GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 3 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 3 "સંખ્યાની રમત" (Std 6 Maths Prakash Chapter 3 Sankhyani Ramat) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 3.1 થી 3.12 માં આપેલા 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'પ્રયત્ન કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. વિશિષ્ટ ખાના (Super Cells), સંખ્યારેખા પર સંખ્યાઓની ગોઠવણી, અંકોના સરવાળા, પેલિન્ડ્રોમિક સંખ્યાઓ, કાપરેકર અચળાંક 6174, કોલાત્ઝનું અનુમાન તથા રમતો અને વ્યૂહરચનાઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.
- ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
- ✦ વિભાગ 3.1 : સંખ્યાઓ આપણને ઘણી બધી વાતો કહી શકે છે
- ✦ વિભાગ 3.2 : વિશિષ્ટ ખાના (Super Cells)
- ✦ વિભાગ 3.3 : સંખ્યારેખા પર સંખ્યાઓની પેટર્ન
- ✦ વિભાગ 3.4 : અંકોની રમત (Playing with Digits)
- ✦ વિભાગ 3.5 : આકર્ષક પેલિન્ડ્રોમિક પેટર્ન
- ✦ વિભાગ 3.6 : કાપરેકરની જાદુઈ સંખ્યા
- ✦ વિભાગ 3.7 : ઘડિયાળ અને કેલેન્ડરની સંખ્યાઓ
- ✦ વિભાગ 3.8 : મૌખિક ગણિત (Mental Math)
- ✦ વિભાગ 3.9 : સંખ્યાઓની પેટર્ન સાથે રમત
- ✦ વિભાગ 3.10 : એક વણઉકેલાયેલું રહસ્ય-કોલાત્ઝનું અનુમાન!
- ✦ વિભાગ 3.11 : સરળ અંદાજ (Simple Estimation)
- ✦ વિભાગ 3.12 : રમતો અને જીતવાની વ્યૂહરચના
- ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 3. sankhyani ramat imp notes) ✦
- સંખ્યાઓની ભૂમિકા : સંખ્યાઓ માત્ર ગણતરી પૂરતી મર્યાદિત નથી, પરંતુ તે ચોક્કસ માહિતી, સરખામણી, ક્રમ અને વિશિષ્ટ પરિસ્થિતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
- વિશિષ્ટ ખાનું (Super Cell) : જે ખાનામાં રહેલી સંખ્યા તેના પડોશી (ડાબી, જમણી, ઉપર કે નીચેના) તમામ ખાનાઓની સંખ્યા કરતાં મોટી હોય, તેને વિશિષ્ટ ખાનું કહેવાય છે.
- પેલિન્ડ્રોમિક સંખ્યાઓ (Palindromes) : જે સંખ્યાઓને ડાબેથી જમણે કે જમણેથી ડાબે વાંચતાં સમાન જ રહે તેને પેલિન્ડ્રોમ કહે છે (દા.ત., 121, 575, 12421). કોઈપણ 2-અંકની સંખ્યાને તેની ઊલટી સંખ્યામાં વારંવાર ઉમેરવાથી અંતે પેલિન્ડ્રોમ પ્રાપ્ત થાય છે.
- કાપરેકર અચળાંક (Kaprekar Constant - 6174) : ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી ડી. આર. કાપરેકરે શોધેલી વિશિષ્ટ ઘટના મુજબ, 4-અંકની કોઈપણ સંખ્યા (જેમાં બધા અંકો સમાન ન હોય) ના અંકોથી બનતી સૌથી મોટી સંખ્યામાંથી સૌથી નાની સંખ્યા બાદ કરવાની ક્રિયા પુનરાવર્તિત કરતાં હંમેશાં 6174 મળે છે. 3-અંકની સંખ્યાઓ માટે આ જાદુઈ સંખ્યા 495 છે.
- કોલાત્ઝનું અનુમાન (Collatz Conjecture) : કોઈપણ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, જો તે બેકી હોય તો અડધી કરવી અને એકી હોય તો 3 વડે ગુણી 1 ઉમેરવું. આ પ્રક્રિયા સતત કરવાથી દરેક સંખ્યા છેવટે 1 પર પહોંચે છે.
- સરળ અંદાજ (Estimation) : વ્યવહારિક જીવનમાં ચોક્કસ ગણતરી ઉપલબ્ધ ન હોય ત્યારે ઝડપી નિર્ણયો લેવા માટે અંદાજ ઉપયોગી બને છે.
✦ વિભાગ 3.1 : સંખ્યાઓ આપણને ઘણી બધી વાતો કહી શકે છે. ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 55-57)
જેમાં સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થાય છે તેવી પાંચ અલગ અલગ પરિસ્થિતિઓની યાદી બનાવો. તમારા સહપાઠીઓએ કઈ યાદી તૈયાર કરી છે તે જુઓ, તેની આપ-લે કરો અને ચર્ચા કરો.
રોજિંદા જીવનમાં સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થતી પાંચ પરિસ્થિતિઓ :
1. વસ્તુઓ ખરીદતી વખતે તેના ભાવ અને બિલની ચૂકવણીમાં.
2. ઘડિયાળમાં સમય જોવા અને બસ કે ટ્રેનનું સમયપત્રક નક્કી કરવામાં.
3. ઘરનો સરનામા નંબર, પિનકોડ અને ટેલિફોન નંબર દર્શાવવામાં.
4. રમત-ગમતમાં ખેલાડીઓના રન, પોઈન્ટ્સ અને સ્કોર નોંધવામાં.
5. ડૉક્ટર દ્વારા શરીરનું તાપમાન, ઊંચાઈ અને વજન માપવામાં.
1. શું બાળકો પોતાને એવી રીતે ગોઠવી શકે કે છેડે ઊભેલાં બાળકો ‘2’ બોલી શકે?
કારણ : છેડે ઊભેલા બાળકની બાજુમાં માત્ર એક જ પડોશી બાળક હોય છે. તેથી તેનાથી ઊંચા પડોશીઓની સંખ્યા વધુમાં વધુ 1 જ હોઈ શકે, ક્યારેય 2 હોઈ શકે નહીં.
2. શું આપણે બાળકોને એક હરોળમાં એવી રીતે ગોઠવી શકીએ છીએ કે દરેક બાળક ફક્ત ‘0' બોલે?
કારણ : જો તમામ બાળકોની ઊંચાઈ અલગ-અલગ હોય, તો સૌથી નીચા બાળકની બાજુમાં ઓછામાં ઓછું એક ઊંચું બાળક ઊભું જ હશે, જેથી તે 0 બોલી શકશે નહીં. પરંતુ જો બધા જ બાળકોની ઊંચાઈ બરાબર એકસમાન હોય, તો દરેક બાળક '0' બોલી શકે.
3. શું બે બાળકો એકબીજાની બાજુમાં ઊભાં રહીને સમાન સંખ્યા બોલી શકે?
ઉદાહરણ તરીકે, બે બાળકો પાસપાસે ઊભાં રહીને બંને '1' બોલી શકે છે.
4. પાંચ બાળકોના એક સમૂહમાં, બધાની ઊંચાઈ ભિન્ન છે. શું તેઓ એવી રીતે ઊભાં રહી શકે કે તેમાંથી ચાર બાળકો ‘1' બોલે અને છેલ્લો ‘0’ બોલે? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?
કારણ : જો પાંચ બાળકોને તેમની ઊંચાઈના ચડતા ક્રમમાં (સૌથી નીચાથી સૌથી ઊંચા) એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે, તો પ્રથમ 4 બાળકોમાંથી દરેક બાળકની બાજુમાં એક ઊંચું બાળક હોવાથી તેઓ '1' બોલશે, અને છેલ્લું સૌથી ઊંચું બાળક કોઈ પડોશી તેનાથી ઊંચો ન હોવાથી '0' બોલશે.
5. શું આ 5 બાળકોના સમૂહ માટે 1, 1, 1, 1, 1 ક્રમ શક્ય છે?
કારણ : પાંચ અલગ-અલગ ઊંચાઈવાળા બાળકોમાં જે બાળક સૌથી ઊંચું હશે, તેની આસપાસ તેના કરતાં કોઈ ઊંચું બાળક હોઈ શકે નહીં. આથી સૌથી ઊંચું બાળક હંમેશાં '0' જ બોલશે. તેથી બધા બાળકો '1' બોલે તે અશક્ય છે.
6. ક્રમ 0, 1, 2, 1, 0 શક્ય છે? શા માટે અથવા શા માટે નહિ?
કારણ : જો બાળકોની ઊંચાઈને 1 (સૌથી નીચું) થી 5 (સૌથી ઊંચું) ગણીએ અને તેમને 5, 2, 1, 3, 4 ક્રમમાં ગોઠવીએ, તો છેડાનાં બે સૌથી ઊંચાં બાળકો '0' બોલશે, વચ્ચેનું સૌથી નીચું બાળક બંને પડોશીઓ કરતાં નીચું હોવાથી '2' બોલશે અને બાકીનાં બંને બાળકો '1' બોલશે.
7. તમે પાંચ બાળકોને કેવી રીતે પુનઃગોઠવશો જેથી મહત્તમ બાળકો સંખ્યા ‘2' બોલે?
છેડાના 2 બાળકો ક્યારેય '2' બોલી શકતા નથી, તેથી માત્ર વચ્ચેના 3 બાળકોમાંથી જ '2' બોલી શકાય. બે પાસપાસેના બાળકો એકસાથે '2' બોલી શકે નહીં.
આથી, મહત્તમ 2 બાળકો '2' બોલી શકે.
ગોઠવણી : ઊંચું, નીચું, ઊંચું, નીચું, ઊંચું (દા.ત., ઊંચાઈ ક્રમ: 5, 1, 4, 2, 3). અહીં બીજા અને ચોથા સ્થાને રહેલાં બાળકો '2' બોલશે.
✦ વિભાગ 3.2 : વિશિષ્ટ ખાના (Super Cells) ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 57-58)
1. નીચેના કોષ્ટકમાં વિશિષ્ટ ખાનામાં રંગ પૂરો અથવા ચિહ્નિત કરો. [6828, 670, 9435, 3780, 3708, 7308, 8000, 5583, 52]
• 6828 : જમણી બાજુના પડોશી 670 કરતાં મોટી છે ⟶ વિશિષ્ટ ખાનું
• 9435 : ડાબી બાજુ 670 અને જમણી બાજુ 3780 બંને કરતાં મોટી છે ⟶ વિશિષ્ટ ખાનું
• 8000 : ડાબી બાજુ 7308 અને જમણી બાજુ 5583 બંને કરતાં મોટી છે ⟶ વિશિષ્ટ ખાનું
જવાબ : 6828, 9435 અને 8000 એ વિશિષ્ટ ખાના છે.
2. નીચેના કોષ્ટકને ફક્ત 4-અંક (4 digit)ની સંખ્યાઓથી ભરો, જેથી ફક્ત વિશિષ્ટ ખાનાં જ રંગીન હોય. [5346, ખાલી, 1258, ખાલી, 9635]
5346, 1258 અને 9635 વાળા ખાના વિશિષ્ટ રહે તે માટે વચ્ચેના ખાનાઓમાં નાની સંખ્યાઓ મૂકવી પડે :
ખાલી ખાનાઓમાં અનુક્રમે 1000 અને 1100 મૂકી શકાય :
ગોઠવણી : [5346, 1000, 1258, 1100, 9635]
3. નીચેના કોષ્ટકને એવી રીતે ભરો કે આપણને શક્ય તેટલાં વધુ વિશિષ્ટ ખાનાં મળે. પુનરાવર્તન વગર 100થી 1000 વચ્ચેની સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરો.
મહત્તમ વિશિષ્ટ ખાનાં મેળવવા માટે મોટી અને નાની સંખ્યાઓ એકાંતરે (એક પછી એક) ગોઠવવી પડે.
દાખલા તરીકે 9 ખાનામાં :
[900, 100, 850, 150, 800, 200, 750, 250, 700]
4. ઉપરના કોષ્ટકમાંની 9 સંખ્યાઓમાંથી કેટલાં વિશિષ્ટ ખાનાં છે ?
5. વિવિધ સંખ્યાના ખાના માટે કેટલાં વિશિષ્ટ ખાનાં (supercells) શક્ય છે તે શોધો.
જો એક હરોળમાં n ખાના હોય, તો મહત્તમ વિશિષ્ટ ખાનાની સંખ્યા :
• જો n એકી હોય : `\frac{n + 1}{2}`
• જો n બેકી હોય : `\frac{n}{2}`
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 57-58)
• શું તમે કોઈ પૅટર્નની નોંધ લીધી? મહત્તમ સંખ્યામાં વિશિષ્ટ ખાનાં મેળવવા માટે આપેલ કોષ્ટક ભરવાની પદ્ધતિ શું છે ? તમારી વ્યૂહરચના શોધો અને તેની ચર્ચા કરો.
6. શું તમે કોષ્ટકને સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર ભરી શકો છો, કે જેથી તેમાં કોઈ પણ વિશિષ્ટ ખાનાં ન હોય? શા માટે અથવા શા માટે નહિ?
કારણ : કોષ્ટકમાં રહેલી સૌથી મોટી સંખ્યા તેના પડોશીઓ કરતાં મોટી જ રહેવાની છે, તેથી ઓછામાં ઓછું 1 વિશિષ્ટ ખાનું તો હંમેશાં અસ્તિત્વ ધરાવશે જ.
7. શું કોષ્ટકમાં સૌથી મોટી સંખ્યા ધરાવતું ખાનું હંમેશાં વિશિષ્ટ ખાનું હશે? શું કોષ્ટકમાં સૌથી નાની સંખ્યા ધરાવતું ખાનું વિશિષ્ટ ખાનું હોઈ શકે? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?
• સૌથી નાની સંખ્યા ધરાવતું ખાનું ક્યારેય વિશિષ્ટ ખાનું ન હોઈ શકે, કારણ કે તેની બાજુમાં રહેલા પડોશીઓ તેના કરતાં મોટા જ હશે.
8. કોષ્ટકને એવી રીતે ભરો કે બીજી સૌથી મોટી સંખ્યા ધરાવતું ખાનું વિશિષ્ટ ખાનું ન હોય.
બીજી સૌથી મોટી સંખ્યાને સૌથી મોટી સંખ્યાની બરાબર બાજુમાં મૂકી દો. જેમ કે : [100, 800, 900]. અહીં 800 એ 900 ની બાજુમાં હોવાથી વિશિષ્ટ ખાનું બનશે નહીં.
9. કોષ્ટકને એવી રીતે ભરો કે બીજી સૌથી મોટી સંખ્યા ધરાવતું ખાનું વિશિષ્ટ ખાનું ન હોય પરંતુ બીજી સૌથી નાની સંખ્યાનું ખાનું વિશિષ્ટ ખાનું હોય, શું આ શક્ય છે?
ઉદાહરણ : [10, 20, 100]. અહીં 10 સૌથી નાની, 20 બીજી સૌથી નાની અને 100 સૌથી મોટી સંખ્યા છે. જો આપણે છેડે [20, 10, 100] ગોઠવીએ, તો 20 એ 10 કરતાં મોટી હોવાથી છેડા પર વિશિષ્ટ ખાનું બની જાય છે.
પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 58-59)
• કોષ્ટક 2ને 5-અંકની સંખ્યાથી પૂર્ણ કરો, જેના અંકો '1', '0', '6', '3', અને ‘9” કોઈ પણ ક્રમમાં હોય. ફક્ત રંગીન ખાનામાં જ તેના બધા પડોશીઓ કરતાં મોટી સંખ્યા હોવી જોઈએ. કોષ્ટકમાં સૌથી મોટી સંખ્યા _____ છે. કોષ્ટકમાં સૌથી નાની બેકી(યુગ્મ) સંખ્યા _____ છે. કોષ્ટકમાં 50,000 કરતાં મોટી સૌથી નાની સંખ્યા _____ છે.
• કોષ્ટકમાં સૌથી મોટી સંખ્યા : 96,310
• કોષ્ટકમાં સૌથી નાની બેકી સંખ્યા : 10,396 (અથવા છેલ્લે 0 કે 6 રાખીને બનતી સૌથી નાની)
• કોષ્ટકમાં 50,000 કરતાં મોટી સૌથી નાની સંખ્યા : 60,139
✦ વિભાગ 3.3 : સંખ્યારેખા પર સંખ્યાઓની પેટર્ન ✦
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 59-60)
નીચેની સંખ્યારેખાઓ પર અંકિત સંખ્યાઓ ઓળખો અને બાકીનાં સ્થાનો પર યોગ્ય સંખ્યા અંકિત કરો. ઉપર આપેલ દરેક શ્રેણીમાં સૌથી નાની સંખ્યાની ફરતે વર્તુળ (circle) કરો અને સૌથી મોટી સંખ્યાની ફરતે ચોરસ કરો.
a. સંખ્યારેખા : 2010, 2020 ...
ક્રમિક સંખ્યાઓ : 2010, 2020, 2030, 2040, 2050
• સૌથી નાની સંખ્યા : 2010 (વર્તુળ)
• સૌથી મોટી સંખ્યા : 2050 (ચોરસ)
b. સંખ્યારેખા : 9996, 9997 ...
ક્રમિક સંખ્યાઓ : 9996, 9997, 9998, 9999, 10000
• સૌથી નાની સંખ્યા : 9996 (વર્તુળ)
• સૌથી મોટી સંખ્યા : 10000 (ચોરસ)
c. સંખ્યારેખા : 15077, 15078 ... 15083
ક્રમિક સંખ્યાઓ : 15077, 15078, 15079, 15080, 15081, 15082, 15083
• સૌથી નાની સંખ્યા : 15077 (વર્તુળ)
• સૌથી મોટી સંખ્યા : 15083 (ચોરસ)
d. સંખ્યારેખા : 86705, 87705 ...
ક્રમિક સંખ્યાઓ : 86705, 87705, 88705, 89705, 90705
• સૌથી નાની સંખ્યા : 86705 (વર્તુળ)
• સૌથી મોટી સંખ્યા : 90705 (ચોરસ)
✦ વિભાગ 3.4 : અંકોની રમત (Playing with Digits) ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 60)
• કેટલી સંખ્યાઓમાં બે અંક, ત્રણ અંક, ચાર અંક અને પાંચ અંક છે તે શોધો.
• 2 અંકની સંખ્યાઓ (10 થી 99) = 90
• 3 અંકની સંખ્યાઓ (100 થી 999) = 900
• 4 અંકની સંખ્યાઓ (1000 થી 9999) = 9000
• 5 અંકની સંખ્યાઓ (10000 થી 99999) = 90000
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 60)
1. અંકોનો સરવાળો 14 :
જવાબ : 59, 77, 86, 95, 158, 248, 554 વગેરે.
b. અંકોનો સરવાળો 14 હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા કઈ છે?
એકમનો અંક મહત્તમ 9 લઈએ, તો દશકનો અંક 14 - 9 = 5 થાય.
સૌથી નાની સંખ્યા = 59
c. અંકોનો સરવાળો 14 હોય તેવી સૌથી મોટી 5-અંકની સંખ્યા કઈ છે?
ડાબી બાજુ મહત્તમ અંકો મૂકતાં : 95000 (9 + 5 + 0 + 0 + 0 = 14)
d. એવી મોટામાં મોટી કઈ સંખ્યા બનાવી શકાય કે જેના અંકોનો સરવાળો 14 હોય? શું તમે તેનાથી પણ મોટી સંખ્યા બનાવી શકો છો?
જો અંકોની સંખ્યા નિશ્ચિત ન હોય, તો 1 અને 0 નો ઉપયોગ કરીને 11111111111111 (14 વખત 1) બનાવી શકાય અને તેની પાછળ ગમે તેટલા શૂન્ય ઉમેરીને તેનાથી પણ મોટી સંખ્યા બનાવી શકાય છે.
2. 40થી 70 સુધીની તમામ સંખ્યાઓના અંકોના સરવાળા શોધો. તમારાં અવલોકનોની વર્ગમાં ચર્ચા કરો.
• 40 થી 49 ના સરવાળા : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
• 50 થી 59 ના સરવાળા : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
• 60 થી 69 ના સરવાળા : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
• 70 નો સરવાળો : 7
અવલોકન : દરેક દશકમાં અંકોનો સરવાળો 1-1 વધીને આગળ વધે છે અને ફરી નવા દશકે નવી શરૂઆત થાય છે.
3. જેના અંકો ક્રમિક (consecutive) હોય, તેવી ત્રણ-અંકની (3-digit) સંખ્યાઓના અંકોના સરવાળાની ગણતરી કરો. (ઉદાહરણ તરીકે, 345) શું તમને કોઈ પૅટર્ન (pattern) દેખાય છે? શું આ પૅટર્ન ચાલુ રહેશે?
• 123 ⟶ `1 + 2 + 3 = 6`
• 234 ⟶ `2 + 3 + 4 = 9`
• 345 ⟶ `3 + 4 + 5 = 12`
• 456 ⟶ `4 + 5 + 6 = 15`
• 567 ⟶ `5 + 6 + 7 = 18`
પૅટર્ન : સરવાળો હંમેશાં 3 નો ગુણક હોય છે અને તે વચ્ચેના અંક કરતાં બરાબર 3 ગણો (`3 \times \text{વચ્ચેનો અંક}`) થાય છે. આ પૅટર્ન હંમેશાં ચાલુ રહે છે.
• અંક શોધક (પાના નં. 61) : 1થી 100 સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક ‘7' કેટલી વાર આવે છે? 1થી 1000 સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક “7” કેટલી વાર આવે છે?
એકમના સ્થાને 10 વાર અને દશકના સ્થાને 10 વાર ⟶ કુલ 20 વાર આવે છે.
• 1 થી 1000 માં :
દરેક સોના જૂથમાં 20 વાર (કુલ 200 વાર) + 700 થી 799 માં સોના સ્થાને 100 વાર ⟶ કુલ 300 વાર આવે છે.
✦ વિભાગ 3.5 : આકર્ષક પેલિન્ડ્રોમિક પેટર્ન ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 61-62)
• આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને તમામ શક્ય 3-અંકના પેલિન્ડ્રોમ લખો (1, 2, 3 નો ઉપયોગ કરીને) :
111, 121, 131, 212, 222, 232, 313, 323, 333
• શોધો : 2-અંકની સંખ્યાથી શરૂ કરીને, સંખ્યાઓને વારંવાર ઊલટાવવાથી અને ઉમેરવાથી, હંમેશાં પેલિન્ડ્રોમ (palindrome) મળશે? ચકાસો અને શોધો.
તમામ 2-અંકની સંખ્યાઓ માટે આ પ્રક્રિયા વારંવાર કરવાથી આખરે પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા મળે જ છે (દા.ત., 89 માટે 24 પગલાં પછી 8813200023188 મળે છે).
• કોયડાનો સમય : હું 5-અંકનો પેલિન્ડ્રોમ છું. હું એક એકી સંખ્યા છું. મારો ‘દશક’નો અંક મારા 'એકમ'ના અંક કરતાં બમણો છે. મારો ‘સો’નો અંક મારા ‘દશક’ના અંક કરતાં બમણો છે. હું કોણ છું? સંખ્યાને શબ્દોમાં લખો :
એકી સંખ્યા હોવાથી એકમનો અંક 1, 3, 5, 7 કે 9 હોઈ શકે.
જો એકમનો અંક = 1 લઈએ :
દશકનો અંક = `2 \times 1 = 2`
સો નો અંક = `2 \times 2 = 4`
પેલિન્ડ્રોમ હોવાથી : હજારનો અંક = દશકનો અંક = 2 અને દસ હજારનો અંક = એકમનો અંક = 1 થાય.
સંખ્યા = 12421
શબ્દોમાં : બાર હજાર ચારસો એકવીસ
✦ વિભાગ 3.6 : કાપરેકરની જાદુઈ સંખ્યા ✦
શોધો (પાના નં. 63)
ચાલો આ જ પગલાં 3—અંકની થોડીક સંખ્યા સાથે કરીએ. કઈ સંખ્યાના પુનરાવર્તનની શરૂઆત થાય છે?
પગલું 1 : મોટી = 532, નાની = 235 ⟶ `532 - 235 = 297`
પગલું 2 : મોટી = 972, નાની = 279 ⟶ `972 - 279 = 693`
પગલું 3 : મોટી = 963, નાની = 369 ⟶ `963 - 369 = 594`
પગલું 4 : મોટી = 954, નાની = 459 ⟶ `954 - 459 = 495`
પગલું 5 : મોટી = 954, નાની = 459 ⟶ `954 - 459 = 495`
આમ, 3-અંકની સંખ્યાઓ માટે જાદુઈ અચળાંક 495 મળે છે.
✦ વિભાગ 3.7 : ઘડિયાળ અને કેલેન્ડરની સંખ્યાઓ ✦
વિચારો અને શોધો / પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 64-65)
1. પ્રતિભા '4”, '7', '3' અને '2' અંકોનો ઉપયોગ કરીને 4-અંકની સૌથી નાની 2347 અને સૌથી મોટી 7432 સંખ્યાઓ બનાવે છે. આ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત 7432 - 2347 = 5085 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 9779 છે. નીચેનાં વિધાનો સંતોષાય તે રીતે, 4-અંક પસંદ કરો.
પસંદ કરેલા અંકો : 9, 8, 2, 1 (`9821 - 1289 = 8532 > 5085`)
b. સૌથી મોટી અને સૌથી નાની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત 5085થી નાનો હોય :
પસંદ કરેલા અંકો : 5, 4, 3, 2 (`5432 - 2345 = 3087 < 5085`)
c. મોટામાં મોટી અને નાનામાં નાની સંખ્યાનો સરવાળો 9779થી મોટો હોય :
પસંદ કરેલા અંકો : 9, 8, 7, 6 (`9876 + 6789 = 16665 > 9779`)
d. મોટામાં મોટી અને નાનામાં નાની સંખ્યાનો સરવાળો 9779થી નાનો હોય :
પસંદ કરેલા અંકો : 4, 3, 2, 1 (`4321 + 1234 = 5555 < 9779`)
2. સૌથી નાની અને સૌથી મોટી 5-અંકની પેલિન્ડ્રોમિક સંખ્યાનો સરવાળો શું છે? તેમનો તફાવત શું છે?
સૌથી મોટી 5-અંકની પેલિન્ડ્રોમિક સંખ્યા = 99999
• સરવાળો :
`= 99999 + 10001`
`= 110000`
• તફાવત :
`= 99999 - 10001`
`= 89998`
3. અત્યારે સમય 10:01 છે. હવે પછીનો પેલિન્ડ્રોમિક સમય કેટલી મિનિટ પછી ઘડિયાળ બતાવશે? તે પછી ક્યારે આવશે?
10:01 થી 11:11 વચ્ચેનો સમયગાળો = 70 મિનિટ.
તે પછીનો પેલિન્ડ્રોમિક સમય 12:21 આવશે.
4. સંખ્યા 5683ને કાપરેકર અચળાંક સુધી પહોંચતા કેટલી વખત ક્રિયા (પાના નં. 63) કરવી પડશે?
પગલું 2 : `8550 - 0558 = 7992`
પગલું 3 : `9972 - 2799 = 7173`
પગલું 4 : `7731 - 1377 = 6354`
પગલું 5 : `6543 - 3456 = 3087`
પગલું 6 : `8730 - 0378 = 8352`
પગલું 7 : `8532 - 2358 = 6174`
આમ, કુલ 7 વખત ક્રિયા કરવી પડશે.
✦ વિભાગ 3.8 : મૌખિક ગણિત (Mental Math) ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 66)
• વચ્ચેના સ્તંભની સંખ્યાઓના ઉપયોગથી શું આપણે 1,000 બનાવી શકીએ? શા માટે નહીં? શું 14,000, 15,000 અને 16,000 બનાવી શકીશું? હા, તે શક્ય છે કેવી રીતે તે સમજાવો. હજારવાળી કઈ-કઈ સંખ્યાઓ બનાવી શકાતી નથી?
• 1000 બનાવી શકાશે નહીં, કારણ કે આપેલી સંખ્યાઓ (400, 1500 વગેરે) માંથી કોઈપણ સંખ્યાના સરવાળા કે ગુણાકારથી બરાબર 1000 મળતો નથી (400 + 400 = 800, ત્રણ વાર 1200 થાય).
• `14000 = 13000 + 400 + 400 + 200` શક્ય નથી પરંતુ `13000 + 1500 = 14500` થાય.
• `15000 = 1500 \times 10` (શક્ય છે).
• ઉમેરો અને બાદ કરો : 45,000 = _____, 5,900 = _____, 17,500 = _____, 21,400 = _____
• `5900 = 7000 - 1500 + 400` (અથવા `7000 - 800 - 300`)
• `17500 = 12000 + 7000 - 1500`
• `21400 = 12000 + 7000 + 1500 + 300 + 300 + 300`
વિચારો અને શોધો (પાના નં. 66-67)
1. નીચે આપેલી દરેક પરિસ્થિતિ માટે શક્ય હોય તો એક ઉદાહરણ લખો.
• 5 અંકની સંખ્યા - 5 અંકની સંખ્યાની બાદબાકી 56,503 કરતાં ઓછી હોય : `60000 - 20000 = 40000`
• 5 અંક + 3 અંકનો સરવાળો 6 અંકની સંખ્યા બને : `99500 + 600 = 100100`
• 5 અંક - 3 અંકની બાદબાકી 4 અંકની સંખ્યા મળે : `10200 - 300 = 9900`
• 4 અંક + 4 અંકનો સરવાળો 6 અંકની સંખ્યા બને : શક્ય નથી (કારણ કે મહત્તમ `9999 + 9999 = 19998` માત્ર 5 અંક જ બને)
• 5 અંક + 5 અંકનો સરવાળો એ 6 અંકની સંખ્યા બને : `60000 + 50000 = 110000`
• 5 અંક + 5 અંકનો સરવાળો 18,500 થાય : શક્ય નથી (કારણ કે બે 5-અંકની સૌથી નાની સંખ્યાઓનો સરવાળો `10000 + 10000 = 20000` થાય)
2. હંમેશાં, ક્યારેક, ક્યારેય નહીં? નીચે કેટલાંક વિધાન આપેલાં છે. વિચારો અને શોધો કે શું દરેક વિધાન ‘હંમેશાં સાચું”, “માત્ર ક્યારેક સાચું' કે 'ક્યારેય સાચું નહીં' છે. તમને આવું કેમ લાગે છે? તમારા તર્ક લખો અને વર્ગમાં તેની ચર્ચા કરો.
b. 4 અંકની સંખ્યા + 2 અંકની સંખ્યા = 4 અંકની સંખ્યા ⟶ માત્ર ક્યારેક સાચું (`1000 + 20 = 1020`, પરંતુ `9990 + 20 = 10010`)
c. 4 અંકની સંખ્યા + 2 અંકની સંખ્યા = 6 અંકની સંખ્યા ⟶ ક્યારેય સાચું નહીં
d. 5 અંકની સંખ્યા - 5 અંકની સંખ્યા = 5 અંકની સંખ્યા ⟶ માત્ર ક્યારેક સાચું
e. 5 અંકની સંખ્યા - 2 અંકની સંખ્યા = 3 અંકની સંખ્યા ⟶ ક્યારેય સાચું નહીં (કારણ કે `10000 - 99 = 9901` ઓછામાં ઓછા 4 અંક રહે)
✦ વિભાગ 3.9 : સંખ્યાઓની પેટર્ન સાથે રમત ✦
ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 67-68)
અહીં કેટલીક સંખ્યાઓ અમુક પૅટર્નમાં ગોઠવાયેલી છે. નીચે આપેલી દરેક આકૃતિમાંની સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો. શું આપણે તેમને એક પછી એક ઉમેરવી જોઈએ, કે પછી આપણે ઝડપી રીતે કરી શકીએ? આ પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે તમે દરેકે જે જુદી જુદી રીતનો ઉપયોગ કર્યો છે તેની વર્ગમાં ચર્ચા કરો.
a. 40 ના ચોરસ ખાના (કુલ 12 વખત) :
`= 480`
b. 50 ના ચોરસ ખાના (કુલ 10 વખત) :
`= 500`
c. 32 ના 32 ખાના અને 64 ના 16 ખાના :
`= 1024 + 1024`
`= 2048`
✦ વિભાગ 3.10 : એક વણઉકેલાયેલું રહસ્ય-કોલાત્ઝનું અનુમાન! ✦
કોલાત્ઝ અનુમાન પ્રવૃત્તિ (પાના નં. 68-70)
તમારી મનપસંદ પૂર્ણ સંખ્યાથી શરૂ કરીને ઉપર આપી છે તેવી કેટલીક વધુ કોલાત્ઝની શ્રેણી બનાવો. શું તમે હંમેશાં 1 સુધી પહોંચો છો? શું તમે કોલાત્ઝના અનુમાન પર વિશ્વાસ કરો છો કે, આવી બધી શ્રેણી આખરે 1 સુધી પહોંચશે? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?
• સંખ્યા 6 થી શરૂ કરતાં :
6 ⟶ 3 ⟶ 10 ⟶ 5 ⟶ 16 ⟶ 8 ⟶ 4 ⟶ 2 ⟶ 1
• સંખ્યા 7 થી શરૂ કરતાં :
7 ⟶ 22 ⟶ 11 ⟶ 34 ⟶ 17 ⟶ 52 ⟶ 26 ⟶ 13 ⟶ 40 ⟶ 20 ⟶ 10 ⟶ 5 ⟶ 16 ⟶ 8 ⟶ 4 ⟶ 2 ⟶ 1
હા, અત્યાર સુધી ગણેલી તમામ સંખ્યાઓ આખરે 1 પર જ પહોંચે છે.
✦ વિભાગ 3.11 : સરળ અંદાજ (Simple Estimation) ✦
અંદાજિત જવાબ (પાના નં. 70-71)
1. તમારા ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં શબ્દોની સંખ્યા : a. 5000 કરતાં વધારે, b. 5000 કરતાં ઓછી
2. બસ દ્વારા તમારી શાળાએ આવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા : a. 200 કરતાં વધારે, b. 200 કરતાં ઓછી
3. રોશન 5 વ્યક્તિઓ માટે ફ્રૂટસલાડ બનાવવા માટે દૂધ અને 3 પ્રકારનાં ફળ ખરીદવા માંગે છે. તેનો અંદાજ છે કે તેની કિંમત ₹100 હશે. શું તમે તેની સાથે સહમત છો? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?
કારણ : 5 વ્યક્તિઓ માટે ઓછામાં ઓછું 1 લિટર દૂધ (આશરે ₹60) અને 3 પ્રકારના ફળો (સફરજન, કેળા વગેરે) નો ખર્ચ ₹150 થી ₹200 થાય. તેથી ₹100 નો અંદાજ ખૂબ જ ઓછો છે.
4. ગાંધીનગર (ગુજરાત)થી કોહિમા (નાગાલેન્ડ) વચ્ચેનું અંતર અંદાજો. સૂચન ઃ આ શહેરો શોધવા માટે ભારતના નકશા પર નજર નાખો.
5. શીતલ છઠ્ઠા ધોરણમાં છે અને કહે છે કે તેણે આજ સુધી લગભગ 13,000 કલાક શાળામાં વિતાવ્યા છે. શું તમે તેની સાથે સહમત છો? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?
કારણ : 1 વર્ષમાં આશરે 200 શાળા દિવસો હોય અને રોજના 6 કલાક ગણીએ તો 1 વર્ષમાં આશરે 1200 કલાક થાય. ધોરણ 1 થી 5 ના 5 વર્ષમાં આશરે 5 × 1200 = 6000 કલાક જ થાય, જે 13000 કલાક કરતાં ખૂબ ઓછા છે.
✦ વિભાગ 3.12 : રમતો અને જીતવાની વ્યૂહરચના ✦
વિચારો અને શોધો / પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 72-74)
1. અહીં ફક્ત એક જ વિશિષ્ટ ખાનું (જેની આસપાસની સંખ્યાઓ તેના કરતા નાની હોય) છે. જો તમે કોઈ એક સંખ્યાના બે અંકોની અદલાબદલી કરશો, તો ત્યાં 4 વિશિષ્ટ ખાનાં હશે. તમારે એ શોધવાનું છે કે કયા અંકોની અદલાબદલી કરવી જોઈએ.
મધ્યમાં રહેલી સંખ્યા 62,871 માં અંકો 6 અને 2 ની અદલાબદલી કરવાથી તે 26,871 બને છે. આમ થવાથી તેની આસપાસની ચારેય સંખ્યાઓ તેના કરતાં મોટી થઈ જશે અને કુલ 4 વિશિષ્ટ ખાનાં બની જશે.
3. અમે 35,000થી 75,000ની વચ્ચે 5-અંકની સંખ્યાઓનો સમૂહ છીએ જેના બધા અંકો એકી (અયુગ્મ) છે. અમારા સમૂહમાં સૌથી મોટી સંખ્યા કોણ છે? અમારા સમૂહમાં સૌથી નાની સંખ્યા કોણ છે? અમારામાંથી 50,000ની સૌથી નજીક કોણ છે?
• સમૂહમાં સૌથી મોટી સંખ્યા = 73,999
• સમૂહમાં સૌથી નાની સંખ્યા = 35,111
• 50,000 ની સૌથી નજીકની સંખ્યા = 51,111
6. એક 5-અંકની સંખ્યા અને બે 3-અંકની સંખ્યાઓ એવી રીતે લખો કે તેમનો સરવાળો 18670 થાય.
`= 18670`
8. પ્રકરણ 1, કોષ્ટક 1માંથી 2ની ઘાતની શ્રેણી યાદ કરો. આ શ્રેણીની શરૂઆતની બધી સંખ્યાઓ માટે કોલાત્ઝનું અનુમાન કેમ સાચું છે?
9. તપાસો કે કોલાત્ઝનું અનુમાન શરૂઆતની સંખ્યા 100 માટે યોગ્ય છે કે નહીં.
આમ, 100 માટે પણ કોલાત્ઝનું અનુમાન સાચું છે.
10. બે ખેલાડીઓ 0થી શરૂ કરીને વારાફરતી 1થી 3 સુધીની સંખ્યાઓ ઉમેરે છે. પ્રથમ 22 પર પહોંચનાર વ્યક્તિ જીતે છે. હવે જીતવાની વ્યૂહરચના શું છે?
જીતવા માટે નિયંત્રણ સંખ્યાઓ (4 ના તફાવતે) :
`22 - 4 = 18`
`18 - 4 = 14`
`14 - 4 = 10`
`10 - 4 = 6`
`6 - 4 = 2`
વ્યૂહરચના : પ્રથમ ખેલાડીએ શરૂઆતમાં 2 બોલવું. ત્યાર પછી સામેવાળો ખેલાડી જે સંખ્યા ઉમેરે, તે બંનેનો સરવાળો 4 થાય તે રીતે ઉમેરીને ક્રમશઃ 6, 10, 14, 18 અને છેલ્લે 22 બોલીને પ્રથમ ખેલાડી હંમેશાં જીતી શકે છે.
Post a Comment