GSEB Class 8 Maths Chapter 13 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 13 "આલેખનો પરિચય" (Std 8 Maths Chapter 13 Aalekhno Parichay) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 13.1 અને 13.2 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, રેખીય આલેખ (Linear Graph), યામાક્ષો (X અને Y અક્ષ), બિંદુઓના યામનું નિરૂપણ તથા પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 13. aalekhno parichay imp notes) ✦
- આલેખનો હેતુ : આલેખ એ સંખ્યાત્મક માહિતીની ચિત્રાત્મક રજૂઆત છે, જેનાથી માહિતીને સરળતાથી, ઝડપથી અને સ્પષ્ટપણે સમજી શકાય છે.
- સ્તંભ આલેખ (Bar Graph) : જુદી જુદી શ્રેણીઓ વચ્ચેની સરખામણી દર્શાવવા માટે સમાન પહોળાઈવાળા સ્તંભોનો ઉપયોગ થાય છે.
- વૃત્તાંશ આલેખ અથવા પાઈ-ચાર્ટ (Pie Graph) : કોઈ એક સમગ્ર માહિતીના ભાગો વચ્ચેની સરખામણી દર્શાવવા માટે વર્તુળાકાર આલેખનો ઉપયોગ થાય છે.
- સ્તંભાલેખ (Histogram) : સતત વર્ગઅંતરાલ સ્વરૂપની માહિતીને દર્શાવતો આલેખ છે, જેમાં સ્તંભો વચ્ચે જગ્યા હોતી નથી.
- રેખા આલેખ (Line Graph) : સમયના ચોક્કસ ગાળામાં સતત પરિવર્તન પામતી માહિતી દર્શાવવા માટે રેખા આલેખનો ઉપયોગ થાય છે.
- રૈખિક આલેખ (Linear Graph) : જે રેખા આલેખ એક અખંડિત (સળંગ) સીધી રેખા સ્વરૂપે હોય તેને રૈખિક આલેખ કહે છે.
- યામાક્ષો અને ઉગમબિંદુ :
• આલેખપત્ર પર દોરેલી સમક્ષિતિજ રેખાને X-અક્ષ કહે છે.
• આલેખપત્ર પર દોરેલી શિરોલંબ રેખાને Y-અક્ષ કહે છે.
• બંને અક્ષો જ્યાં છેદે તે બિંદુને ઉગમબિંદુ (Origin) કહે છે, જેના યામ (0, 0) હોય છે. - બિંદુના યામ (Coordinates) : બિંદુનું સ્થાન દર્શાવવા માટે ક્રમયુક્ત જોડ `(x, y)` નો ઉપયોગ થાય છે. જેમાં પહેલો અંક `x` એ X-યામ દર્શાવે છે અને બીજો અંક `y` એ Y-યામ દર્શાવે છે.
- જો કોઈ બિંદુ X-અક્ષ પર આવેલું હોય, તો તેનો Y-યામ શૂન્ય હોય `(x, 0)` અને જો બિંદુ Y-અક્ષ પર આવેલું હોય, તો તેનો X-યામ શૂન્ય હોય `(0, y)`.
✦ સ્વાધ્યાય 13.1 (std 8 Maths chapter 13.1 aalekhno parichay swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલ આલેખમાં એક હૉસ્પિટલમાં એક દર્દીનું દર કલાકે નોંધાયેલ શારીરિક તાપમાન દર્શાવેલ છે. તેના પરથી નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) બપોરે 1:00 વાગ્યે દર્દીના શરીરનું તાપમાન શું હતું ?
આલેખમાં X-અક્ષ પર બપોરે 1:00 વાગ્યાના સમયની સામે શિરોલંબ જોતાં Y-અક્ષ પર 36.5°C તાપમાન દર્શાવે છે.
આમ, બપોરે 1:00 વાગ્યે દર્દીના શરીરનું તાપમાન 36.5°C હતું.
(b) દર્દીના શરીરનું તાપમાન 38.5°C ક્યારે હતું ?
Y-અક્ષ પર 38.5°C તાપમાનની સામે સમક્ષિતિજ જોતાં X-અક્ષ પર બપોરે 12:00 વાગ્યાનો સમય મળે છે.
આમ, દર્દીના શરીરનું તાપમાન બપોરે 12:00 વાગ્યે 38.5°C હતું.
(c) આ સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન દર્દીનું તાપમાન બે વખત એકસરખું રહ્યું હતું. આ બંને સમય કયા હતા ?
આલેખમાં બપોરે 1:00 વાગ્યે અને બપોરે 2:00 વાગ્યે તાપમાન 36.5°C પર સમક્ષિતિજ રેખા દર્શાવે છે.
આમ, આ બંને સમય બપોરે 1:00 વાગ્યે અને બપોરે 2:00 વાગ્યે હતા.
(d) બપોરે 1:30 વાગ્યે દર્દીનું તાપમાન કેટલું હતું ? તમે આ તારણ પર કેવી રીતે પહોંચ્યા ?
X-અક્ષ પર બપોરે 1:00 અને 2:00 વાગ્યાના સમયનું મધ્યબિંદુ 1:30 વાગ્યાનો સમય દર્શાવે છે. આ સમગ્ર ગાળા દરમિયાન આલેખ રેખા સમક્ષિતિજ છે અને 36.5°C દર્શાવે છે.
આમ, બપોરે 1:30 વાગ્યે દર્દીનું તાપમાન 36.5°C હતું.
(e) કયા સમયગાળા દરમિયાન દર્દીના તાપમાનમાં વધારો નોંધાયો હતો ?
આલેખ રેખા ઉપરની તરફ જતી હોય તે સમયગાળો તાપમાનનો વધારો દર્શાવે છે :
1. સવારે 9:00 થી સવારે 10:00 વાગ્યા સુધી
2. સવારે 10:00 થી સવારે 11:00 વાગ્યા સુધી
3. બપોરે 2:00 થી બપોરે 3:00 વાગ્યા સુધી
2. એક ઉત્પાદક કંપનીના જુદા જુદા વર્ષોમાં થયેલ વેચાણ નીચે મુજબના આલેખમાં દર્શાવેલ છે. તેના પરથી પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) (i) વર્ષ 2002 માં અને (ii) વર્ષ 2006 માં કેટલું વેચાણ થયું હતું ?
(i) વર્ષ 2002 માં વેચાણ = ₹ 4 કરોડ
(ii) વર્ષ 2006 માં વેચાણ = ₹ 8 કરોડ
(b) (i) વર્ષ 2003 માં અને (ii) વર્ષ 2005 માં કેટલું વેચાણ થયું હતું ?
(i) વર્ષ 2003 માં વેચાણ = ₹ 7 કરોડ
(ii) વર્ષ 2005 માં વેચાણ = ₹ 10 કરોડ
(c) વર્ષ 2002 અને વર્ષ 2006 ના વેચાણ વચ્ચે કેટલો તફાવત હતો ?
વર્ષ 2006 નું વેચાણ = ₹ 8 કરોડ
વર્ષ 2002 નું વેચાણ = ₹ 4 કરોડ
`\text{તફાવત} = 8 - 4 = \text{₹ 4 કરોડ}`
આમ, વેચાણ વચ્ચેનો તફાવત ₹ 4 કરોડ હતો.
(d) કયા બે ક્રમિક વર્ષો વચ્ચે વેચાણનો તફાવત સૌથી વધુ હતો ?
• 2002 થી 2003 : `7 - 4 = \text{₹ 3 કરોડ}` (વધારો)
• 2003 થી 2004 : `7 - 6 = \text{₹ 1 કરોડ}` (ઘટાડો)
• 2004 થી 2005 : `10 - 6 = \text{₹ 4 કરોડ}` (વધારો)
• 2005 થી 2006 : `10 - 8 = \text{₹ 2 કરોડ}` (ઘટાડો)
આમ, વર્ષ 2004 અને 2005 વચ્ચે વેચાણનો તફાવત સૌથી વધુ (₹ 4 કરોડ) હતો.
3. વનસ્પતિશાસ્ત્રના એક પ્રયોગમાં બે સરખા છોડ A અને B પ્રયોગશાળામાં એકસરખી પરિસ્થિતિમાં ઉછેરવામાં આવ્યા. 3 અઠવાડિયા સુધી તેમની ઊંચાઈ દર અઠવાડિયે નોંધવામાં આવી. આ પરિણામો આલેખમાં દર્શાવેલ છે :
(a) (i) 2 અઠવાડિયા પછી અને (ii) 3 અઠવાડિયા પછી છોડ A ની ઊંચાઈ કેટલી હતી ?
(i) 2 અઠવાડિયા પછી છોડ A ની ઊંચાઈ = 7 સેમી
(ii) 3 અઠવાડિયા પછી છોડ A ની ઊંચાઈ = 9 સેમી
(b) (i) 2 અઠવાડિયા પછી અને (ii) 3 અઠવાડિયા પછી છોડ B ની ઊંચાઈ કેટલી હતી ?
(i) 2 અઠવાડિયા પછી છોડ B ની ઊંચાઈ = 7 સેમી
(ii) 3 અઠવાડિયા પછી છોડ B ની ઊંચાઈ = 10 સેમી
(c) ત્રીજા અઠવાડિયા દરમિયાન છોડ A ની ઊંચાઈ કેટલી વધી ?
`\text{ઊંચાઈમાં વધારો} = \text{ત્રીજા અઠવાડિયાની ઊંચાઈ} - \text{બીજા અઠવાડિયાની ઊંચાઈ}`
`= 9 - 7 = 2 \text{ સેમી}`
આમ, છોડ A ની ઊંચાઈ 2 સેમી વધી.
(d) બીજા અઠવાડિયાના અંતથી ત્રીજા અઠવાડિયાના અંત સુધીમાં છોડ B ની ઊંચાઈ કેટલી વધી ?
`= 10 - 7 = 3 \text{ સેમી}`
આમ, છોડ B ની ઊંચાઈ 3 સેમી વધી.
(e) કયા અઠવાડિયા દરમિયાન છોડ A ની ઊંચાઈ સૌથી વધુ વધી ?
• પ્રથમ અઠવાડિયે: `2 - 0 = 2 \text{ સેમી}`
• બીજા અઠવાડિયે: `7 - 2 = 5 \text{ સેમી}`
• ત્રીજા અઠવાડિયે: `9 - 7 = 2 \text{ સેમી}`
આમ, બીજા અઠવાડિયા દરમિયાન છોડ A ની ઊંચાઈ સૌથી વધુ વધી.
(f) કયા અઠવાડિયા દરમિયાન છોડ B ની ઊંચાઈ સૌથી ઓછી વધી ?
• પ્રથમ અઠવાડિયે: `1 - 0 = 1 \text{ સેમી}`
• બીજા અઠવાડિયે: `7 - 1 = 6 \text{ સેમી}`
• ત્રીજા અઠવાડિયે: `10 - 7 = 3 \text{ સેમી}`
આમ, પ્રથમ અઠવાડિયા દરમિયાન છોડ B ની ઊંચાઈ સૌથી ઓછી વધી.
(g) શું કોઈ એવું અઠવાડિયું હતું કે જેમાં બંને છોડની ઊંચાઈ એકસરખી રહી હોય ?
હા, બીજા અઠવાડિયાના અંતે બંને છોડની ઊંચાઈ એકસરખી (7 સેમી) હતી, કારણ કે ત્યાં બંને આલેખ એકબીજાને છેદે છે.
4. નીચે આપેલા આલેખમાં કોઈ એક સપ્તાહના દરેક દિવસ માટે પૂર્વાનુમાન કરેલ તાપમાન અને વાસ્તવિક તાપમાન દર્શાવેલ છે :
(a) કયા કયા દિવસે પૂર્વાનુમાન કરેલ તાપમાન અને વાસ્તવિક તાપમાન સમાન હતું ?
આલેખમાં મંગળવાર, શુક્રવાર અને રવિવાર ના દિવસે બંને રેખાઓ એક જ બિંદુ પર મળે છે.
આમ, આ ત્રણ દિવસોએ તાપમાન સમાન હતું.
(b) સપ્તાહ દરમિયાન પૂર્વાનુમાન કરેલ મહત્તમ તાપમાન કેટલું હતું ?
પૂર્વાનુમાન કરેલ તાપમાનની તૂટક રેખાનો સર્વોચ્ચ બિંદુ 35°C દર્શાવે છે.
આમ, મહત્તમ પૂર્વાનુમાનિત તાપમાન 35°C (રવિવારે) હતું.
(c) સપ્તાહ દરમિયાન વાસ્તવિક લઘુતમ તાપમાન કેટલું હતું ?
વાસ્તવિક તાપમાનની રેખાનો સૌથી નીચો બિંદુ 15°C દર્શાવે છે.
આમ, વાસ્તવિક લઘુતમ તાપમાન 15°C (ગુરુવારે) હતું.
(d) કયા દિવસે વાસ્તવિક તાપમાન અને પૂર્વાનુમાન કરેલ તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત સૌથી વધુ હતો ?
ગુરુવારના દિવસે પૂર્વાનુમાન તાપમાન = 22.5°C અને વાસ્તવિક તાપમાન = 15°C હતું.
`\text{તફાવત} = 22.5 - 15 = 7.5^\circ\text{C}`
આમ, ગુરુવારના દિવસે તફાવત સૌથી વધુ હતો.
5. નીચે આપેલા કોષ્ટક માટે રૈખિક આલેખ દોરો :
(a) જુદા જુદા વર્ષોમાં એક પર્વતીય શહેરમાં હિમવર્ષા થયેલા દિવસોની સંખ્યા :
X-અક્ષ પર વર્ષ (2003, 2004, 2005, 2006) દર્શાવો.
Y-અક્ષ પર દિવસોની સંખ્યા (પ્રમાણમાપ: 1 સેમી = 2 દિવસ) દર્શાવો.
બિંદુઓનું નિરૂપણ : `(2003, 8), (2004, 10), (2005, 5), (2006, 12)`
આ બિંદુઓને ક્રમશઃ રેખાખંડોથી જોડતાં રૈખિક આલેખ તૈયાર થશે.
(b) એક ગામમાં જુદા જુદા વર્ષોમાં પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા (હજારમાં) દર્શાવતો દ્વિ-રેખીય આલેખ :
X-અક્ષ પર વર્ષ (2003 થી 2007) દર્શાવો.
Y-અક્ષ પર વસ્તી હજારમાં (પ્રમાણમાપ: 1 સેમી = 1 હજાર) દર્શાવો.
• પુરુષો માટે બિંદુઓ (સળંગ રેખા): `(2003, 12), (2004, 12.5), (2005, 13), (2006, 13.2), (2007, 13.5)`
• સ્ત્રીઓ માટે બિંદુઓ (તૂટક રેખા): `(2003, 11.3), (2004, 11.9), (2005, 13), (2006, 13.6), (2007, 12.8)`
બંને રેખાઓ દોરવાથી દ્વિ-રેખીય આલેખ તૈયાર થશે.
6. એક ટપાલી કોઈ નગરથી નજીકમાં આવેલ એક ઉપનગરમાં વેપારીને પાર્સલ પહોંચાડવા સાઇકલ લઈને જાય છે. જુદા જુદા સમયે નગરથી તેનું અંતર આલેખમાં દર્શાવેલ છે :
(a) X-અક્ષ પર સમય દર્શાવવા માટે શું પ્રમાણમાપ લેવામાં આવ્યું છે ?
X-અક્ષ પર 4 મોટા એકમ (ખાના) બરાબર 1 કલાક દર્શાવે છે.
`∴` પ્રમાણમાપ: 4 એકમ (સેમી) = 1 કલાક (એટલે કે 1 એકમ = 15 મિનિટ).
(b) ટપાલીએ યાત્રા માટે કુલ કેટલો સમય લીધો ?
ટપાલી સવારે 8:00 વાગ્યે નીકળે છે અને સવારે 11:30 વાગ્યે પહોંચે છે.
`\text{કુલ સમય} = 11:30 - 8:00 = 3 \text{ કલાક } 30 \text{ મિનિટ}`
આમ, તેણે કુલ `3\frac{1}{2}` કલાક નો સમય લીધો.
(c) વેપારીનું સ્થળ નગરથી કેટલા અંતરે છે ?
આલેખમાં મહત્તમ ઊંચાઈનું અંતર Y-અક્ષ પર 22 કિમી દર્શાવે છે.
આમ, વેપારીનું સ્થળ નગરથી 22 કિમી દૂર છે.
(d) શું ટપાલી તેના માર્ગમાં ક્યાંય થોભ્યો હતો ? વિગતે સમજાવો.
હા, સવારે 10:00 થી 10:30 વાગ્યા દરમિયાન આલેખ રેખા X-અક્ષને સમાંતર (સમક્ષિતિજ) છે, જે દર્શાવે છે કે આ સમયગાળા દરમિયાન અંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી (16 કિમી પર સ્થિર છે).
આમ, તે સવારે 10:00 થી 10:30 વાગ્યા દરમિયાન થોભ્યો હતો.
(e) કયા સમયગાળામાં તેણે સૌથી ઝડપી સાઇકલ ચલાવી ?
સવારે 8:00 થી 9:00 વાગ્યા દરમિયાન તેણે 1 કલાકમાં 10 કિમી અંતર કાપ્યું, જે સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવે છે.
આમ, સવારે 8:00 થી 9:00 વાગ્યા દરમિયાન તેણે સૌથી ઝડપી સાઇકલ ચલાવી.
7. નીચે આપેલા આલેખોમાંથી કયો આલેખ સમય અને તાપમાન માટે શક્ય છે ? કારણ આપો :
(ii) બીજો આલેખ : શક્ય છે. (સમય સાથે તાપમાનમાં સતત ઘટાડો દર્શાવે છે)
(iii) ત્રીજો આલેખ : શક્ય નથી. કારણ કે એક જ સમયે તાપમાનમાં એકસાથે આટલો મોટો વધારો થઈ શકે નહીં (એક જ સમયે જુદા જુદા તાપમાન ન હોઈ શકે, શિરોલંબ રેખા શક્ય નથી).
(iv) ચોથો આલેખ : શક્ય છે. કારણ કે સમય વધવા છતાં તાપમાન અચળ (સ્થિર) રહી શકે છે.
✦ સ્વાધ્યાય 13.2 (std 8 Maths chapter 13.2 aalekhno parichay swadhyay) ✦
1. યોગ્ય પ્રમાણમાપનો ઉપયોગ કરીને નીચેના કોષ્ટક માટે આલેખ દોરો :
(a) સફરજનની સંખ્યા અને તેની કિંમત :
X-અક્ષ પર સફરજનની સંખ્યા (1, 2, 3, 4, 5) દર્શાવો (પ્રમાણમાપ: 1 એકમ = 1 સફરજન).
Y-અક્ષ પર કિંમત ₹ માં દર્શાવો (પ્રમાણમાપ: 1 એકમ = ₹ 5).
બિંદુઓનું નિરૂપણ: `(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25)`
આ બિંદુઓને જોડતાં તે ઉગમબિંદુ (0, 0) માંથી પસાર થતી એક સળંગ સીધી રેખા બને છે.
આથી આ એક રૈખિક આલેખ છે.
(b) કાર દ્વારા કપાયેલું અંતર અને સમય :
X-અક્ષ પર સમય (સવારે 6:00, 7:00, 8:00, 9:00) દર્શાવો.
Y-અક્ષ પર અંતર કિમીમાં (પ્રમાણમાપ: 1 એકમ = 20 કિમી) દર્શાવો.
બિંદુઓ: `(6 am, 40), (7 am, 80), (8 am, 120), (9 am, 160)`
બધા બિંદુઓને જોડતાં સીધી રેખા મળે છે.
પ્રશ્નોના ઉત્તર :
(i) સવારે 7:30 થી 8:00 ના સમયગાળામાં કારે કેટલું અંતર કાપ્યું ?
સવારે 7:30 વાગ્યે અંતર = 100 કિમી અને 8:00 વાગ્યે અંતર = 120 કિમી હતું.
`\text{કપાયેલ અંતર} = 120 - 100 = 20 \text{ કિમી}`
(ii) કાર દ્વારા 100 કિમી અંતર કાપવા માટે કેટલો સમય થયો હતો ?
100 કિમી અંતર સામે આલેખમાં સમય સવારે 7:30 વાગ્યાનો મળે છે.
(c) મુકેલી રકમ (મુદ્દલ) પર મળતું વાર્ષિક સાદું વ્યાજ :
X-અક્ષ પર જમા રકમ ₹ માં (પ્રમાણમાપ: 1 એકમ = ₹ 1000) દર્શાવો.
Y-અક્ષ પર સાદું વ્યાજ ₹ માં (પ્રમાણમાપ: 1 એકમ = ₹ 80) દર્શાવો.
બિંદુઓ: `(1000, 80), (2000, 160), (3000, 240), (4000, 320), (5000, 400)`
પ્રશ્નોના ઉત્તર :
(i) શું આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે ?
હા, જો રકમ ₹ 0 હોય તો વ્યાજ પણ ₹ 0 મળે, તેથી આલેખ (0, 0) માંથી પસાર થાય છે.
(ii) ₹ 2500 ના વાર્ષિક વ્યાજ માટે આલેખનો ઉપયોગ કરો :
X-અક્ષ પર 2500 ની સામે Y-અક્ષ પર વ્યાજ ₹ 200 મળે છે.
(iii) ₹ 280 વ્યાજ મેળવવા માટે કેટલી રકમ જમા કરાવવી પડે ?
Y-અક્ષ પર 280 ની સામે X-અક્ષ પર રકમ ₹ 3500 મળે છે.
2. નીચે આપેલા કોષ્ટક માટે આલેખ દોરો :
(i) ચોરસની બાજુ અને તેની પરિમિતિ :
સૂત્ર: `\text{પરિમિતિ} = 4 \times \text{બાજુ}`
બિંદુઓ: `(2, 8), (3, 12), (3.5, 14), (5, 20), (6, 24)`
આ બધા બિંદુઓનું આલેખપત્ર પર નિરૂપણ કરી જોડતાં એક સળંગ સીધી રેખા મળે છે.
આથી, હા, આ એક રૈખિક આલેખ છે.
(ii) ચોરસની બાજુ અને તેનું ક્ષેત્રફળ :
સૂત્ર: `\text{ક્ષેત્રફળ} = (\text{બાજુ})^2`
બિંદુઓ: `(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)`
આ બિંદુઓને જોડતાં એક સીધી રેખા મળતી નથી પરંતુ વક્ર રેખા મળે છે (કારણ કે બાજુ અને ક્ષેત્રફળ સમપ્રમાણમાં નથી પરંતુ વર્ગના પ્રમાણમાં છે).
આથી, ના, આ રૈખિક આલેખ નથી.
Post a Comment