`= 100^2`
`= 10000`
વિચારો અને શોધો / પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 8-9)
1. ગણતરીની સંખ્યાઓને 1, 1+2+1, 1+2+3+2+1,..., પ્રમાણે ઉમેરતાં (ઉપરના અને પછી નીચેના ક્રમમાં ઉમેરવાથી) વર્ગ સંખ્યાઓ મળે છે, તેના માટે શું તમે સમાન ચિત્રાત્મક સમજૂતી શોધી શકો છો?
ચોરસ ગ્રીડ (n × n) માં વિકર્ણ સ્વરૂપે ટપકાં ગણતાં આ સમજૂતી મળે છે :
ઉદાહરણ તરીકે 3 × 3 ની ચોરસ ગ્રીડમાં :
પ્રથમ વિકર્ણ = 1 ટપકું
બીજો વિકર્ણ = 2 ટપકાં
મુખ્ય વિકર્ણ = 3 ટપકાં
ચોથો વિકર્ણ = 2 ટપકાં
પાંચમો વિકર્ણ = 1 ટપકું
સરવાળો :
`= 1 + 2 + 3 + 2 + 1`
`= 9`
`= 3^2`
આમ, વિકર્ણોના સરવાળાથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (વર્ગ) રચાય છે.
2. તમારા ચિત્રના મોટા સ્વરૂપની કલ્પના કરીને, અથવા જરૂરિયાત મુજબ તેને આંશિક રીતે દોરીને, તમે કહી શકો છો કે 1+2+3+...+99+100+99+...+3+2+1 નું મૂલ્ય શું હશે?
આ પૅટર્નમાં સૌથી મોટી મધ્યમ સંખ્યા 100 છે.
નિયમ મુજબ સરવાળો = (મધ્યમ સંખ્યા)²
`= 100^2`
`= 10000`
3. જ્યારે તમે બધા 1ની શ્રેણીમાં ઉપરના ક્રમમાં ઉમેરવાનું શરૂ કરો છો ત્યારે તમને કઈ શ્રેણી મળે છે? જ્યારે તમે બધા 1ની શ્રેણીને ઉપરના અને પછી નીચેના ક્રમમાં ઉમેરો છો ત્યારે તમને કઈ શ્રેણી મળે છે?
• ઉપરના ક્રમમાં ઉમેરતાં :
1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 + 1 = 4
⟶ ગણતરીની સંખ્યાઓ (1, 2, 3, 4, 5...) મળે છે.
• ઉપર અને પછી નીચેના ક્રમમાં ઉમેરતાં :
1 = 1
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
⟶ એકી સંખ્યાઓ (1, 3, 5, 7, 9...) મળે છે.
4. જ્યારે તમે ગણતરીની સંખ્યાઓને ઉમેરવાનું શરૂ કરો છો ત્યારે તમને કઈ શ્રેણી મળે છે? શું તમે તેની એક નાની ચિત્રાત્મક સમજૂતી આપી શકો છો?
`1 = 1`
`1 + 2 = 3`
`1 + 2 + 3 = 6`
`1 + 2 + 3 + 4 = 10`
`1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15`
⟶ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી (1, 3, 6, 10, 15...) મળે છે.
ચિત્રાત્મક રીતે, દરેક નવી હરોળમાં 1-1 ટપકું વધારતાં ત્રિકોણ આકાર વિસ્તરે છે.
5. જ્યારે તમે બે ક્રમિક ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ (triangular numbers)ની જોડ ઉમેરો છો ત્યારે શું થાય છે? એટલે કે, 1+3, 3+6, 6+10, 10+15, ... લો. તમને કઈ શ્રેણી (sequence) મળે છે? શા માટે? શું તમે તેને ચિત્ર સાથે સમજાવી શકો છો?
`1 + 3 = 4 = 2^2`
`3 + 6 = 9 = 3^2`
`6 + 10 = 16 = 4^2`
`10 + 15 = 25 = 5^2`
⟶ ચોરસ સંખ્યાઓની શ્રેણી (4, 9, 16, 25...) મળે છે.
સમજૂતી : બે કાટકોણ ત્રિકોણાકાર ટપકાંઓની ગોઠવણીને સામસામે જોડતાં એક સંપૂર્ણ ચોરસ આકાર બને છે.
6. જ્યારે તમે 1થી શરૂ કરીને 2ની ઘાતવાળી સંખ્યા ઉમેરવાનું શરૂ કરો છો, એટલે કે, 1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, ... લો ત્યારે શું થાય છે? હવે આ દરેક સંખ્યાઓમાં 1 ઉમેરો, તમને કઈ સંખ્યા મળે છે? આવું કેમ થાય છે?
સરવાળો કરતાં :
`1 = 1`
`1 + 2 = 3`
`1 + 2 + 4 = 7`
`1 + 2 + 4 + 8 = 15`
`1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31`
હવે દરેક સંખ્યામાં 1 ઉમેરતાં :
`1 + 1 = 2 = 2^1`
`3 + 1 = 4 = 2^2`
`7 + 1 = 8 = 2^3`
`15 + 1 = 16 = 2^4`
`31 + 1 = 32 = 2^5`
⟶ 2 ની ઘાતવાળી સંખ્યાઓ મળે છે.
કારણ : બાઇનરી સરવાળાના નિયમ મુજબ પ્રથમ n પદોનો સરવાળો 2ⁿ - 1 થાય છે, તેથી તેમાં 1 ઉમેરતાં સીધી 2ⁿ મળે છે.
7. જ્યારે તમે ત્રિકોણીય સંખ્યાઓને 6 વડે ગુણાકાર કરીને 1 ઉમેરો છો ત્યારે શું થાય છે? તમને કઈ શ્રેણી મળે છે? શું તમે તેને ચિત્ર સાથે સમજાવી શકો છો?
ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ : 1, 3, 6, 10, ...
`6 \times 1 + 1 = 7`
`6 \times 3 + 1 = 19`
`6 \times 6 + 1 = 37`
`6 \times 10 + 1 = 61`
⟶ ષટ્કોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી (7, 19, 37, 61...) મળે છે.
સમજૂતી : મધ્યમાં 1 કેન્દ્રબિંદુ રાખી તેની ફરતે 6 સમાન ત્રિકોણો ગોઠવવાથી નિયમિત ષટ્કોણ આકાર બને છે.
8. જ્યારે તમે ષટ્કોણીય સંખ્યાઓ ઉમેરવાનું શરૂ કરો છો, એટલે કે, 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37, .… લઈએ ત્યારે શું થાય છે? તમને કઈ શ્રેણી મળે છે? શું તમે તેને સમઘનના ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકો છો?
સરવાળો કરતાં :
`1 = 1 = 1^3`
`1 + 7 = 8 = 2^3`
`1 + 7 + 19 = 27 = 3^3`
`1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4^3`
`1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 = 5^3`
⟶ ઘન સંખ્યાઓની શ્રેણી (1, 8, 27, 64, 125...) મળે છે.
સમજૂતી : સમઘનને ખૂણા પરથી જોતાં તેનું સ્તર ષટ્કોણ જેવું દેખાય છે, અને દરેક સ્તરનો ઉમેરો કરવાથી ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન n³ બને છે.
9. કોષ્ટક 1માં આપેલ શ્રેણીઓ માટે તમારી પોતાની પૅટર્ન અથવા સંબંધો શોધો. તમે ચિત્ર અથવા અન્ય માધ્યમ દ્વારા તે શા માટે બને છે તે સમજાવી શકો છો?
પૅટર્ન : બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો લંબચોરસ સંખ્યાઓ આપે છે :
`2 = 2 = 1 \times 2`
`2 + 4 = 6 = 2 \times 3`
`2 + 4 + 6 = 12 = 3 \times 4`
`2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 \times 5`
પ્રથમ n બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશાં n(n + 1) થાય છે, જે લંબચોરસ ગ્રીડ દર્શાવે છે.
✦ વિભાગ 1.5 : આકારોમાં પૅટર્ન (Patterns in Shapes) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 11)
1. શું તમે કોષ્ટક 3ની દરેક શ્રેણીમાં પૅટર્ન ઓળખી શકો છો?
હા, કોષ્ટક 3 માં આપેલી આકાર શ્રેણીઓમાં નીચે મુજબ પૅટર્ન છે :
• નિયમિત બહુકોણ : દરેક આકારમાં બાજુઓની સંખ્યા 1-1 વધે છે.
• સંપૂર્ણ આલેખ : દરેક પગલે 1 શિરોબિંદુ વધે છે અને તે બાકીના બધા સાથે જોડાય છે.
• એકબીજા પર ગોઠવેલા ચોરસ : પાયામાં દર વખતે 1 ચોરસ વધે છે.
• એકબીજા પર ગોઠવેલા ત્રિકોણ : નીચેની હરોળમાં ક્રમિક એકી સંખ્યામાં ત્રિકોણ ઉમેરાય છે.
• કોચ હિમકણ : દરેક સીધા રેખાખંડની વચ્ચે ત્રિકોણાકાર સ્પીડ બમ્પ બને છે.
2. તમારી નોટબુકમાં કોષ્ટક 3ની દરેક શ્રેણીને ફરીથી દોરવાનો પ્રયાસ કરો. શું તમે દરેક શ્રેણીમાં પછીનો આકાર દોરી શકો છો? શા માટે અથવા શા માટે નહીં? દરેક શ્રેણી પછી, તમારા પોતાના શબ્દોમાં વર્ણવો કે શ્રેણીમાં આકારો બનાવવા માટેનો નિયમ અથવા પૅટર્ન શું છે.
હા, ચોક્કસ નિયમ જાણીને પછીનો આકાર દોરી શકાય છે :
1. નિયમિત બહુકોણ : દશકોણ પછી 11 સમાન બાજુઓ ધરાવતો એકાદશકોણ આવે (નિયમ: બાજુઓની સંખ્યા n + 1).
2. સંપૂર્ણ આલેખ : K₆ પછી 7 બિંદુઓવાળો K₇ આવે (નિયમ: દરેક નવું બિંદુ બાકીના n બિંદુઓ સાથે રેખાખંડથી જોડાય).
3. એકબીજા પર ગોઠવેલા ચોરસ : પાયામાં 6 ચોરસવાળો પિરામિડ આવે (નિયમ: પાયામાં 1 ચોરસ ઉમેરવો).
4. એકબીજા પર ગોઠવેલા ત્રિકોણ : પાયામાં 11 નાના ત્રિકોણવાળી હરોળ આવે (નિયમ: હરોળમાં 1, 3, 5, 7, 9, 11 મુજબ એકી સંખ્યામાં ઉમેરો).
5. કોચ હિમકણ : દરેક રેખાખંડના ત્રીજા ભાગ પર ત્રિકોણ રચીને વધુ બારીક હિમકણ બને (નિયમ: દરેક રેખાખંડ 4 નાના રેખાખંડોમાં રૂપાંતરિત થાય).
✦ વિભાગ 1.6 : સંખ્યા શ્રેણીઓ સાથે સંબંધ ✦
વિચારો અને શોધો / પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 11-12)
1. નિયમિત બહુકોણની શ્રેણીમાં દરેક આકારમાં બાજુઓની સંખ્યા ગણો. તમને કઈ સંખ્યા શ્રેણી મળે છે? નિયમિત બહુકોણની શ્રેણીમાં દરેક આકારમાં ખૂણાઓની સંખ્યા વિશે શું કહી શકાય? તમને સમાન સંખ્યા શ્રેણી મળે છે? શું તમે સમજાવી શકો છો કે આવું કેમ થાય છે?
• બાજુઓની સંખ્યા : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...
• ખૂણાઓની સંખ્યા : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...
⟶ 3 થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓની શ્રેણી મળે છે.
સમજૂતી : હા, સમાન સંખ્યા શ્રેણી મળે છે. કારણ કે કોઈપણ બંધ બહુકોણમાં જેટલા રેખાખંડો (બાજુઓ) પરસ્પર જોડાય છે, તેટલાં જ શિરોબિંદુઓ અને તેટલા જ ખૂણાઓ રચાય છે.
2. સંપૂર્ણ આલેખની શ્રેણીમાં દરેક આકારમાં લીટીઓની સંખ્યા ગણો. તમને કઈ સંખ્યા શ્રેણી મળે છે? શું તમે સમજાવી શકો છો કે આવું કેમ થાય છે?
લીટીઓની ગણતરી :
• K₂ માં લીટીઓ = 1
• K₃ માં લીટીઓ = 3
• K₄ માં લીટીઓ = 6
• K₅ માં લીટીઓ = 10
• K₆ માં લીટીઓ = 15
⟶ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી (1, 3, 6, 10, 15...) મળે છે.
સમજૂતી : n શિરોબિંદુઓ ધરાવતા આલેખમાં જોડાતી લીટીઓનું સૂત્ર n(n - 1) / 2 છે, જે બરાબર ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ દર્શાવે છે.
3. એકબીજા પર ગોઠવેલા ચોરસની શ્રેણીના દરેક આકારમાં કેટલા નાના ચોરસ છે? આનાથી કઈ સંખ્યા શ્રેણી મળે છે? શું તમે સમજાવી શકો છો કે આવું કેમ થાય છે?
નાના ચોરસની ગણતરી :
• આકાર 1 : 1
• આકાર 2 : 1 + 2 = 3
• આકાર 3 : 1 + 2 + 3 = 6
• આકાર 4 : 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• આકાર 5 : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
⟶ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી (1, 3, 6, 10, 15...) મળે છે.
સમજૂતી : કારણ કે ઉપરથી નીચે જતાં દરેક નવી હરોળમાં 1, પછી 2, પછી 3 ચોરસ ઉમેરાય છે, જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો બનાવે છે.
4. એકબીજા પર ગોઠવેલા ત્રિકોણની શ્રેણીના દરેક આકારમાં કેટલા નાના ત્રિકોણ છે? આનાથી કઈ સંખ્યા શ્રેણી મળે છે? શું તમે સમજાવી શકો છો કે આવું કેમ થાય છે? (સૂચનઃ શ્રેણીના દરેક આકારમાં, દરેક હરોળમાં કેટલા ત્રિકોણ છે?)
દરેક હરોળમાં નાના ત્રિકોણ 1, 3, 5, 7 ક્રમમાં હોય છે :
• 1 હરોળ : 1 = 1²
• 2 હરોળ : 1 + 3 = 4 = 2²
• 3 હરોળ : 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
• 4 હરોળ : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
• 5 હરોળ : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
⟶ ચોરસ સંખ્યાઓની શ્રેણી (1, 4, 9, 16, 25...) મળે છે.
સમજૂતી : ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા આપે છે.
5. કોચ હિમકણ (સ્નોફ્લેક)ની શ્રેણીમાં એક આકારમાંથી બીજા આકારમાં જવા માટે, દરેક રેખાખંડ ‘–” ને “ગતિ અવરોધક” (સ્પીડ બમ્પ) વડે બદલવામાં આવે છે. જેમ જેમ આ વધુ ને વધુ વખત કરવામાં આવે છે, તેમ તેમ ખૂબ જ નાના રેખાખંડો સાથેના ફેરફારો નાના ને નાના થતા જાય છે. કોચ હિમકણના દરેક આકારમાં કુલ કેટલા રેખાખંડ (line segment) છે? અનુરૂપ સંખ્યા શ્રેણી કઈ છે? (જવાબ 3, 12, 48, ... છે, એટલે કે, 4ની ઘાતના 3 ગણા; આ શ્રેણી કોષ્ટક 1માં દર્શાવેલ નથી.)
• શરૂઆતનો સમબાજુ ત્રિકોણ : 3 રેખાખંડ
• પ્રથમ પગલું : દરેક રેખાખંડમાંથી 4 રેખાખંડ બને છે :
`= 3 \times 4`
`= 12`
• બીજું પગલું :
`= 12 \times 4`
`= 48`
• ત્રીજું પગલું :
`= 48 \times 4`
`= 192`
⟶ અનુરૂપ સંખ્યા શ્રેણી : 3, 12, 48, 192, ... (સૂત્ર: 3 × 4ⁿ⁻¹).
Post a Comment