GSEB Class 8 Maths Chapter 11 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 11 "સમપ્રમાણ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ" (Std 8 Maths Chapter 11 Sampraman ane Vyast Praman) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 11.1 અને 11.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, સમપ્રમાણ અને વ્યસ્ત પ્રમાણના સૂત્રો, કોષ્ટક આધારિત ગણતરી તથા પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 11. sampraman ane vyast praman imp notes) ✦
- પ્રમાણ (Proportion) : જ્યારે બે ગુણોત્તરો સરખા હોય ત્યારે તે સમપ્રમાણમાં છે તેમ કહેવાય છે.
- સમપ્રમાણ (Direct Proportion) : જો એક રાશિ વધે ત્યારે બીજી રાશિ પણ તે જ ગુણોત્તરમાં વધે, અથવા એક રાશિ ઘટે ત્યારે બીજી રાશિ પણ તે જ ગુણોત્તરમાં ઘટે, તો તે બંને રાશિઓ સમપ્રમાણમાં છે તેમ કહેવાય.
• જો બે રાશિઓ `x` અને `y` સમપ્રમાણમાં હોય, તો તેમનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે:
• `\frac{x}{y} = k` (અચળાંક) અથવા `\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}` - વ્યસ્ત પ્રમાણ (Inverse Proportion) : જો એક રાશિ વધે ત્યારે બીજી રાશિ તે જ ગુણોત્તરમાં ઘટે, અથવા એક રાશિ ઘટે ત્યારે બીજી રાશિ તે જ ગુણોત્તરમાં વધે, તો તે બંને રાશિઓ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે તેમ કહેવાય.
• જો બે રાશિઓ `x` અને `y` વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય, તો તેમનો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
• `x \times y = k` (અચળાંક) અથવા `x_1 y_1 = x_2 y_2` - સમપ્રમાણના વ્યવહારુ ઉદાહરણો : ખરીદેલી વસ્તુઓની સંખ્યા અને તેની કુલ કિંમત, કાપેલું અંતર અને વપરાયેલ પેટ્રોલનું પ્રમાણ, નિશ્ચિત ઝડપે કાપેલું અંતર અને લાગતો સમય.
- વ્યસ્ત પ્રમાણના વ્યવહારુ ઉદાહરણો : વાહનની ઝડપ અને નિશ્ચિત અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય, કામ કરનારા મજૂરોની સંખ્યા અને કામ પૂરું કરવા માટે લાગતા દિવસો.
✦ સ્વાધ્યાય 11.1 (std 8 Maths chapter 11.1 sampraman ane vyast praman swadhyay) ✦
1. એક રેલવે સ્ટેશન પર કાર પાર્કિંગનો દર નીચે પ્રમાણે છે :
4 કલાક = ₹ 60, 8 કલાક = ₹ 100, 12 કલાક = ₹ 140, 24 કલાક = ₹ 180
તપાસો કે પાર્કિંગ દર અને પાર્કિંગ સમય સમપ્રમાણમાં છે કે નહિ ?
અહીં સમય `x` અને પાર્કિંગ દર `y` નો ગુણોત્તર `\frac{x}{y}` શોધીએ :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}`
`\frac{x_2}{y_2} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}`
`\frac{x_3}{y_3} = \frac{12}{140} = \frac{3}{35}`
`\frac{x_4}{y_4} = \frac{24}{180} = \frac{2}{15}`
અહીં `\frac{x_1}{y_1} \ne \frac{x_2}{y_2} \ne \frac{x_3}{y_3} \ne \frac{x_4}{y_4}` મળે છે.
ગુણોત્તર અચળ જળવાતો નથી.
આથી, પાર્કિંગ દર અને પાર્કિંગ સમય સમપ્રમાણમાં નથી.
2. એક રંગના મૂળ મિશ્રણના 8 ભાગમાં 1 ભાગ લાલ રંગદ્રવ્ય મેળવીને મિશ્રણ તૈયાર કરેલ છે. નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં મૂળ મિશ્રણનો ભાગ શોધો :
અહીં લાલ રંગદ્રવ્યના ભાગ `x` અને મૂળ મિશ્રણના ભાગ `y` સમપ્રમાણમાં છે.
`∴ \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_3}{y_3} = \frac{x_4}{y_4} = \frac{x_5}{y_5}`
અહીં `\frac{x_1}{y_1} = \frac{1}{8}` આપેલ છે.
• જ્યારે `x_2 = 4` હોય ત્યારે :
`\frac{1}{8} = \frac{4}{y_2} \implies y_2 = 4 \times 8 = 32`
• જ્યારે `x_3 = 7` હોય ત્યારે :
`\frac{1}{8} = \frac{7}{y_3} \implies y_3 = 7 \times 8 = 56`
• જ્યારે `x_4 = 12` હોય ત્યારે :
`\frac{1}{8} = \frac{12}{y_4} \implies y_4 = 12 \times 8 = 96`
• જ્યારે `x_5 = 20` હોય ત્યારે :
`\frac{1}{8} = \frac{20}{y_5} \implies y_5 = 20 \times 8 = 160`
આમ, ખૂટતી કિંમતો અનુક્રમે 32, 56, 96 અને 160 થાય.
3. પ્રશ્ન 2 માં જો લાલ રંગદ્રવ્યના 1 ભાગ માટે 75 મિલી મૂળ મિશ્રણ જોઈતું હોય, તો 1800 મિલી મૂળ મિશ્રણમાં કેટલા ભાગનું લાલ રંગદ્રવ્ય મેળવવું જોઈએ ?
ધારો કે જરૂરી લાલ રંગદ્રવ્યના ભાગ `x_2` છે.
લાલ રંગદ્રવ્યનો ભાગ `x_1 = 1`, મૂળ મિશ્રણ `y_1 = 75 \text{ મિલી}`
લાલ રંગદ્રવ્યનો ભાગ `x_2 = ?`, મૂળ મિશ્રણ `y_2 = 1800 \text{ મિલી}`
અહીં સમપ્રમાણ હોવાથી :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{1}{75} = \frac{x_2}{1800}`
`x_2 = \frac{1800 \times 1}{75}`
`x_2 = \frac{1800}{75} = 24`
આમ, 1800 મિલી મૂળ મિશ્રણમાં 24 ભાગ લાલ રંગદ્રવ્ય મેળવવું જોઈએ.
4. ઠંડા પીણા બનાવતી એક ફેક્ટરીમાં એક યંત્ર 6 કલાકમાં 840 બોટલ ભરે છે, તો આ યંત્ર 5 કલાકમાં કેટલી બોટલ ભરશે ?
ધારો કે 5 કલાકમાં ભરાતી બોટલની સંખ્યા `y_2` છે.
સમય `x_1 = 6 \text{ કલાક}`, બોટલની સંખ્યા `y_1 = 840`
સમય `x_2 = 5 \text{ કલાક}`, બોટલની સંખ્યા `y_2 = ?`
જેમ સમય ઓછો તેમ બોટલ ઓછી ભરાય, તેથી આ સમપ્રમાણ છે :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{6}{840} = \frac{5}{y_2}`
`6 \times y_2 = 5 \times 840`
`y_2 = \frac{5 \times 840}{6}`
`y_2 = 5 \times 140 = 700`
આમ, યંત્ર 5 કલાકમાં 700 બોટલ ભરશે.
5. એક બેક્ટેરિયાના ચિત્રને 50,000 ગણું મોટું કરતાં તેની લંબાઈ 5 સેમી થાય છે. (1) બેક્ટેરિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ કેટલી હશે ? (2) જો ચિત્રને 20,000 ગણું જ મોટું કરવામાં આવે તો તેની લંબાઈ કેટલી થાય ?
(1) બેક્ટેરિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ :
`\text{વાસ્તવિક લંબાઈ} = \frac{5 \text{ સેમી}}{50000}`
`= \frac{5}{5 \times 10^4} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ સેમી}`
(2) 20,000 ગણું મોટું કરતાં લંબાઈ `y_2` :
અહીં સમપ્રમાણ છે :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{50000}{5} = \frac{20000}{y_2}`
`10000 = \frac{20000}{y_2}`
`y_2 = \frac{20000}{10000} = 2 \text{ સેમી}`
આમ, બેક્ટેરિયાની લંબાઈ 2 સેમી થશે.
6. એક વહાણની પ્રતિકૃતિમાં તેના કૂવાથંભની ઊંચાઈ 9 સેમી છે અને વાસ્તવિક વહાણમાં તેની ઊંચાઈ 12 મીટર છે. હવે જો વાસ્તવિક વહાણની લંબાઈ 28 મીટર હોય, તો પ્રતિકૃતિમાં વહાણની લંબાઈ કેટલી હશે ?
ધારો કે પ્રતિકૃતિમાં વહાણની લંબાઈ `x_2` સેમી છે.
પ્રતિકૃતિની ઊંચાઈ `x_1 = 9 \text{ સેમી}`, વાસ્તવિક ઊંચાઈ `y_1 = 12 \text{ મીટર}`
પ્રતિકૃતિની લંબાઈ `x_2 = ? \text{ સેમી}`, વાસ્તવિક લંબાઈ `y_2 = 28 \text{ મીટર}`
સમપ્રમાણ મુજબ :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{9}{12} = \frac{x_2}{28}`
`\frac{3}{4} = \frac{x_2}{28}`
`x_2 = \frac{3 \times 28}{4}`
`x_2 = 3 \times 7 = 21 \text{ સેમી}`
આમ, પ્રતિકૃતિમાં વહાણની લંબાઈ 21 સેમી હશે.
7. જો 2 કિગ્રા ખાંડમાં સ્ફટિકોની સંખ્યા `9 \times 10^6` હોય, તો નીચે દર્શાવેલ જથ્થામાં ખાંડના સ્ફટિકોની સંખ્યા કેટલી હશે ? (i) 5 કિગ્રા (ii) 1.2 કિગ્રા
ખાંડનો જથ્થો `x_1 = 2 \text{ કિગ્રા}`, સ્ફટિકોની સંખ્યા `y_1 = 9 \times 10^6`
(i) `x_2 = 5 \text{ કિગ્રા}` ખાંડ માટે :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{2}{9 \times 10^6} = \frac{5}{y_2}`
`y_2 = \frac{5 \times 9 \times 10^6}{2} = \frac{45}{2} \times 10^6 = 22.5 \times 10^6 = 2.25 \times 10^7`
આમ, 5 કિગ્રા ખાંડમાં `2.25 \times 10^7` સ્ફટિકો હશે.
(ii) `x_3 = 1.2 \text{ કિગ્રા}` ખાંડ માટે :
`\frac{2}{9 \times 10^6} = \frac{1.2}{y_3}`
`y_3 = \frac{1.2 \times 9 \times 10^6}{2} = 0.6 \times 9 \times 10^6 = 5.4 \times 10^6`
આમ, 1.2 કિગ્રા ખાંડમાં `5.4 \times 10^6` સ્ફટિકો હશે.
8. રશ્મી પાસે એક સડક માર્ગનો નકશો છે, જેમાં 1 સેમી બરાબર 18 કિમી અંતર દર્શાવે છે. જો તે સડક પર 72 કિમી અંતર કાપે, તો નકશામાં કેટલું અંતર દર્શાવાયું હશે ?
ધારો કે નકશામાં દર્શાવેલ અંતર `x_2` સેમી છે.
`x_1 = 1 \text{ સેમી}`, `y_1 = 18 \text{ કિમી}`
`x_2 = ?`, `y_2 = 72 \text{ કિમી}`
સમપ્રમાણ મુજબ :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{1}{18} = \frac{x_2}{72}`
`x_2 = \frac{72}{18} = 4 \text{ સેમી}`
આમ, નકશામાં 4 સેમી અંતર દર્શાવાયું હશે.
9. એક 5 મીટર 60 સેમી ઊંચા શિરોલંબ થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ 3 મીટર 20 સેમી છે. તે જ સમયે (i) 10 મીટર 50 સેમી ઊંચા બીજા થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ શોધો. (ii) જો પડછાયાની લંબાઈ 5 મીટર હોય, તો થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો.
બધા માપને સેમીમાં ફેરવતાં :
થાંભલાની ઊંચાઈ `x_1 = 5 \text{ મી } 60 \text{ સેમી} = 560 \text{ સેમી}`
પડછાયાની લંબાઈ `y_1 = 3 \text{ મી } 20 \text{ સેમી} = 320 \text{ સેમી}`
(i) જ્યારે થાંભલાની ઊંચાઈ `x_2 = 10 \text{ મી } 50 \text{ સેમી} = 1050 \text{ સેમી}` હોય :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \implies \frac{560}{320} = \frac{1050}{y_2}`
`\frac{7}{4} = \frac{1050}{y_2}`
`y_2 = \frac{1050 \times 4}{7} = 150 \times 4 = 600 \text{ સેમી} = 6 \text{ મીટર}`
આમ, પડછાયાની લંબાઈ 6 મીટર હશે.
(ii) જ્યારે પડછાયાની લંબાઈ `y_3 = 5 \text{ મીટર} = 500 \text{ સેમી}` હોય :
`\frac{560}{320} = \frac{x_3}{500} \implies \frac{7}{4} = \frac{x_3}{500}`
`x_3 = \frac{7 \times 500}{4} = 7 \times 125 = 875 \text{ સેમી} = 8 \text{ મીટર } 75 \text{ સેમી}`
આમ, થાંભલાની ઊંચાઈ 8 મીટર 75 સેમી હશે.
10. એક ભારવાહક ખટારો 25 મિનિટમાં 14 કિમી અંતર કાપે છે. જો ઝડપ અચળ રહે તો તે 5 કલાકમાં કેટલું અંતર કાપશે ?
સમયને મિનિટમાં ફેરવતાં :
`x_1 = 25 \text{ મિનિટ}`, અંતર `y_1 = 14 \text{ કિમી}`
`x_2 = 5 \text{ કલાક} = 5 \times 60 = 300 \text{ મિનિટ}`, અંતર `y_2 = ?`
સમપ્રમાણ મુજબ :
`\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}`
`\frac{25}{14} = \frac{300}{y_2}`
`y_2 = \frac{300 \times 14}{25}`
`y_2 = 12 \times 14 = 168 \text{ કિમી}`
આમ, ખટારો 5 કલાકમાં 168 કિમી અંતર કાપશે.
✦ સ્વાધ્યાય 11.2 (std 8 Maths chapter 11.2 sampraman ane vyast praman swadhyay) ✦
1. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે ?
જવાબ : વ્યસ્ત પ્રમાણ છે. (કારીગરો વધે તો સમય ઘટે)
(ii) યાત્રા કરવા માટેનો કુલ સમય અને અચળ ઝડપથી કાપેલું અંતર.
જવાબ : વ્યસ્ત પ્રમાણ નથી (સમપ્રમાણ છે).
(iii) એક ખેતરમાંથી એકઠી કરેલી પાકની ઉપજ અને ખેતરનું ક્ષેત્રફળ.
જવાબ : વ્યસ્ત પ્રમાણ નથી (સમપ્રમાણ છે).
(iv) એક નિશ્ચિત યાત્રા માટે લાગતો સમય અને વાહનની ઝડપ.
જવાબ : વ્યસ્ત પ્રમાણ છે. (ઝડપ વધે તો સમય ઘટે)
(v) કોઈ એક દેશની કુલ જનસંખ્યા અને વ્યક્તિદીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ.
જવાબ : વ્યસ્ત પ્રમાણ છે. (જનસંખ્યા વધે તો વ્યક્તિદીઠ જમીન ઘટે)
2. એક ટેલિવિઝન ગેમ શોમાં પુરસ્કારની રકમ ₹ 1,00,000 વિજેતાઓને સરખા ભાગે વહેંચવામાં આવે છે. નીચે આપેલા કોષ્ટકને પૂર્ણ કરો અને તપાસો કે વિજેતાઓની સંખ્યા અને પુરસ્કારની રકમ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે કે નહિ ?
અહીં વિજેતાઓની સંખ્યા `x` અને પ્રત્યેકને મળતી રકમ `y` નો ગુણાકાર અચળ રહે છે (`x \times y = 1,00,000`).
આથી આ વ્યસ્ત પ્રમાણ છે (`x_1 y_1 = x_2 y_2`).
• વિજેતા 4 હોય ત્યારે : `y = \frac{100000}{4} = ₹ 25,000`
• વિજેતા 5 હોય ત્યારે : `y = \frac{100000}{5} = ₹ 20,000`
• વિજેતા 8 હોય ત્યારે : `y = \frac{100000}{8} = ₹ 12,500`
• વિજેતા 10 હોય ત્યારે : `y = \frac{100000}{10} = ₹ 10,000`
• વિજેતા 20 હોય ત્યારે : `y = \frac{100000}{20} = ₹ 5,000`
આમ, વિજેતાઓની સંખ્યા અને પુરસ્કારની રકમ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
3. રહેમાન એક પૈડામાં આરા (Spokes) લગાવી રહ્યો છે. તે સમાન લંબાઈના આરા એવી રીતે લગાવે છે કે જેથી બે ક્રમિક આરા વચ્ચેનો ખૂણો સમાન રહે. નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો :
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ કુલ ખૂણો 360° હોય છે.
આરાની સંખ્યા `x` અને બે આરા વચ્ચેનો ખૂણો `y` વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: `x \times y = 360°`
• જ્યારે આરા `x = 8` હોય : `y = \frac{360°}{8} = 45°`
• જ્યારે આરા `x = 10` હોય : `y = \frac{360°}{10} = 36°`
• જ્યારે આરા `x = 12` હોય : `y = \frac{360°}{12} = 30°`
પ્રશ્નોના ઉત્તર :
(i) શું આરાની સંખ્યા અને ક્રમિક આરા વચ્ચેનો ખૂણો વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે ? હા, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
(ii) 15 આરાવાળા પૈડામાં ક્રમિક આરા વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થશે ?
`\text{ખૂણો} = \frac{360°}{15} = 24°`
(iii) જો બે ક્રમિક આરા વચ્ચેનો ખૂણો 40° હોય, તો આરાની સંખ્યા કેટલી હશે ?
`\text{આરાની સંખ્યા} = \frac{360°}{40°} = 9`
4. ડબ્બામાં રહેલી મીઠાઈને 24 બાળકો વચ્ચે વહેંચતા પ્રત્યેક બાળકને 5 મીઠાઈ મળે છે. જો બાળકોની સંખ્યામાં 4 નો ઘટાડો થાય, તો પ્રત્યેક બાળકને કેટલી મીઠાઈ મળશે ?
શરૂઆતમાં બાળકોની સંખ્યા `x_1 = 24`, પ્રત્યેકને મળતી મીઠાઈ `y_1 = 5`
બાળકોમાં 4 નો ઘટાડો થતાં નવા બાળકો `x_2 = 24 - 4 = 20`, મીઠાઈ `y_2 = ?`
બાળકો ઘટે તો દરેકને વધુ મીઠાઈ મળે, તેથી આ વ્યસ્ત પ્રમાણ છે :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`24 \times 5 = 20 \times y_2`
`120 = 20 \times y_2`
`y_2 = \frac{120}{20} = 6`
આમ, પ્રત્યેક બાળકને 6 મીઠાઈ મળશે.
5. એક ખેડૂત પાસે 20 પશુઓને 6 દિવસ સુધી ખવડાવી શકાય તેટલો ઘાસચારો છે. હવે જો તેની પાસે 10 પશુઓ વધારે આવે, તો આ ઘાસચારો કેટલા દિવસ ચાલશે ?
પશુઓની સંખ્યા `x_1 = 20`, દિવસો `y_1 = 6`
10 પશુ વધતાં નવા પશુઓ `x_2 = 20 + 10 = 30`, દિવસો `y_2 = ?`
પશુઓ વધે તો ઘાસચારો ઓછા દિવસ ચાલે (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`20 \times 6 = 30 \times y_2`
`120 = 30 \times y_2`
`y_2 = \frac{120}{30} = 4`
આમ, ઘાસચારો 4 દિવસ ચાલશે.
6. એક ઠેકેદાર અંદાજ લગાવે છે કે જસમંદરના ઘરે ફરીથી વાયરિંગનું કામ 3 વ્યક્તિઓ 4 દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે. જો તે 3 ના બદલે 4 વ્યક્તિઓને કામે લગાડે, તો આ કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું થશે ?
વ્યક્તિઓની સંખ્યા `x_1 = 3`, દિવસ `y_1 = 4`
વ્યક્તિઓની સંખ્યા `x_2 = 4`, દિવસ `y_2 = ?`
માણસો વધે તો દિવસો ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`3 \times 4 = 4 \times y_2`
`12 = 4 \times y_2`
`y_2 = \frac{12}{4} = 3`
આમ, કામ 3 દિવસમાં પૂરું થશે.
7. એક જથ્થામાં રહેલી બોટલોને એક બોક્સમાં 12 બોટલ હોય તેવાં 25 બોક્સમાં રાખવામાં આવે છે. હવે જો પ્રત્યેક બોક્સમાં 20 બોટલ રાખવામાં આવે, તો આવાં કેટલાં બોક્સ ભરાશે ?
એક બોક્સમાં બોટલ `x_1 = 12`, બોક્સની સંખ્યા `y_1 = 25`
એક બોક્સમાં બોટલ `x_2 = 20`, બોક્સની સંખ્યા `y_2 = ?`
બોક્સ દીઠ બોટલ વધે તો બોક્સની સંખ્યા ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`12 \times 25 = 20 \times y_2`
`300 = 20 \times y_2`
`y_2 = \frac{300}{20} = 15`
આમ, આવાં 15 બોક્સ ભરાશે.
8. એક ફેક્ટરીમાં નિશ્ચિત સંખ્યાની વસ્તુઓ 63 દિવસમાં બનાવવા 42 યંત્રોની જરૂર પડે છે. આ જ જથ્થાની વસ્તુઓ 54 દિવસમાં બનાવવા કેટલા યંત્રો જોઈએ ?
દિવસો `x_1 = 63`, યંત્રોની સંખ્યા `y_1 = 42`
દિવસો `x_2 = 54`, યંત્રોની સંખ્યા `y_2 = ?`
દિવસો ઘટે તો વધુ યંત્રો જોઈએ (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`63 \times 42 = 54 \times y_2`
`y_2 = \frac{63 \times 42}{54}`
`y_2 = \frac{7 \times 42}{6}` (9 વડે ભાગતાં: `63 ÷ 9 = 7`, `54 ÷ 9 = 6`)
`y_2 = 7 \times 7 = 49`
આમ, 49 યંત્રોની જરૂર પડશે.
9. એક કારને 60 કિમી/કલાકની ઝડપથી કોઈ એક સ્થાન પર પહોંચવા માટે 2 કલાકનો સમય લાગે છે. હવે જો કારની ઝડપ 80 કિમી/કલાક કરવામાં આવે, તો કેટલો સમય લાગશે ?
ઝડપ `x_1 = 60 \text{ કિમી/કલાક}`, સમય `y_1 = 2 \text{ કલાક}`
ઝડપ `x_2 = 80 \text{ કિમી/કલાક}`, સમય `y_2 = ?`
ઝડપ વધે તો સમય ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`60 \times 2 = 80 \times y_2`
`120 = 80 \times y_2`
`y_2 = \frac{120}{80} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \text{ કલાક (1 કલાક 30 મિનિટ)}`
આમ, કારને 1 કલાક 30 મિનિટ નો સમય લાગશે.
10. બે વ્યક્તિઓ એક ઘરની બારીઓ નવી લગાવવા માટે 3 દિવસનો સમય લે છે :
(i) કામની શરૂઆતમાં જ એક વ્યક્તિ બીમાર પડે છે, તો હવે આ કામ પૂરું થતાં કેટલા દિવસ લાગશે ?
(ii) જો આ કામ 1 જ દિવસમાં પૂરું કરવું હોય, તો કેટલી વ્યક્તિઓની જરૂર પડે ?
વ્યક્તિ `x_1 = 2`, દિવસ `y_1 = 3`
આ વ્યસ્ત પ્રમાણ છે : `x_1 \times y_1 = 2 \times 3 = 6`
(i) 1 વ્યક્તિ બીમાર પડતાં બાકી રહેલ વ્યક્તિ `x_2 = 2 - 1 = 1`
`x_2 \times y_2 = 6`
`1 \times y_2 = 6 \implies y_2 = 6 \text{ દિવસ}`
આમ, કામ પૂરું થતાં 6 દિવસ લાગશે.
(ii) કામ 1 દિવસમાં પૂરું કરવું હોય (`y_3 = 1`):
`x_3 \times y_3 = 6`
`x_3 \times 1 = 6 \implies x_3 = 6 \text{ વ્યક્તિ}`
આમ, 6 વ્યક્તિઓની જરૂર પડશે.
11. કોઈ એક શાળામાં 45 મિનિટનો એક એવા 8 તાસ છે. હવે જો શાળામાં રોજના કામના કલાકો બદલ્યા વગર તાસની સંખ્યા 9 કરવામાં આવે, તો દરેક તાસ કેટલા સમયનો રહેશે ?
તાસની સંખ્યા `x_1 = 8`, પ્રત્યેક તાસનો સમય `y_1 = 45 \text{ મિનિટ}`
નવા તાસની સંખ્યા `x_2 = 9`, પ્રત્યેક તાસનો સમય `y_2 = ?`
તાસ વધે તો સમય ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ) :
`x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2`
`8 \times 45 = 9 \times y_2`
`360 = 9 \times y_2`
`y_2 = \frac{360}{9} = 40 \text{ મિનિટ}`
આમ, દરેક તાસ 40 મિનિટનો રહેશે.
Post a Comment