GSEB Class 7 Maths Chapter 6 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 7 ગણિત પ્રકરણ 6 "ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો" (Std 7 Maths Chapter 6 Trikon ane tena Gunadharmo) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 અને 6.5 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, ત્રિકોણની મધ્યગા, વેધ, બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ, ત્રણેય ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ, બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો તથા પાયથાગોરસનો ગુણધર્મ સહિત પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 7 Maths chapter 6. trikon ane tena gunadharmo imp notes) ✦
- ત્રિકોણ : ત્રણ પરસ્પર છેદતા રેખાખંડોથી બનતી બંધ સમતલીય આકૃતિને ત્રિકોણ કહેવાય છે. ત્રિકોણને 3 શિરોબિંદુઓ, 3 બાજુઓ અને 3 ખૂણાઓ એમ કુલ 6 અંગો હોય છે.
- મધ્યગા (Median) : ત્રિકોણના શિરોબિંદુને તેની સામેની બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતા રેખાખંડને ત્રિકોણની મધ્યગા કહે છે. કોઈપણ ત્રિકોણને 3 મધ્યગા હોય છે.
- વેધ (Altitude) : ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી તેની સામેની બાજુને સમાવતી રેખા પર દોરેલા લંબ રેખાખંડને ત્રિકોણનો વેધ કહે છે. કોઈપણ ત્રિકોણને 3 વેધ હોય છે.
- બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ (Exterior Angle Property) : ત્રિકોણના કોઈપણ બહિષ્કોણનું માપ તેના બંને અંતઃસંમુખકોણના માપના સરવાળા જેટલું હોય છે.
`\text{બહિષ્કોણનું માપ} = \text{બે અંતઃસંમુખકોણના માપનો સરવાળો}` - ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ (Angle Sum Property) : ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશાં 180° થાય છે.
- વિશિષ્ટ ત્રિકોણો :
• સમબાજુ ત્રિકોણ : ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય અને દરેક ખૂણાનું માપ 60° હોય.
• સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ : કોઈપણ બે બાજુઓ સમાન હોય અને સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા પણ સમાન હોય. - બાજુઓની લંબાઈનો ગુણધર્મ : ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશાં ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતાં વધારે હોય છે. તેમજ કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં ઓછો હોય છે.
- પાયથાગોરસનો ગુણધર્મ (Pythagoras Property) : કાટકોણ ત્રિકોણમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુને કર્ણ (Hypotenuse) કહે છે.
`\text{કર્ણ}^2 = \text{પાયો}^2 + \text{વેધ}^2` અથવા `\text{કર્ણ}^2 = \text{બાજુ}_1^2 + \text{બાજુ}_2^2`
✦ સ્વાધ્યાય 6.1 (std 7 Maths chapter 6.1 trikon ane tena gunadharmo swadhyay) ✦
1. ΔPQR માં, D એ QR નું મધ્યબિંદુ છે :
• `\overline{PD}` એ મધ્યગા છે. (કારણ કે D એ QR નું મધ્યબિંદુ છે)
• શું QM = MR ? ⟶ ના, QM ≠ MR (કારણ કે M એ મધ્યબિંદુ નથી પરંતુ D મધ્યબિંદુ છે).
2. નીચેના માટે કાચી આકૃતિ દોરો :
(a) ΔABC માં BE મધ્યગા છે.
ΔABC દોરો. બાજુ AC નું મધ્યબિંદુ E લો. શિરોબિંદુ B ને મધ્યબિંદુ E સાથે જોડતો રેખાખંડ `\overline{BE}` દોરો. આમ, `\overline{BE}` એ ΔABC ની મધ્યગા થશે.
(b) ΔPQR માં PQ અને PR ત્રિકોણના વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ PQR દોરો જેમાં ∠P = 90° હોય. અહીં બાજુ `\overline{PQ}` એ `\overline{PR}` પર લંબ છે અને બાજુ `\overline{PR}` એ `\overline{PQ}` પર લંબ છે. આમ, બંને બાજુઓ જ ત્રિકોણના વેધ બને છે.
(c) ΔXYZ માં YL ત્રિકોણની બહારના ભાગમાં આવેલો વેધ છે.
એક ગુરુકોણ ત્રિકોણ XYZ દોરો (જેમાં ∠X ગુરુકોણ હોય). શિરોબિંદુ Y માંથી સામેની બાજુ XZ ને લંબાવીને તેના પર લંબ રેખાખંડ `\overline{YL}` દોરો. અહીં બિંદુ L એ ત્રિકોણની બહારના ભાગમાં મળશે.
3. આકૃતિ દોરીને ચકાસો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં મધ્યગા અને વેધ સમાન હોઈ શકે.
એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC દોરો જેમાં AB = AC હોય.
શિરોબિંદુ A માંથી સામેની બાજુ BC નું મધ્યબિંદુ D શોધીને રેખાખંડ AD દોરો.
અહીં `\overline{AD}` એ મધ્યગા બને છે.
હવે કોણમાપકથી માપતાં ∠ADB = ∠ADC = 90° મળે છે.
આથી `\overline{AD}` એ બાજુ BC પરનો લંબ એટલે કે વેધ પણ બને છે.
આમ, સાબિત થાય છે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં મધ્યગા અને વેધ સમાન હોઈ શકે.
✦ સ્વાધ્યાય 6.2 (std 7 Maths chapter 6.2 trikon ane tena gunadharmo swadhyay) ✦
1. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત બહિષ્કોણ x નું માપ શોધો :
(i) અંતઃસંમુખકોણ 50° અને 70°
`x = 50° + 70°`
`= 120°`
(ii) અંતઃસંમુખકોણ 65° અને 45°
`= 110°`
(iii) અંતઃસંમુખકોણ 30° અને 40°
`= 70°`
(iv) અંતઃસંમુખકોણ 60° અને 60°
`= 120°`
(v) અંતઃસંમુખકોણ 50° અને 50°
`= 100°`
(vi) અંતઃસંમુખકોણ 30° અને 60°
`= 90°`
2. નીચેની આકૃતિઓમાં અંદરના અજ્ઞાત ખૂણા x નું માપ શોધો :
(i) બહિષ્કોણ = 115°, એક અંતઃકોણ = 50°
`x = 115° - 50°`
`= 65°`
(ii) બહિષ્કોણ = 100°, એક અંતઃકોણ = 70°
`x = 100° - 70°`
`= 30°`
(iii) બહિષ્કોણ = 125°, એક અંતઃકોણ = 90° (કાટખૂણો)
`x = 125° - 90°`
`= 35°`
(iv) બહિષ્કોણ = 120°, એક અંતઃકોણ = 60°
`x = 120° - 60°`
`= 60°`
(v) બહિષ્કોણ = 80°, એક અંતઃકોણ = 30°
`x = 80° - 30°`
`= 50°`
(vi) બહિષ્કોણ = 75°, એક અંતઃકોણ = 35°
`x = 75° - 35°`
`= 40°`
✦ સ્વાધ્યાય 6.3 (std 7 Maths chapter 6.3 trikon ane tena gunadharmo swadhyay) ✦
1. નીચેની આકૃતિમાં અજ્ઞાત x નું મૂલ્ય શોધો :
(i) ΔABC માં ખૂણાઓ x, 50° અને 60°
`x + 50° + 60° = 180°`
`x + 110° = 180°`
`x = 180° - 110°`
`= 70°`
(ii) ΔPQR માં ∠P = 90°, ∠Q = 30° અને ∠R = x
`x + 120° = 180°`
`x = 180° - 120°`
`= 60°`
(iii) ΔXYZ માં ખૂણાઓ 30°, 110° અને x
`x + 140° = 180°`
`x = 180° - 140°`
`= 40°`
(iv) ખૂણાઓ 50°, x અને x
`2x + 50° = 180°`
`2x = 180° - 50°`
`2x = 130°`
`x = \frac{130°}{2}`
`= 65°`
(v) ત્રણેય ખૂણા સમાન x, x, x
`3x = 180°`
`x = \frac{180°}{3}`
`= 60°`
(vi) ખૂણાઓ 2x, x અને 90°
`3x + 90° = 180°`
`3x = 180° - 90°`
`3x = 90°`
`x = \frac{90°}{3}`
`= 30°`
2. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત x અને y નાં મૂલ્યો શોધો :
(i) બહિષ્કોણ = 120°, અંતઃકોણ = 50°, y અને x
`y + 120° = 180°`
`y = 180° - 120°`
`= 60°`
• બહિષ્કોણના નિયમ મુજબ :
`x + 50° = 120°`
`x = 120° - 50°`
`= 70°`
આમ, `x = 70°` અને `y = 60°` થાય.
(ii) અભિકોણ = 80°, અંતઃકોણ = 50°, y અને x
`y = 80°`
• ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા મુજબ :
`x + y + 50° = 180°`
`x + 80° + 50° = 180°`
`x + 130° = 180°`
`x = 180° - 130°`
`= 50°`
આમ, `x = 50°` અને `y = 80°` થાય.
(iii) અંતઃકોણ = 50° અને 60°, બહિષ્કોણ = x, ત્રીજો ખૂણો = y
`x = 50° + 60°`
`= 110°`
• `y` અને `x` રૈખિક જોડ રચે છે :
`y + x = 180°`
`y + 110° = 180°`
`y = 180° - 110°`
`= 70°`
આમ, `x = 110°` અને `y = 70°` થાય.
(iv) અભિકોણ = 60°, અંતઃકોણ = 30°, y અને x
`x = 60°`
• ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો :
`y + x + 30° = 180°`
`y + 60° + 30° = 180°`
`y + 90° = 180°`
`y = 180° - 90°`
`= 90°`
આમ, `x = 60°` અને `y = 90°` થાય.
(v) અભિકોણ = 90°, બે ખૂણા સમાન x, x અને y
`y = 90°`
• ત્રિકોણના ખૂણાઓ :
`x + x + y = 180°`
`2x + 90° = 180°`
`2x = 180° - 90°`
`2x = 90°`
`x = \frac{90°}{2}`
`= 45°`
આમ, `x = 45°` અને `y = 90°` થાય.
(vi) ત્રણેય શિરોબિંદુએ અભિકોણ x છે
`x + x + x = 180°`
`3x = 180°`
`x = \frac{180°}{3}`
`= 60°`
અને `y = x = 60°`
આમ, `x = 60°` અને `y = 60°` થાય.
✦ સ્વાધ્યાય 6.4 (std 7 Maths chapter 6.4 trikon ane tena gunadharmo swadhyay) ✦
1. નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ શક્ય છે ?
(i) 2 સેમી, 3 સેમી, 5 સેમી
`2 + 3 = 5 \text{ સેમી}`
અહીં સરવાળો ત્રીજી બાજુ (5 સેમી) જેટલો જ થાય છે (મોટો થતો નથી).
`2 + 3 \ngtr 5`
આથી, આવો ત્રિકોણ શક્ય નથી.
(ii) 3 સેમી, 6 સેમી, 7 સેમી
`3 + 6 = 9 > 7`
`6 + 7 = 13 > 3`
`3 + 7 = 10 > 6`
કોઈપણ બે બાજુનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો થાય છે.
આથી, આવો ત્રિકોણ શક્ય છે.
(iii) 6 સેમી, 3 સેમી, 2 સેમી
`3 + 2 = 5 \text{ સેમી}`
અહીં `5 < 6` (સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં નાનો છે).
આથી, આવો ત્રિકોણ શક્ય નથી.
2. ΔPQR ના અંદરના ભાગમાં કોઈ પણ બિંદુ O લો :
હા, કારણ કે ΔOPQ માં બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય (`OP + OQ > PQ`).
(ii) શું OQ + OR > QR ?
હા, કારણ કે ΔOQR માં `OQ + OR > QR` થાય.
(iii) શું OR + OP > RP ?
હા, કારણ કે ΔORP માં `OR + OP > RP` થાય.
3. ΔABC ની મધ્યગા AM છે. શું AB + BC + CA > 2AM થાય ?
• ΔABM માં :
`AB + BM > AM` --- (સમીકરણ 1)
• ΔAMC માં :
`AC + MC > AM` --- (સમીકરણ 2)
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં :
`AB + BM + AC + MC > AM + AM`
`AB + (BM + MC) + AC > 2AM`
પરંતુ `BM + MC = BC` છે.
`AB + BC + CA > 2AM`
આમ, હા, સાબિત થાય છે.
4. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે. શું AB + BC + CD + DA > AC + BD થાય ?
ત્રિકોણની બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય તે ગુણધર્મ પરથી :
1. ΔABC માં : `AB + BC > AC`
2. ΔADC માં : `CD + DA > AC`
3. ΔABD માં : `AB + DA > BD`
4. ΔBCD માં : `BC + CD > BD`
આ ચારેય અસમતાઓનો સરવાળો કરતાં :
`(AB + BC) + (CD + DA) + (AB + DA) + (BC + CD) > AC + AC + BD + BD`
`2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD`
`2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)`
બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં :
`AB + BC + CD + DA > AC + BD`
આમ, હા, સાબિત થાય છે.
5. ABCD એક ચતુષ્કોણ છે. શું AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD) થાય ?
ધારો કે વિકર્ણો AC અને BD બિંદુ O માં છેદે છે.
1. ΔOAB માં : `OA + OB > AB`
2. ΔOBC માં : `OB + OC > BC`
3. ΔOCD માં : `OC + OD > CD`
4. ΔODA માં : `OD + OA > DA`
ચારેયનો સરવાળો કરતાં :
`2OA + 2OB + 2OC + 2OD > AB + BC + CD + DA`
`2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA`
પરંતુ `OA + OC = AC` અને `OB + OD = BD` છે :
`2AC + 2BD > AB + BC + CD + DA`
`2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA`
એટલે કે :
`AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)`
આમ, હા, સાબિત થાય છે.
6. એક ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ 12 સેમી અને 15 સેમી છે. ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કયા બે માપની વચ્ચે આવવી જોઈએ ?
બે બાજુઓનો સરવાળો `= 15 + 12 = 27 \text{ સેમી}`
બે બાજુઓનો તફાવત `= 15 - 12 = 3 \text{ સેમી}`
ત્રીજી બાજુની લંબાઈ બંને બાજુના તફાવત કરતાં મોટી અને સરવાળા કરતાં નાની હોવી જોઈએ.
આમ, ત્રીજી બાજુની લંબાઈ 3 સેમી અને 27 સેમી વચ્ચે આવવી જોઈએ.
✦ સ્વાધ્યાય 6.5 (std 7 Maths chapter 6.5 trikon ane tena gunadharmo swadhyay) ✦
1. ΔPQR માં ∠P કાટખૂણો છે. જો PQ = 10 સેમી અને PR = 24 સેમી હોય, તો QR શોધો.
અહીં ∠P કાટખૂણો હોવાથી QR કર્ણ બને.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ :
`QR^2 = PQ^2 + PR^2`
`QR^2 = 10^2 + 24^2`
`QR^2 = 100 + 576`
`QR^2 = 676`
`QR = \sqrt{676}`
`QR = 26 \text{ સેમી}`
આમ, `QR = 26 \text{ સેમી}` થાય.
2. ΔABC માં ∠C કાટખૂણો છે. જો AB = 25 સેમી અને AC = 7 સેમી, તો BC શોધો.
અહીં AB કર્ણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ :
`AB^2 = AC^2 + BC^2`
`25^2 = 7^2 + BC^2`
`625 = 49 + BC^2`
`BC^2 = 625 - 49`
`BC^2 = 576`
`BC = \sqrt{576}`
`BC = 24 \text{ સેમી}`
આમ, `BC = 24 \text{ સેમી}` થાય.
3. 15 મીટર લાંબી નિસરણીને દીવાલ સાથે ટેકવતાં તે જમીનથી 12 મીટર ઊંચી બારી સુધી પહોંચે છે. નિસરણીના જમીન પરના છેડાનું દીવાલથી અંતર a શોધો.
અહીં નિસરણી કર્ણ (15 મીટર) બનાવે છે અને દીવાલની ઊંચાઈ 12 મીટર છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ :
`15^2 = 12^2 + a^2`
`225 = 144 + a^2`
`a^2 = 225 - 144`
`a^2 = 81`
`a = \sqrt{81}`
`a = 9 \text{ મીટર}`
આમ, નિસરણીના છેડાનું દીવાલથી અંતર 9 મીટર છે.
4. નીચેનામાંથી કાટકોણ ત્રિકોણની કઈ બાજુઓ હોઈ શકે ? જો હોય તો કાટખૂણો નક્કી કરો :
(i) 2.5 સેમી, 6.5 સેમી, 6 સેમી
`6.5^2 = 42.25`
નાની બે બાજુના વર્ગોનો સરવાળો :
`2.5^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25`
અહીં `2.5^2 + 6^2 = 6.5^2` સાચું પડે છે.
આથી, આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને 6.5 સેમી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણો છે.
(ii) 2 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી
નાની બે બાજુના વર્ગોનો સરવાળો : `2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8`
અહીં `8 \ne 25` હોવાથી આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ નથી.
(iii) 1.5 સેમી, 2 સેમી, 2.5 સેમી
નાની બે બાજુના વર્ગોનો સરવાળો : `1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25`
અહીં `1.5^2 + 2^2 = 2.5^2` થાય છે.
આથી, આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને 2.5 સેમી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણો છે.
5. એક ઝાડ જમીન પરથી 5 મીટર ઊંચાઈએથી તૂટી પડે છે અને તેની ટોચ ઝાડના થડથી 12 મીટર અંતરે જમીનને અડે છે. ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ શોધો.
અહીં કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે, જેમાં :
ઝાડનો ઊભો ભાગ = 5 મીટર
જમીન પરનું અંતર = 12 મીટર
તૂટીને ઢળેલો ભાગ (કર્ણ) = x
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ :
`x^2 = 5^2 + 12^2`
`x^2 = 25 + 144`
`x^2 = 169`
`x = \sqrt{169}`
`x = 13 \text{ મીટર}`
ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ `= \text{ઊભો ભાગ} + \text{તૂટેલો ભાગ}`
`= 5 + 13`
`= 18 \text{ મીટર}`
આમ, ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ 18 મીટર હતી.
6. ΔPQR માં ∠Q = 25° અને ∠R = 65° છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે તે લખો :
ΔPQR માં ખૂણો P શોધીએ :
`∠P + 25° + 65° = 180°`
`∠P + 90° = 180°`
`∠P = 180° - 90° = 90°`
અહીં ∠P કાટખૂણો હોવાથી QR કર્ણ બને.
પાયથાગોરસના નિયમ મુજબ : `PQ^2 + PR^2 = QR^2`
આથી વિધાન (ii) `PQ^2 + RP^2 = QR^2` સાચું છે.
7. જેની બાજુની લંબાઈ 40 સેમી અને વિકર્ણની લંબાઈ 41 સેમી હોય તેવા લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો.
લંબચોરસમાં દરેક ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
લંબાઈ `l = 40 \text{ સેમી}`, વિકર્ણ `= 41 \text{ સેમી}`, પહોળાઈ = b
કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ :
`41^2 = 40^2 + b^2`
`1681 = 1600 + b^2`
`b^2 = 1681 - 1600`
`b^2 = 81`
`b = \sqrt{81}`
`b = 9 \text{ સેમી}`
`\text{લંબચોરસની પરિમિતિ} = 2(\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})`
`= 2(40 + 9)`
`= 2(49)`
`= 98 \text{ સેમી}`
આમ, લંબચોરસની પરિમિતિ 98 સેમી થાય.
8. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના માપ 16 સેમી અને 30 સેમી છે. તેની પરિમિતિ શોધો.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
અડધા વિકર્ણોના માપ :
`d_1 / 2 = \frac{16}{2} = 8 \text{ સેમી}`
`d_2 / 2 = \frac{30}{2} = 15 \text{ સેમી}`
કાટકોણ ત્રિકોણમાં બાજુ (કર્ણ) `a` શોધતાં :
`a^2 = 8^2 + 15^2`
`a^2 = 64 + 225`
`a^2 = 289`
`a = \sqrt{289}`
`a = 17 \text{ સેમી}`
`\text{સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ} = 4 \times \text{બાજુ}`
`= 4 \times 17`
`= 68 \text{ સેમી}`
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ 68 સેમી થાય.
Post a Comment