ધોરણ-6 [ગણિત પ્રકાશ] 5. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ | std-6 [maths prakash] 5. avibhajya sankhyao

GSEB Class 6 Maths (Ganit Prakash) Chapter 5 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 6 ગણિત પ્રકાશ પ્રકરણ 5 "અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ" (Std 6 Maths Prakash Chapter 5 Avibhajya Sankhyao) ના પાઠ્યપુસ્તક મુજબના તમામ વિભાગો 5.1 થી 5.6 માં આપેલા 'વિચારો અને શોધો', 'ગાણિતિક ચર્ચા' તથા 'પ્રયત્ન કરો' ના પ્રશ્નોનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન આપેલું છે. સામાન્ય અવયવી અને સામાન્ય અવયવો, ઈરેટોસ્થેનીસની ચાળણી, સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ, વિભાજ્યતાની ચાવીઓ અને અવિભાજ્ય કોયડાઓનું પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) સાથે વિગતવાર સોલ્યુશન આપેલું છે.

ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :

• ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
• ✦ વિભાગ 5.1 : સામાન્ય અવયવી અને સામાન્ય અવયવો
• ✦ વિભાગ 5.2 : અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Prime Numbers)
• ✦ વિભાગ 5.3 : ખજાનાની સુરક્ષા માટે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ
• ✦ વિભાગ 5.4 : અવિભાજ્ય અવયવીકરણ (Prime Factorisation)
• ✦ વિભાગ 5.5 : વિભાજ્યતાની ચાવીઓ (Keys of Divisibility)
• ✦ વિભાગ 5.6 : સંખ્યાઓ સાથે ગમ્મત (Fun with Numbers)
• ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)

✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 6 Maths chapter 5. avibhajya sankhyao imp notes) ✦

• અવયવ અને અવયવી : જો કોઈ સંખ્યા બીજી સંખ્યા દ્વારા વિભાજ્ય હોય, તો બીજી સંખ્યાને પ્રથમ સંખ્યાનો અવયવ કહે છે. સંખ્યાના ગુણકોને અવયવી કહે છે. 1 એ દરેક સંખ્યાનો અવયવ છે.
• અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Prime Numbers) : જે સંખ્યાઓને માત્ર બે જ અવયવો હોય (1 અને તે સંખ્યા પોતે), તેમને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહે છે (દા.ત., 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...). 2 એ સૌથી નાની અને એકમાત્ર યુગ્મ (બેકી) અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
• વિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Composite Numbers) : જે સંખ્યાઓને બે કરતાં વધુ અવયવો હોય, તેમને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહે છે (દા.ત., 4, 6, 8, 9, 10, 12...). સંખ્યા 1 એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
• સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Co-prime Numbers) : જે બે સંખ્યાઓમાં 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ ન હોય, તે સંખ્યાઓને એકબીજાની સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહે છે (દા.ત., 4 અને 9).
• અવિભાજ્ય અવયવીકરણ : 1 કરતાં મોટી દરેક સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. અવયવોના ક્રમ સિવાય આ અવયવીકરણ હંમેશાં એક જ (અનન્ય) હોય છે.
• વિભાજ્યતાની ચાવીઓ :
     • 10 દ્વારા : એકમનો અંક 0 હોય.
     • 5 દ્વારા : એકમનો અંક 0 અથવા 5 હોય.
     • 2 દ્વારા : એકમનો અંક 0, 2, 4, 6 અથવા 8 હોય.
     • 4 દ્વારા : છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા 4 દ્વારા વિભાજ્ય હોય.
     • 8 દ્વારા : છેલ્લા ત્રણ અંકોથી બનતી સંખ્યા 8 દ્વારા વિભાજ્ય હોય.

✦ વિભાગ 5.1 : સામાન્ય અવયવી અને સામાન્ય અવયવો ✦

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 108)

1. ‘ઈડલી-વડાં' દસમી વખત કઈ સંખ્યા માટે કહેવામાં આવે છે?

ઉકેલ :
3 અને 5 બંનેનો પ્રથમ સામાન્ય અવયવી 15 છે.
દસમો સામાન્ય અવયવી :
`= 10 \times 15`
`= 150`
આમ, ‘ઈડલી-વડાં' દસમી વખત સંખ્યા 150 માટે કહેવામાં આવે છે.

2. જો રમત 1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓ માટે રમવામાં આવે તો શોધો કે :

અ. બાળકો ‘ઈડલી” કેટલી વખત કહેશે? (જ્યારે ‘ઈડલી-વડાં' કહેવામાં આવે તે સહિત) :
`= 90 \div 3`
`= 30 \text{ વખત}`

બ. બાળકો ‘વડાં' કેટલી વખત કહેશે? (જ્યારે ‘ઈડલી-વડાં' કહેવામાં આવે તે સહિત) :
`= 90 \div 5`
`= 18 \text{ વખત}`

ક. બાળકો ‘ઈડલી-વડાં' કેટલી વખત કહેશે? :
`= 90 \div 15`
`= 6 \text{ વખત}`

3. જો રમત 900 સુધી રમવામાં આવે તો શું થાય? તમારા જવાબો કેવી રીતે બદલાશે?

ઉકેલ :
• ‘ઈડલી’ ની સંખ્યા :
`= 900 \div 3`
`= 300 \text{ વખત}`

• ‘વડાં’ ની સંખ્યા :
`= 900 \div 5`
`= 180 \text{ વખત}`

• ‘ઈડલી-વડાં’ ની સંખ્યા :
`= 900 \div 15`
`= 60 \text{ વખત}`

4. શું આ આકૃતિ ‘ઈડલી—વડાં’ રમત સાથે સંબંધિત છે? સૂચન : 30 સુધી રમત રમવાની કલ્પના કરો. જો રમત 60 સુધી રમવામાં આવે તો આકૃતિ 5.1ના જેવી આકૃતિ દોરો.

ઉકેલ :
હા, આ વેન આકૃતિ 3 ના અવયવી, 5 ના અવયવી અને તેમના છેદગણ સ્વરૂપે સામાન્ય અવયવી (15, 30, 45, 60) દર્શાવે છે.
60 સુધીની રમતમાં સામાન્ય અવયવીના ભાગમાં 15, 30, 45 અને 60 આવશે.

ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 110-111)

કોષ્ટકમાં, 1. શું છાયાંકિત (shaded) સંખ્યાઓમાં કંઈ સામાન્ય છે? 2. શું વર્તુળ (circle) કરેલી સંખ્યાઓમાં કંઈ સામાન્ય છે? 3. કઈ સંખ્યાઓ છાયાંકિત અને વર્તુળ બંને કરેલી છે? આ સંખ્યાઓને શું કહેવામાં આવે છે?

1. છાયાંકિત સંખ્યાઓ 4 ના અવયવી છે (દા.ત., 32, 36, 40, 44, 48...).
2. વર્તુળ કરેલી સંખ્યાઓ 6 ના અવયવી છે (દા.ત., 36, 42, 48, 54, 60...).
3. છાયાંકિત અને વર્તુળ બંને કરેલી સંખ્યાઓ 36, 48, 60 છે. આ સંખ્યાઓને 4 અને 6 ના સામાન્ય અવયવી કહેવામાં આવે છે.

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 110-111)

1. 310 અને 410 વચ્ચે આવતા 40ના તમામ અવયવી શોધો.

40 ના અવયવીઓ : 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440...
310 અને 410 વચ્ચે આવતા અવયવી : 320, 360, 400

2. હું કોણ છું? a. હું 40 કરતાં નાની સંખ્યા છું. મારો એક અવયવ 7 છે. મારા અંકોનો સરવાળો 8 છે. b. હું 100 કરતાં નાની સંખ્યા છું. મારા બે અવયવો 3 અને 5 છે. મારો એક અંક બીજા અંક કરતાં 1 વધારે છે.

a. 40 થી નાના 7 ના અવયવી : 7, 14, 21, 28, 35.
અંકોનો સરવાળો 8 થાય તેવી સંખ્યા : 35 (`3 + 5 = 8`).
જવાબ : 35

b. 100 થી નાની 3 અને 5 ના સામાન્ય અવયવી (15 ના અવયવી) : 15, 30, 45, 60, 75, 90.
એક અંક બીજા કરતાં 1 વધારે હોય તેવી સંખ્યા : 45 (`5 - 4 = 1`).
જવાબ : 45

3. જે સંખ્યા માટે તેના બધા અવયવોનો સરવાળો તે સંખ્યાના બમણા (twice) જેટલો હોય, તેને સંપૂર્ણ સંખ્યા (Perfect Number) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા 28 એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે. તેના અવયવો 1, 2, 4, 7, 14 અને 28 છે. તેમનો સરવાળો 56 છે, જે 28ના બમણા જેટલો છે. 1 અને 10 વચ્ચે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા શોધો.

સંખ્યા 6 ના અવયવો : 1, 2, 3, 6.
અવયવોનો સરવાળો :
`= 1 + 2 + 3 + 6`
`= 12`
અહીં `12 = 2 \times 6` (સંખ્યાના બમણા જેટલો થાય છે).
જવાબ : 6

4. સામાન્ય અવયવ શોધો : a. 20 અને 28, b. 35 અને 50, c. 4, 8 અને 12, d. 5, 15 અને 25

a. 20 ના અવયવો : 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 ના અવયવો : 1, 2, 4, 7, 14, 28
સામાન્ય અવયવ : 1, 2, 4

b. 35 ના અવયવો : 1, 5, 7, 35
50 ના અવયવો : 1, 2, 5, 10, 25, 50
સામાન્ય અવયવ : 1, 5

c. 4, 8 અને 12 ના સામાન્ય અવયવ : 1, 2, 4

d. 5, 15 અને 25 ના સામાન્ય અવયવ : 1, 5

5. 25ના અવયવી હોય પરંતુ 50ના અવયવી ન હોય તેવી કોઈ પણ ત્રણ સંખ્યાઓ શોધો.

25 ના એકી ગુણકો :
`25 \times 1 = 25`
`25 \times 3 = 75`
`25 \times 5 = 125`
જવાબ : 25, 75, 125

6. અંશુ અને તેના મિત્રો બે સંખ્યાઓ સાથે ‘ઈડલી—વડાં’ રમત રમે છે, બંને 10 કરતાં નાની છે. પ્રથમ વખત જ્યારે કોઈ ‘ઈડલી—વડાં' કહે છે તે સંખ્યા 50 પછી આવે છે. ‘ઈડલી’ અને “વડાં' માટે નિયુક્ત બે સંખ્યાઓ કઈ હોઈ શકે છે?

10 થી નાની બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ જેનો લ.સા.અ. 50 થી મોટો હોય :
`7 \times 8 = 56 > 50` અથવા `8 \times 9 = 72 > 50`
જવાબ : 7 અને 8 (અથવા 8 અને 9).

7. ખજાનાની શોધની રમતમાં, ગ્રમ્પીએ 28 અને 70 પર ખજાના રાખ્યા છે. કયા કૂદકાના માપ વડે બંને સંખ્યાઓ પર પહોંચશે?

28 અને 70 ના સામાન્ય અવયવો :
28 ના અવયવો : 1, 2, 4, 7, 14, 28
70 ના અવયવો : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
જવાબ : 1, 2, 7 અથવા 14 ના કૂદકાના માપ વડે બંને પર પહોંચશે.

8. નીચેની આકૃતિમાં ગુણાએ સામાન્ય અવયવી સિવાયની બધી સંખ્યાઓ ભૂંસી નાખી છે. તે સંખ્યાઓ કઈ હોઈ શકે છે તે શોધો અને ખાલી જગ્યાઓમાં ખૂટતી સંખ્યાઓ ભરો. (સામાન્ય અવયવી 24, 48, 72 આપેલા છે)

પ્રથમ સામાન્ય અવયવી 24 છે.
જે બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. 24 થાય તેવી સંખ્યાઓ : 6 અને 8 (અથવા 8 અને 12).
ખાલી જગ્યામાં 6 ના અવયવી અને 8 ના અવયવી આવશે.

પ્રયત્ન કરો (પાના નં. 111)

9. એવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધો જે 7 સિવાયની 1થી 10 સુધીની તમામ સંખ્યાઓનો અવયવી હોય.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 નો લ.સા.અ. :
`= 2^3 \times 3^2 \times 5`
`= 8 \times 9 \times 5`
`= 360`

10. એવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધો જે 1થી 10 સુધીની તમામ સંખ્યાઓનો અવયવી હોય.

1 થી 10 સુધીની તમામ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. :
`= 360 \times 7`
`= 2520`

✦ વિભાગ 5.2 : અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Prime Numbers) ✦

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 114-115)

1. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે 2 એક અવિભાજ્ય અને યુગ્મ સંખ્યા (even number) પણ છે. શું કોઈ અન્ય યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે?

જવાબ : ના.
કારણ : 2 સિવાયની કોઈપણ બેકી સંખ્યા 2 વડે વિભાજ્ય હોય છે, જેથી તેના બે કરતાં વધુ અવયવો થઈ જાય છે. તેથી 2 એકમાત્ર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

2. 100 સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી જુઓ. બે ક્રમિક (successive) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સૌથી નાનો તફાવત (difference) શું છે? સૌથી મોટો તફાવત શું છે?

• સૌથી નાનો તફાવત : 1 (સંખ્યા 2 અને 3 વચ્ચે: 3 - 2 = 1)
• સૌથી મોટો તફાવત : 8 (સંખ્યા 89 અને 97 વચ્ચે: 97 - 89 = 8)

3. શું પાના નંબર 113 પરના કોષ્ટકમાં દરેક હારમાં સમાન સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? કયા દશકની (decades) હરોળમાં સૌથી ઓછી સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? કયા દશકની હરોળમાં સૌથી વધુ સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે?

• દરેક હારમાં સમાન સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નથી.
• સૌથી ઓછી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ : 91 થી 100 ની હરોળમાં (માત્ર 1 અવિભાજ્ય સંખ્યા: 97).
• સૌથી વધુ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ : 1 થી 10 ની હરોળમાં (4 અવિભાજ્ય: 2, 3, 5, 7) અને 11 થી 20 ની હરોળમાં (4 અવિભાજ્ય: 11, 13, 17, 19).

4. આપેલી સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય છે : 23, 51, 37, 26 ?

• 23 : અવિભાજ્ય છે.
• 51 : વિભાજ્ય છે (`3 \times 17 = 51`).
• 37 : અવિભાજ્ય છે.
• 26 : વિભાજ્ય છે (`2 \times 13 = 26`).
જવાબ : 23 અને 37

5. 20 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ત્રણ જોડ લખો, જેનો સરવાળો 5નો અવયવી હોય.

1. `2 + 3 = 5`
2. `3 + 7 = 10`
3. `7 + 13 = 20` (અથવા `3 + 17 = 20`)

6. સંખ્યાઓ 13 અને 31 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આ બંને સંખ્યાઓમાં સમાન અંકો 1 અને 3 છે. 100 સુધી આવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડ શોધો.

1. 17 અને 71
2. 37 અને 73
3. 79 અને 97

7. 1 અને 100 વચ્ચેની સાત ક્રમિક (consecutive) વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો.

જવાબ : 90, 91, 92, 93, 94, 95 અને 96

8. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડ જેમનો તફાવત 2 હોય તેમને અવિભાજ્ય યુગ્મ (Twin Prime) કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 અને 5 અવિભાજ્ય યુગ્મ છે. આ જ પ્રમાણે 17 અને 19 પણ છે. 1 અને 100 વચ્ચેની અન્ય અવિભાજ્ય યુગ્મ સંખ્યાઓ શોધો.

જવાબ : (5, 7), (11, 13), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)

9. દરેક વિધાન સાચું (True) છે કે ખોટું (False) તે કહો તથા સમજાવો.

a. એવી કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી જેનો એકમનો અંક (unit digit) 4 હોય :
સાચું. કારણ કે એકમનો અંક 4 હોય તેવી સંખ્યા 2 વડે વિભાજ્ય બને છે.

b. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર (product) પણ અવિભાજ્ય હોઈ શકે છે :
ખોટું. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશાં વિભાજ્ય સંખ્યા જ બને.

c. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને કોઈ અવયવો હોતા નથી :
ખોટું. અવિભાજ્ય સંખ્યાને બરાબર 2 અવયવો (1 અને તે પોતે) હોય છે.

d. બધી યુગ્મ સંખ્યાઓ વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે :
ખોટું. કારણ કે 2 એ યુગ્મ સંખ્યા હોવા છતાં અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

e. 2 એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને પછીની સંખ્યા, 3 પણ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. દરેક અન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યા માટે, પછીની સંખ્યા વિભાજ્ય હોય છે :
સાચું. કારણ કે 2 સિવાયની તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એકી છે, જેથી તેની પછીની ક્રમિક સંખ્યા હંમેશાં બેકી હોવાથી વિભાજ્ય જ હોય છે.

10. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા બરાબર ત્રણ અલગ-અલગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે : 45, 60, 91, 105, 330?

અવિભાજ્ય અવયવ ચકાસતાં :
`45 = 3 \times 3 \times 5`
`60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5`
`91 = 7 \times 13`
`105 = 3 \times 5 \times 7` ⟶ બરાબર ત્રણ અલગ-અલગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
`330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11`
જવાબ : 105

11. તમે 2, 4 અને 5માંથી દરેકનો એકવાર ઉપયોગ કરીને ત્રણ-અંકની કેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો?

ઉકેલ :
બનતી સંખ્યાઓ : 245, 254, 425, 452, 524, 542.
આ તમામ સંખ્યાઓમાં એકમનો અંક 2, 4 અથવા 5 આવે છે, જે 2 અથવા 5 વડે વિભાજ્ય છે.
જવાબ : 0 (એક પણ નહીં)

12. નિરીક્ષણ કરો કે 3 એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને 2 × 3 + 1 = 7 પણ એક અવિભાજ્ય છે. શું એવી અન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે જેના બમણા કરીને 1 ઉમેરવાથી બીજી અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે? આવા ઓછામાં ઓછાં પાંચ ઉદાહરણ શોધો.

1. `2 \times 2 + 1 = 5`
2. `2 \times 5 + 1 = 11`
3. `2 \times 11 + 1 = 23`
4. `2 \times 23 + 1 = 47`
5. `2 \times 29 + 1 = 59`

✦ વિભાગ 5.3 : ખજાનાની સુરક્ષા માટે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ✦

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 115-117)

આપેલ જોડીઓ સુરક્ષિત છે કે કેમ તે તપાસો : a. 15 અને 39, b. 4 અને 15, c. 18 અને 29, d. 20 અને 55

a. 15 અને 39 : સામાન્ય અવયવ 3 છે ⟶ સુરક્ષિત નથી.
b. 4 અને 15 : સામાન્ય અવયવ માત્ર 1 છે ⟶ સુરક્ષિત છે.
c. 18 અને 29 : સામાન્ય અવયવ માત્ર 1 છે ⟶ સુરક્ષિત છે.
d. 20 અને 55 : સામાન્ય અવયવ 5 છે ⟶ સુરક્ષિત નથી.

નીચેનામાંથી સંખ્યાઓની કઈ જોડ સહ-અવિભાજ્ય છે? a. 18 અને 35, b. 15 અને 37, c. 30 અને 415, d. 17 અને 69, e. 81 અને 18

a. 18 અને 35 ⟶ સામાન્ય અવયવ 1 ⟶ સહ-અવિભાજ્ય છે.
b. 15 અને 37 ⟶ સામાન્ય અવયવ 1 ⟶ સહ-અવિભાજ્ય છે.
c. 30 અને 415 ⟶ સામાન્ય અવયવ 5 ⟶ સહ-અવિભાજ્ય નથી.
d. 17 અને 69 ⟶ સામાન્ય અવયવ 1 ⟶ સહ-અવિભાજ્ય છે.
e. 81 અને 18 ⟶ સામાન્ય અવયવ 9 ⟶ સહ-અવિભાજ્ય નથી.

ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 116-117)

જુદી જુદી સંખ્યાઓની જોડીઓ સાથે ‘ઈડલી—વડાં' રમત રમતી વખતે અંશુએ કંઈક રસપ્રદ અવલોકન કર્યું! a. ક્યારેક પ્રથમ સામાન્ય અવયવી તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો હતો. b. અન્ય સમયે પ્રથમ સામાન્ય અવયવી તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર કરતાં ઓછો હતો. ઉપરોક્ત દરેક માટે ઉદાહરણો શોધો. તે સંખ્યાઓની જોડ સહ-અવિભાજ્ય હોવા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

ઉકેલ :
a. જ્યારે બે સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય હોય (દા.ત., 4 અને 9), ત્યારે પ્રથમ સામાન્ય અવયવી તેમના ગુણાકાર જેટલો (`4 \times 9 = 36`) થાય છે.
b. જ્યારે બે સંખ્યાઓમાં 1 સિવાય અન્ય સામાન્ય અવયવ હોય (દા.ત., 4 અને 6), ત્યારે પ્રથમ સામાન્ય અવયવી તેમના ગુણાકાર કરતાં ઓછો (12 < 24) થાય છે.

સહ-અવિભાજ્ય કલા : શું આ બે સંખ્યાઓ (ખીલીઓની સંખ્યા અને દોરા વચ્ચેનું અંતર) સહ-અવિભાજ્ય હોવા સાથે સંબંધિત છે? નીચેના માટે આવા ચિત્રો બનાવો : a. 15 ખીલીઓ, દોરા વચ્ચેનું અંતર 10, b. 10 ખીલીઓ, દોરા વચ્ચેનું અંતર 7, c. 14 ખીલીઓ, દોરા વચ્ચેનું અંતર 6, d. 8 ખીલીઓ, દોરા વચ્ચેનું અંતર 3

હા, જ્યારે ખીલીઓની સંખ્યા અને અંતર સહ-અવિભાજ્ય હોય, ત્યારે દોરો દરેક ખીલી સાથે બંધાઈને સંપૂર્ણ આકૃતિ રચે છે.
• a. 15 અને 10 : ગુ.સા.અ. 5 હોવાથી તમામ ખીલીઓ જોડાશે નહીં.
• b. 10 અને 7 : સહ-અવિભાજ્ય હોવાથી દરેક ખીલી જોડાશે.
• c. 14 અને 6 : ગુ.સા.અ. 2 હોવાથી તમામ ખીલીઓ જોડાશે નહીં.
• d. 8 અને 3 : સહ-અવિભાજ્ય હોવાથી દરેક ખીલી જોડાશે.

✦ વિભાગ 5.4 : અવિભાજ્ય અવયવીકરણ (Prime Factorisation) ✦

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 120)

1. નીચેની સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવ શોધો : 64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000.

• `64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2`
• `104 = 2 \times 2 \times 2 \times 13`
• `105 = 3 \times 5 \times 7`
• `243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3`
• `320 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5`
• `141 = 3 \times 47`
• `1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3`
• `729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3`
• `1024 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2`
• `1331 = 11 \times 11 \times 11`
• `1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5`

2. એક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં એક વાર 2, બે વાર 3 અને એક વાર 11 છે. તે સંખ્યા કઈ છે?

`\text{સંખ્યા} = 2 \times 3 \times 3 \times 11`
`= 2 \times 9 \times 11`
`= 18 \times 11`
`= 198`

3. 30 કરતાં નાની હોય તેવી ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો, જેનો ગુણાકાર 1955 છે.

1955 ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતાં :
`1955 = 5 \times 17 \times 23`
જવાબ : 5, 17 અને 23

4. ગુણાકાર કર્યા વગર આ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવ શોધો : a. 56 × 25, b. 108 × 75, c. 1000 × 81

a. `56 \times 25` :
`= (2 \times 2 \times 2 \times 7) \times (5 \times 5)`
`= 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7`

b. `108 \times 75` :
`= (2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 5 \times 5)`
`= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5`

c. `1000 \times 81` :
`= (2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3)`
`= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5`

5. સૌથી નાની સંખ્યા કઈ છે જેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં a. ત્રણ અલગ અલગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય? b. ચાર અલગ અલગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય?

a. સૌથી નાની ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5 નો ગુણાકાર :
`= 2 \times 3 \times 5`
`= 30`

b. સૌથી નાની ચાર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5, 7 નો ગુણાકાર :
`= 2 \times 3 \times 5 \times 7`
`= 210`

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 122)

1. શું નીચેની સંખ્યાઓની જોડ સહ-અવિભાજ્ય છે? પહેલાં અનુમાન કરો અને પછી તમારા જવાબને ચકાસવા માટે અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરો. a. 30 અને 45, b. 57 અને 85, c. 121 અને 1331, d. 343 અને 216

a. `30 = 2 \times 3 \times 5` અને `45 = 3 \times 3 \times 5` (3 અને 5 સામાન્ય) ⟶ સહ-અવિભાજ્ય નથી.
b. `57 = 3 \times 19` અને `85 = 5 \times 17` (કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી) ⟶ સહ-અવિભાજ્ય છે.
c. 121 અને 1331 માં 11 સામાન્ય છે ⟶ સહ-અવિભાજ્ય નથી.
d. `343 = 7 \times 7 \times 7` અને `216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3` ⟶ સહ-અવિભાજ્ય છે.

2. શું પ્રથમ સંખ્યા બીજી સંખ્યાથી વિભાજ્ય છે? અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરો. a. 225 અને 27, b. 96 અને 24, c. 343 અને 17, d. 999 અને 99

a. `225 = 3 \times 3 \times 5 \times 5` અને `27 = 3 \times 3 \times 3` (27 ના તમામ અવયવો 225 માં નથી) ⟶ વિભાજ્ય નથી.
b. `96 = 2^5 \times 3` અને `24 = 2^3 \times 3` (24 ના તમામ અવયવ 96 માં છે) ⟶ વિભાજ્ય છે.
c. 343 અને 17 ⟶ વિભાજ્ય નથી.
d. `999 = 3 \times 3 \times 3 \times 37` અને `99 = 3 \times 3 \times 11` ⟶ વિભાજ્ય નથી.

3. પ્રથમ સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ 2 × 3 × 7 છે અને બીજી સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ 3 × 7 × 11 છે. શું તે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? શું તે એકબીજાને નિઃશેષ ભાગે છે?

તેમનો સામાન્ય અવયવ 3 × 7 = 21 હોવાથી તેઓ સહ-અવિભાજ્ય નથી અને એકબીજાને નિઃશેષ ભાગી શકતી નથી.

4. ગુણા કહે છે, “કોઈ પણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય હોય છે?”

હા, ગુણા સાચી છે. કારણ કે બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં 1 સિવાય અન્ય કોઈ સામાન્ય અવયવ હોઈ શકે નહીં.

✦ વિભાગ 5.5 : વિભાજ્યતાની ચાવીઓ (Keys of Divisibility) ✦

ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 123-125)

• શું 8560 એ 10, 5, 2, 4 અને 8 દ્વારા વિભાજ્ય છે?

• 10 દ્વારા : એકમનો અંક 0 હોવાથી હા, વિભાજ્ય છે.
• 5 દ્વારા : એકમનો અંક 0 હોવાથી હા, વિભાજ્ય છે.
• 2 દ્વારા : એકમનો અંક 0 હોવાથી હા, વિભાજ્ય છે.
• 4 દ્વારા : છેલ્લા બે અંક 60 એ 4 વડે વિભાજ્ય હોવાથી હા, વિભાજ્ય છે.
• 8 દ્વારા : છેલ્લા ત્રણ અંક 560 એ 8 વડે વિભાજ્ય (`560 \div 8 = 70`) હોવાથી હા, વિભાજ્ય છે.

વિચારો અને શોધો (પાના નં. 125-126)

1. 2024 એ લીપ (leap) વર્ષ છે. (કારણ કે, ફેબ્રુઆરીમાં 29 દિવસ છે) લીપ વર્ષ એવાં વર્ષોમાં આવે છે જે 4નો અવયવી હોય, સિવાય કે તે વર્ષો જે 100 દ્વારા વિભાજ્ય હોય પરંતુ 400 દ્વારા નહીં. a. તમે જનમ્યા તે વર્ષથી અત્યાર સુધી કયાં વર્ષો લીપ વર્ષ હતાં? b. 2024 થી 2099 સુધી, કેટલાં લીપ વર્ષો છે?

a. જન્મવર્ષ મુજબ (દા.ત., 2012, 2016, 2020, 2024).

b. 2024 થી 2096 સુધીના લીપ વર્ષોની સંખ્યા :
`= \frac{2096 - 2024}{4} + 1`
`= \frac{72}{4} + 1`
`= 18 + 1`
`= 19 \text{ લીપ વર્ષો}`

2. 4-અંકની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની એવી સંખ્યાઓ શોધો જે 4 દ્વારા વિભાજ્ય હોય અને પેલિન્ડ્રોમ (palindromes) પણ હોય.

સંખ્યા બેકી હોવી જરૂરી છે :
• સૌથી મોટી પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા : 8888 (છેલ્લા બે અંક 88 એ 4 વડે વિભાજ્ય છે).
• સૌથી નાની પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા : 2112 (છેલ્લા બે અંક 12 એ 4 વડે વિભાજ્ય છે).

3. દરેક વિધાન હંમેશાં સાચું, ક્યારેક સાચું કે ક્યારેય સાચું નથી તે શોધો. તમે તમારા તર્કના સમર્થનમાં ઉદાહરણો આપી શકો છો. a. બે યુગ્મ (even) સંખ્યાઓનો સરવાળો 4નો અવયવી આપે છે. b. બે અયુગ્મ (odd) સંખ્યાઓનો સરવાળો 4નો અવયવી આપે છે.

a. ક્યારેક સાચું. (દા.ત., 2 + 6 = 8 જે 4 નો અવયવી છે, પરંતુ 2 + 4 = 6 જે 4 નો અવયવી નથી).

b. ક્યારેક સાચું. (દા.ત., 1 + 3 = 4 જે 4 નો અવયવી છે, પરંતુ 1 + 5 = 6 જે 4 નો અવયવી નથી).

4. નીચેની દરેક સંખ્યાઓને (a) 10, (b) 5, (c) 2 વડે ભાગવામાં (divide) આવે ત્યારે મળતી શેષ (remainder) શોધો. 78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345

• 78 : (a) 10 વડે શેષ = 8, (b) 5 વડે શેષ = 3, (c) 2 વડે શેષ = 0
• 99 : (a) 10 વડે શેષ = 9, (b) 5 વડે શેષ = 4, (c) 2 વડે શેષ = 1
• 173 : (a) 10 વડે શેષ = 3, (b) 5 વડે શેષ = 3, (c) 2 વડે શેષ = 1
• 572 : (a) 10 વડે શેષ = 2, (b) 5 વડે શેષ = 2, (c) 2 વડે શેષ = 0
• 980 : (a) 10 વડે શેષ = 0, (b) 5 વડે શેષ = 0, (c) 2 વડે શેષ = 0
• 1111 : (a) 10 વડે શેષ = 1, (b) 5 વડે શેષ = 1, (c) 2 વડે શેષ = 1
• 2345 : (a) 10 વડે શેષ = 5, (b) 5 વડે શેષ = 0, (c) 2 વડે શેષ = 1

5. શિક્ષકે પૂછ્યું કે શું 14560 એ 2, 4, 5, 8 અને 10 દ્વારા વિભાજ્ય છે? ગુણાએ 14560ની વિભાજ્યતા આમાંથી ફક્ત બે સંખ્યાઓ દ્વારા તપાસી અને પછી જાહેર કર્યું કે તે આપેલી બધી જ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. તે બે સંખ્યાઓ કઈ હોઈ શકે?

જવાબ : 8 અને 10 (અથવા 8 અને 5).
કારણ : જો સંખ્યા 8 વડે વિભાજ્ય હોય તો તે 2 અને 4 વડે પણ વિભાજ્ય થાય જ; અને જો 10 વડે વિભાજ્ય હોય તો તે 2 અને 5 વડે પણ વિભાજ્ય થાય.

6. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યાઓ 2, 4, 5, 8 અને 10 દ્વારા વિભાજ્ય છે : 572, 2352, 5600, 6000, 77622160.

બધી ચાવીઓ ચકાસતાં એકમ 0 અને છેલ્લા 3 અંકો 8 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ :
જવાબ : 5600, 6000 અને 77622160

7. બે એવી સંખ્યાઓ લખો જેમનો ગુણાકાર 10000 છે. આ બે સંખ્યાઓમાં એકમનો અંક 0 ન હોવો જોઈએ.

`10000 = 2^4 \times 5^4`
`2^4 = 16`
`5^4 = 625`
ચકાસણી : `16 \times 625 = 10000`
જવાબ : 16 અને 625

✦ વિભાગ 5.6 : સંખ્યાઓ સાથે ગમ્મત (Fun with Numbers) ✦

ગાણિતિક ચર્ચા (પાના નં. 127-128)

• નીચે કેટલાંક ખાના છે, જેમાં દરેક ખાનામાં ચાર સંખ્યાઓ છે. દરેક ખાનામાં રહેલી સંખ્યા બાકીની સંખ્યાઓની તુલનામાં કેવી રીતે વિશિષ્ટ છે તે કહેવાનો પ્રયત્ન કરો.

• [5, 7, 12, 35] : 12 એ એકમાત્ર બેકી અને વિભાજ્ય સંખ્યા છે; 35 એ બે અંકની વિભાજ્ય સંખ્યા છે; 5 અને 7 અવિભાજ્ય છે.
• [3, 8, 11, 24] : 8 એ ઘન સંખ્યા (2³) છે; 11 એ બે અંકની અવિભાજ્ય છે; 24 સૌથી મોટી સંખ્યા છે.
• [27, 3, 123, 31] : 31 એ એકમાત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યા છે (બાકીની ત્રણેય સંખ્યાઓ 3 ના ગુણક છે).
• [17, 27, 44, 65] : 17 એ એકમાત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યા છે; 44 એકમાત્ર બેકી સંખ્યા છે.

• એક અવિભાજ્ય કોયડો (A Prime Puzzle - પાના નં. 127-128) :

કોયડો 1 (હરોળ: 105, 20, 30 / સ્તંભ: 28, 125, 18) :

હરોળ મુજબ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ :
• પ્રથમ હાર : 7, 5, 3 (`7 \times 5 \times 3 = 105`)
• બીજી હાર : 2, 5, 2 (`2 \times 5 \times 2 = 20`)
• ત્રીજી હાર : 2, 5, 3 (`2 \times 5 \times 3 = 30`)

સ્તંભ મુજબ ચકાસણી :
`7 \times 2 \times 2 = 28`
`5 \times 5 \times 5 = 125`
`3 \times 2 \times 3 = 18`

કોયડો 2 (હરોળ: 8, 105, 70 / સ્તંભ: 30, 70, 28) :

હરોળ મુજબ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ :
• પ્રથમ હાર : 2, 2, 2 (`2 \times 2 \times 2 = 8`)
• બીજી હાર : 3, 5, 7 (`3 \times 5 \times 7 = 105`)
• ત્રીજી હાર : 5, 7, 2 (`5 \times 7 \times 2 = 70`)

સ્તંભ મુજબ ચકાસણી :
`2 \times 3 \times 5 = 30`
`2 \times 5 \times 7 = 70`
`2 \times 7 \times 2 = 28`

કોયડો 3 (હરોળ: 63, 27, 190 / સ્તંભ: 45, 42, 171) :

હરોળ મુજબ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ :
• પ્રથમ હાર : 3, 3, 7 (`3 \times 3 \times 7 = 63`)
• બીજી હાર : 3, 3, 3 (`3 \times 3 \times 3 = 27`)
• ત્રીજી હાર : 5, 2, 19 (`5 \times 2 \times 19 = 190`)

સ્તંભ મુજબ ચકાસણી :
`3 \times 3 \times 5 = 45`
`3 \times 7 \times 2 = 42`
`3 \times 3 \times 19 = 171`

કોયડો 4 (હરોળ: 343, 660, 44 / સ્તંભ: 28, 154, 231) :

હરોળ મુજબ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ :
• પ્રથમ હાર : 7, 7, 7 (`7 \times 7 \times 7 = 343`)
• બીજી હાર : `2, 11, 30 \implies (2 \times 2, 11, 3 \times 5)`
• ત્રીજી હાર : 2, 2, 11 (`2 \times 2 \times 11 = 44`)

સ્તંભ મુજબ ચકાસણી :
`7 \times 2 \times 2 = 28`
`7 \times 11 \times 2 = 154`
`7 \times 3 \times 11 = 231`

---

✦ નીચે ધોરણ - 6 ના બધા વિષયોની link આપેલી છે. તેની મુલાકાત લેવી. ✦

ગુજરાતી હિન્દી સંસ્કૃત અંગ્રેજી ગણિત વિજ્ઞાન સામાજિક વિજ્ઞાન