ધોરણ-7 [ગણિત] 5. રેખા અને ખૂણા | std-7 [maths] 5. rekha ane khunao

GSEB Class 7 Maths Chapter 5 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 7 ગણિત પ્રકરણ 5 "રેખા અને ખૂણા" (Std 7 Maths Chapter 5 Rekha ane Khunao) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 5.1 અને 5.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, કોટિકોણ, પૂરકકોણ, આસન્નકોણ, રૈખિક જોડના ખૂણા, અભિકોણ તથા સમાંતર રેખાઓ અને છેદિકાથી બનતા ખૂણાઓ (અનુકોણ, યુગ્મકોણ) સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.

ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :

• ✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (Key Notes)
• ✦ સ્વાધ્યાય 5.1 સોલ્યુશન (Swadhyay 5.1)
• ✦ સ્વાધ્યાય 5.2 સોલ્યુશન (Swadhyay 5.2)
• ▶ વિડીયો સમજૂતી (Video Explanation)

✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 7 Maths chapter 5. rekha ane khunao imp notes) ✦

• રેખાખંડ, કિરણ અને રેખા :
     • રેખાખંડને બે અંત્યબિંદુઓ હોય છે.
     • કિરણને માત્ર એક જ અંત્યબિંદુ (ઉદ્ભવબિંદુ) હોય છે.
     • રેખાને બંને તરફ અનંત સુધી લંબાવી શકાય છે, તેને કોઈ અંત્યબિંદુ હોતું નથી.
• કોટિકોણ (Complementary Angles) : જો બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો 90° થતો હોય, તો તે બંને ખૂણાઓ એકબીજાના કોટિકોણ કહેવાય છે.
• પૂરકકોણ (Supplementary Angles) : જો બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો 180° થતો હોય, તો તે બંને ખૂણાઓ એકબીજાના પૂરકકોણ કહેવાય છે.
• આસન્નકોણ (Adjacent Angles) : જે બે ખૂણાઓમાં એક શિરોબિંદુ સામાન્ય હોય, એક ભુજ સામાન્ય હોય અને સામાન્ય ન હોય તેવા ભુજ સામાન્ય ભુજની સામસામેની બાજુએ આવેલા હોય તેમને આસન્નકોણ કહે છે.
• રૈખિક જોડના ખૂણા (Linear Pair) : એવા આસન્નકોણ કે જેમના સામાન્ય ન હોય તેવા ભુજ પરસ્પર વિરુદ્ધ કિરણો હોય. રૈખિક જોડના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે (સરવાળો 180° થાય).
• અભિકોણ (Vertically Opposite Angles) : બે રેખાઓ પરસ્પર છેદવાથી બનતા સામસામેના ખૂણાઓને અભિકોણ કહે છે. અભિકોણના માપ હંમેશાં સમાન હોય છે.
• છેદિકા અને સમાંતર રેખાઓ :
     જો બે સમાંતર રેખાઓને એક છેદિકા છેદે, તો:
     1. અનુકોણની પ્રત્યેક જોડના ખૂણા સમાન હોય છે (`\text{F}` આકાર).
     2. અંતઃ યુગ્મકોણની પ્રત્યેક જોડના ખૂણા સમાન હોય છે (`\text{Z}` આકાર).
     3. છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે (સરવાળો 180° થાય) (`\text{C}` આકાર).

✦ સ્વાધ્યાય 5.1 (std 7 Maths chapter 5.1 rekha ane khunao swadhyay) ✦

1. નીચેના દરેક ખૂણાનો કોટિકોણ શોધો :

(i) 20°

ઉકેલ - (i) :
કોટિકોણનું માપ `= 90° - 20°`
`= 70°`
આમ, 20° ના ખૂણાનો કોટિકોણ 70° થાય.

(ii) 63°

ઉકેલ - (ii) :
કોટિકોણનું માપ `= 90° - 63°`
`= 27°`
આમ, 63° ના ખૂણાનો કોટિકોણ 27° થાય.

(iii) 57°

ઉકેલ - (iii) :
કોટિકોણનું માપ `= 90° - 57°`
`= 33°`
આમ, 57° ના ખૂણાનો કોટિકોણ 33° થાય.

2. નીચેના દરેક ખૂણાનો પૂરકકોણ શોધો :

(i) 105°

ઉકેલ - (i) :
પૂરકકોણનું માપ `= 180° - 105°`
`= 75°`
આમ, 105° ના ખૂણાનો પૂરકકોણ 75° થાય.

(ii) 87°

ઉકેલ - (ii) :
પૂરકકોણનું માપ `= 180° - 87°`
`= 93°`
આમ, 87° ના ખૂણાનો પૂરકકોણ 93° થાય.

(iii) 154°

ઉકેલ - (iii) :
પૂરકકોણનું માપ `= 180° - 154°`
`= 26°`
આમ, 154° ના ખૂણાનો પૂરકકોણ 26° થાય.

3. નીચેનામાંથી કઈ જોડ કોટિકોણની અને કઈ જોડ પૂરકકોણની છે તે નક્કી કરો :

(i) 65°, 115°

સરવાળો `= 65° + 115°`
`= 180°`
સરવાળો 180° હોવાથી આ જોડ પૂરકકોણની જોડ છે.

(ii) 63°, 27°

સરવાળો `= 63° + 27°`
`= 90°`
સરવાળો 90° હોવાથી આ જોડ કોટિકોણની જોડ છે.

(iii) 112°, 68°

સરવાળો `= 112° + 68°`
`= 180°`
સરવાળો 180° હોવાથી આ જોડ પૂરકકોણની જોડ છે.

(iv) 130°, 50°

સરવાળો `= 130° + 50°`
`= 180°`
સરવાળો 180° હોવાથી આ જોડ પૂરકકોણની જોડ છે.

(v) 45°, 45°

સરવાળો `= 45° + 45°`
`= 90°`
સરવાળો 90° હોવાથી આ જોડ કોટિકોણની જોડ છે.

(vi) 80°, 10°

સરવાળો `= 80° + 10°`
`= 90°`
સરવાળો 90° હોવાથી આ જોડ કોટિકોણની જોડ છે.

4. એવો ખૂણો શોધો જે તેના કોટિકોણ જેટલો હોય.

ઉકેલ - 4 :
ધારો કે ખૂણાનું માપ `x` છે.
તેના કોટિકોણનું માપ પણ `x` થાય.
બે કોટિકોણનો સરવાળો 90° થાય :
`x + x = 90°`
`2x = 90°`
`x = \frac{90°}{2}`
`x = 45°`
આમ, 45° નો ખૂણો તેના કોટિકોણ જેટલો હોય.

5. એવો ખૂણો શોધો જે તેના પૂરકકોણ જેટલો હોય.

ઉકેલ - 5 :
ધારો કે ખૂણાનું માપ `x` છે.
તેના પૂરકકોણનું માપ પણ `x` થાય.
બે પૂરકકોણનો સરવાળો 180° થાય :
`x + x = 180°`
`2x = 180°`
`x = \frac{180°}{2}`
`x = 90°`
આમ, 90° નો ખૂણો તેના પૂરકકોણ જેટલો હોય.

6. બાજુની આકૃતિમાં ∠1 અને ∠2 પૂરકકોણ છે. જો ∠1 ઘટાડવામાં આવે તો ∠2 માં કયો ફેરફાર થવો જોઈએ કે જેથી તે બંને પૂરકકોણ જ રહે ?

ઉકેલ - 6 :
`∠1 + ∠2 = 180°` હોવાથી,
જો `∠1` નું માપ જેટલું ઘટાડવામાં આવે, તેટલું જ માપ `∠2` માં વધારવું જોઈએ, જેથી બંને ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જળવાઈ રહે અને તેઓ પૂરકકોણ રહે.

7. બે ખૂણા પૂરક હોઈ શકે, જો તે બંને :

(i) લઘુકોણ હોય ?
ના, કારણ કે બે લઘુકોણનો સરવાળો હંમેશાં 180° કરતાં ઓછો થાય (`< 90° + < 90° < 180°`).

(ii) ગુરુકોણ હોય ?
ના, કારણ કે બે ગુરુકોણનો સરવાળો હંમેશાં 180° કરતાં વધુ થાય (`> 90° + > 90° > 180°`).

(iii) કાટકોણ હોય ?
હા, કારણ કે બે કાટકોણનો સરવાળો બરાબર 180° થાય (`90° + 90° = 180°`).

8. એક ખૂણો 45° કરતાં મોટો હોય તો તેનો કોટિકોણ 45° થી મોટો, 45° જેટલો કે 45° કરતાં નાનો હોય ?

ઉકેલ - 8 :
ધારો કે ખૂણો `x > 45°` છે.
કોટિકોણનું માપ `= 90° - x`
જો `x` એ 45° કરતાં મોટો હોય, તો 90° માંથી બાદ કરતાં મળતો કોટિકોણ 45° કરતાં નાનો જ મળે.

9. ખાલી જગ્યા પૂરો :

(i) જો બે ખૂણા કોટિકોણ હોય તો તેમના માપનો સરવાળો 90° થાય.
(ii) જો બે ખૂણા પૂરકકોણ હોય તો તેમના માપનો સરવાળો 180° થાય.
(iii) જો બે આસન્નકોણ પૂરક હોય તો તે રૈખિક જોડ રચે.
(iv) જો બે આસન્નકોણ રૈખિક જોડ રચતા હોય, તો તે પૂરકકોણ હોય.
(v) જો બે રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે, તો અભિકોણનાં માપ હંમેશાં સમાન હોય.
(vi) જો બે રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે અને અભિકોણની એક જોડ લઘુકોણ હોય, તો અભિકોણની બીજી જોડ ગુરુકોણ હોય.

10. પાઠ્યપુસ્તકની આકૃતિમાંથી માગેલ ખૂણાની જોડનાં નામ જણાવો :

(i) અભિકોણો જે ગુરુકોણ હોય : ∠AOD અને ∠BOC
(ii) આસન્ન કોટિકોણ : ∠EOA અને ∠AOB
(iii) સમાન પૂરકકોણ : ∠EOB અને ∠EOD (બંને 90° ના છે)
(iv) અસમાન પૂરકકોણ : ∠EOA અને ∠EOC (અથવા ∠AOB અને ∠BOC)
(v) આસન્નકોણ જે રૈખિક જોડ રચતા નથી : (1) ∠AOB અને ∠AOE, (2) ∠AOE અને ∠EOD, (3) ∠EOD અને ∠COD

✦ સ્વાધ્યાય 5.2 (std 7 Maths chapter 5.2 rekha ane khunao swadhyay) ✦

1. નીચેના દરેક વિધાનમાં જે ગુણધર્મનો ઉપયોગ થાય છે તે જણાવો :

(i) જો a ∥ b તો ∠1 = ∠5.

જવાબ : અનુકોણનો ગુણધર્મ.
(બે સમાંતર રેખાઓને છેદિકા છેદે ત્યારે બનતા અનુકોણની જોડ સમાન હોય છે)

(ii) જો ∠4 = ∠6 તો a ∥ b.

જવાબ : અંતઃ યુગ્મકોણનો ગુણધર્મ.
(જો છેદિકાથી બનતા અંતઃ યુગ્મકોણ સમાન હોય, તો બંને રેખાઓ સમાંતર હોય છે)

(iii) જો ∠4 + ∠5 = 180° તો a ∥ b.

જવાબ : છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણનો ગુણધર્મ.
(જો છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય, તો બંને રેખાઓ સમાંતર હોય છે)

2. બાજુની આકૃતિમાંથી કહો :

(i) અનુકોણની જોડો :
1. ∠1 અને ∠5
2. ∠2 અને ∠6
3. ∠4 અને ∠8
4. ∠3 અને ∠7

(ii) અંતઃ યુગ્મકોણની જોડો :
1. ∠3 અને ∠5
2. ∠2 અને ∠8

(iii) છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણની જોડો :
1. ∠3 અને ∠8
2. ∠2 અને ∠5

(iv) અભિકોણની જોડો :
1. ∠1 અને ∠3
2. ∠2 અને ∠4
3. ∠5 અને ∠7
4. ∠6 અને ∠8

3. બાજુની આકૃતિમાં p ∥ q છે. અજ્ઞાત ખૂણાઓ e, f, a, b, c, d શોધો (આપેલ ખૂણો 125° છે) :

ઉકેલ - 3 :
• `e` અને 125° રૈખિક જોડ રચે છે :
`e + 125° = 180°`
`e = 180° - 125°`
`e = 55°`

• `f` અને `e` અભિકોણ છે :
`f = e`
`f = 55°`

• `a` અને `e` અંતઃ યુગ્મકોણ છે (`p ∥ q` હોવાથી) :
`a = e`
`a = 55°`

• `d` અને 125° અનુકોણ છે :
`d = 125°`

• `b` અને `d` અભિકોણ છે :
`b = d`
`b = 125°`

• `c` અને `a` અભિકોણ છે :
`c = a`
`c = 55°`

આમ, અજ્ઞાત ખૂણાઓ : a = 55°, b = 125°, c = 55°, d = 125°, e = 55° અને f = 55° થાય.

4. જો l ∥ m હોય તો નીચેની દરેક આકૃતિમાં x નું મૂલ્ય શોધો :

(i) આકૃતિ (i) માં (110° નો ખૂણો આપેલ છે) :

ઉકેલ - (i) :
110° ના ખૂણાનો રૈખિક જોડનો ખૂણો `y` લઈએ :
`y + 110° = 180°`
`y = 180° - 110°`
`y = 70°`
હવે `x` અને `y` અનુકોણ છે (`l ∥ m` હોવાથી) :
`x = y`
`x = 70°`

(ii) આકૃતિ (ii) માં (100° નો ખૂણો આપેલ છે) :

ઉકેલ - (ii) :
અહીં રેખાઓ `l ∥ m` છે અને રેખા `a` તેમની છેદિકા છે.
`x` અને 100° નો ખૂણો સીધા અનુકોણ બનાવે છે :
`x = 100°` (અનુકોણની જોડ)

5. બાજુની આકૃતિમાં બંને ખૂણાની બાજુ સમાંતર છે. જો ∠ABC = 70° હોય તો : (i) ∠DGC અને (ii) ∠DEF શોધો.

ઉકેલ - 5 :
(i) `\overline{AB} ∥ \overline{DG}` અને `\overline{BC}` તેમની છેદિકા છે :
`∠DGC` અને `∠ABC` અનુકોણ બનાવે છે.
`∠DGC = ∠ABC`
`∠DGC = 70°`

(ii) `\overline{BC} ∥ \overline{EF}` અને `\overline{DE}` તેમની છેદિકા છે :
`∠DEF` અને `∠DGC` અનુકોણ બનાવે છે.
`∠DEF = ∠DGC`
`∠DEF = 70°`

6. નીચેની આકૃતિઓમાં l અને m સમાંતર છે કે નહિ તે નક્કી કરો :

(i) અંદરના ખૂણાઓ 126° અને 44° આપેલા છે :

છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણનો સરવાળો કરીએ :
`\text{સરવાળો} = 126° + 44°`
`= 170°`
અહીં સરવાળો 180° થતો નથી (પૂરક નથી).
આથી, રેખાઓ `l` અને `m` સમાંતર નથી.

(ii) 75° અને 75° ના ખૂણા આપેલા છે :

75° ના અભિકોણ સામે રૈખિક જોડનો ખૂણો શોધીએ :
`180° - 75° = 105°`
છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણનો સરવાળો `= 75° + 75° = 150° \ne 180°`
આથી, રેખાઓ `l` અને `m` સમાંતર નથી.

(iii) 57° અને 123° ના ખૂણા આપેલા છે :

57° નો રૈખિક જોડનો ખૂણો `= 180° - 57° = 123°`
અહીં અનુકોણની જોડ 123° અને 123° સમાન મળે છે.
આથી, રેખાઓ `l` અને `m` સમાંતર છે.

(iv) 72° અને 98° ના ખૂણા આપેલા છે :

72° ના ખૂણાનો રૈખિક જોડનો ખૂણો `= 180° - 72° = 108°`
અનુકોણના માપ 108° અને 98° સરખા થતા નથી (`108° \ne 98°`).
આથી, રેખાઓ `l` અને `m` સમાંતર નથી.

---

✦ નીચે ધોરણ - 7 ના બધા વિષયોની link આપેલી છે. તેની મુલાકાત લેવી. ✦

ગુજરાતી હિન્દી સંસ્કૃત અંગ્રેજી ગણિત વિજ્ઞાન સામાજિક વિજ્ઞાન