GSEB Class 8 Maths Chapter 5 Solutions (Gujarati Medium): અહીં ધોરણ 8 ગણિત પ્રકરણ 5 "વર્ગ અને વર્ગમૂળ" (Std 8 Maths Chapter 5 Varg ane Vargmul) ના નવા NCERT અભ્યાસક્રમ મુજબ સ્વાધ્યાય 5.1, 5.2, 5.3 અને 5.4 ના તમામ દાખલાઓનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સંપૂર્ણ સોલ્યુશન, પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી, અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અને ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ તથા પરીક્ષાલક્ષી અગત્યના મુદ્દાઓ (IMP Notes) આપેલા છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વાધ્યાય સમજૂતી, એકમ કસોટી પેપર તેમજ પ્રેક્ટિસ માટે આ પેજ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થશે.
ઝડપી નેવિગેશન (Quick Links) :
✦ અગત્યના મુદ્દાઓ (std 8 Maths chapter 5. varg ane vargmul imp notes) ✦
- પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા (Square Number) : જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા `m` ને `n^2` વડે દર્શાવી શકાય (જ્યાં `n` પણ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે), તો `m` ને પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા કહે છે. દા.ત., `1, 4, 9, 16, 25...`
- એકમનો અંક : પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક હંમેશાં `0, 1, 4, 5, 6` અથવા `9` પૈકી જ કોઈ એક હોય છે.
- જે સંખ્યાનો એકમનો અંક `2, 3, 7` અથવા `8` હોય તે સંખ્યા ક્યારેય પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે નહીં.
- જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક `1` અથવા `9` હોય, તો તેના વર્ગનો એકમનો અંક `1` મળે.
- જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક `4` અથવા `6` હોય, તો તેના વર્ગનો એકમનો અંક `6` મળે.
- કોઈપણ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાના અંતે આવેલા શૂન્યોની સંખ્યા હંમેશાં બેકી (2, 4, 6...) જ હોય છે.
- બે ક્રમિક વર્ગ સંખ્યાઓ `n^2` અને `(n+1)^2` વચ્ચે પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી `2n` સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે.
- પ્રથમ `n` એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો `n^2` થાય છે. એટલે કે કોઈપણ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાને 1 થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના સરવાળા સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે.
- પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી (Pythagorean Triplets) : `m > 1` માટે `2m, m^2 - 1` અને `m^2 + 1` એ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી રચે છે. જેમાં `(2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = (m^2 + 1)^2` થાય છે.
- વર્ગ કરવાની ક્રિયાની વ્યસ્ત પ્રક્રિયાને વર્ગમૂળ (Square Root) કહે છે. તેને દર્શાવવા માટે સંકેત `\sqrt{}` નો ઉપયોગ થાય છે.
- જો કોઈ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `n` અંકો ધરાવતી હોય, તો તેના વર્ગમૂળમાં જો `n` બેકી હોય તો `n/2` અંકો અને જો `n` એકી હોય તો `(n+1)/2` અંકો હોય છે.
✦ સ્વાધ્યાય 5.1 (std 8 Maths chapter 5.1 varg ane vargmul swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગ કરવાથી એકમનો અંક શું મળશે ?
(i) 81
ઉકેલ - (i) :
સંખ્યા 81 નો એકમનો અંક 1 છે.
`1^2 = 1`
આથી, 81 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 મળે.
સંખ્યા 81 નો એકમનો અંક 1 છે.
`1^2 = 1`
આથી, 81 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 મળે.
(ii) 272
ઉકેલ - (ii) :
સંખ્યા 272 નો એકમનો અંક 2 છે.
`2^2 = 4`
આથી, 272 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 મળે.
સંખ્યા 272 નો એકમનો અંક 2 છે.
`2^2 = 4`
આથી, 272 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 મળે.
(iii) 799
ઉકેલ - (iii) :
સંખ્યા 799 નો એકમનો અંક 9 છે.
`9^2 = 81`, જેમાં એકમનો અંક 1 છે.
આથી, 799 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 મળે.
સંખ્યા 799 નો એકમનો અંક 9 છે.
`9^2 = 81`, જેમાં એકમનો અંક 1 છે.
આથી, 799 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 મળે.
(iv) 3853
ઉકેલ - (iv) :
સંખ્યા 3853 નો એકમનો અંક 3 છે.
`3^2 = 9`
આથી, 3853 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 મળે.
સંખ્યા 3853 નો એકમનો અંક 3 છે.
`3^2 = 9`
આથી, 3853 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 મળે.
(v) 1234
ઉકેલ - (v) :
સંખ્યા 1234 નો એકમનો અંક 4 છે.
`4^2 = 16`, જેમાં એકમનો અંક 6 છે.
આથી, 1234 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 મળે.
સંખ્યા 1234 નો એકમનો અંક 4 છે.
`4^2 = 16`, જેમાં એકમનો અંક 6 છે.
આથી, 1234 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 મળે.
(vi) 26387
ઉકેલ - (vi) :
સંખ્યા 26387 નો એકમનો અંક 7 છે.
`7^2 = 49`, જેમાં એકમનો અંક 9 છે.
આથી, 26387 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 મળે.
સંખ્યા 26387 નો એકમનો અંક 7 છે.
`7^2 = 49`, જેમાં એકમનો અંક 9 છે.
આથી, 26387 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 મળે.
(vii) 52698
ઉકેલ - (vii) :
સંખ્યા 52698 નો એકમનો અંક 8 છે.
`8^2 = 64`, જેમાં એકમનો અંક 4 છે.
આથી, 52698 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 મળે.
સંખ્યા 52698 નો એકમનો અંક 8 છે.
`8^2 = 64`, જેમાં એકમનો અંક 4 છે.
આથી, 52698 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 મળે.
(viii) 99880
ઉકેલ - (viii) :
સંખ્યા 99880 નો એકમનો અંક 0 છે.
`0^2 = 0`
આથી, 99880 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 મળે.
સંખ્યા 99880 નો એકમનો અંક 0 છે.
`0^2 = 0`
આથી, 99880 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 મળે.
(ix) 12796
ઉકેલ - (ix) :
સંખ્યા 12796 નો એકમનો અંક 6 છે.
`6^2 = 36`, જેમાં એકમનો અંક 6 છે.
આથી, 12796 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 મળે.
સંખ્યા 12796 નો એકમનો અંક 6 છે.
`6^2 = 36`, જેમાં એકમનો અંક 6 છે.
આથી, 12796 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 મળે.
(x) 55555
ઉકેલ - (x) :
સંખ્યા 55555 નો એકમનો અંક 5 છે.
`5^2 = 25`, જેમાં એકમનો અંક 5 છે.
આથી, 55555 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 મળે.
સંખ્યા 55555 નો એકમનો અંક 5 છે.
`5^2 = 25`, જેમાં એકમનો અંક 5 છે.
આથી, 55555 નો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 મળે.
2. નીચેની સંખ્યાઓ માટે સ્પષ્ટ છે કે તે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ નથી. કારણ સહ જણાવો.
(i) 1057
ઉકેલ - (i) : અહીં સંખ્યા 1057 નો એકમનો અંક 7 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક ક્યારેય 7 હોઈ શકે નહીં. તેથી 1057 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(ii) 23453
ઉકેલ - (ii) : અહીં સંખ્યા 23453 નો એકમનો અંક 3 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક ક્યારેય 3 હોઈ શકે નહીં. તેથી 23453 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iii) 7928
ઉકેલ - (iii) : અહીં સંખ્યા 7928 નો એકમનો અંક 8 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક ક્યારેય 8 હોઈ શકે નહીં. તેથી 7928 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iv) 222222
ઉકેલ - (iv) : અહીં સંખ્યા 222222 નો એકમનો અંક 2 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક ક્યારેય 2 હોઈ શકે નહીં. તેથી 222222 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(v) 64000
ઉકેલ - (v) : અહીં સંખ્યા 64000 ના અંતમાં 3 શૂન્યો છે, જે એકી સંખ્યા છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા હંમેશાં બેકી હોય છે. તેથી 64000 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(vi) 89722
ઉકેલ - (vi) : અહીં સંખ્યા 89722 નો એકમનો અંક 2 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક ક્યારેય 2 ન હોઈ શકે. તેથી 89722 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(vii) 222000
ઉકેલ - (vii) : અહીં સંખ્યા 222000 ના અંતમાં 3 શૂન્યો (એકી સંખ્યા) છે. તેથી 222000 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(viii) 505050
ઉકેલ - (viii) : અહીં સંખ્યા 505050 ના અંતમાં ફક્ત 1 જ શૂન્ય છે. શૂન્યોની સંખ્યા એકી હોવાથી તે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
3. નીચે આપેલી સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરતાં મળતી સંખ્યા એકી સંખ્યા હશે ?
કારણ : એકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશાં એકી સંખ્યા અને બેકી સંખ્યાનો વર્ગ બેકી સંખ્યા મળે.
(i) 431 : એકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ એકી સંખ્યા મળશે.
(ii) 2826 : બેકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ બેકી સંખ્યા મળશે.
(iii) 7779 : એકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ એકી સંખ્યા મળશે.
(iv) 82004 : બેકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ બેકી સંખ્યા મળશે.
આમ, (i) 431 અને (iii) 7779 નો વર્ગ એકી સંખ્યા હશે.
(i) 431 : એકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ એકી સંખ્યા મળશે.
(ii) 2826 : બેકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ બેકી સંખ્યા મળશે.
(iii) 7779 : એકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ એકી સંખ્યા મળશે.
(iv) 82004 : બેકી સંખ્યા છે, તેથી તેનો વર્ગ બેકી સંખ્યા મળશે.
આમ, (i) 431 અને (iii) 7779 નો વર્ગ એકી સંખ્યા હશે.
4. નીચેની પેટર્નમાંથી ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવો :
`11^2 = 121`
`101^2 = 10201`
`1001^2 = 1002001`
`100001^2 = 10000200001`
`10000001^2 = 100000020000001`
`101^2 = 10201`
`1001^2 = 1002001`
`100001^2 = 10000200001`
`10000001^2 = 100000020000001`
5. નીચે આપેલી પેટર્નમાં ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવો :
`11^2 = 121`
`101^2 = 10201`
`10101^2 = 102030201`
`1010101^2 = 1020304030201`
`101010101^2 = 10203040504030201`
`101^2 = 10201`
`10101^2 = 102030201`
`1010101^2 = 1020304030201`
`101010101^2 = 10203040504030201`
6. નીચેની રીત મુજબ ખૂટતી સંખ્યાઓ શોધો :
`1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2`
`2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2`
`3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2`
`4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2` (રીત: `4 × 5 = 20` અને `20 + 1 = 21`)
`5^2 + 6^2 + 30^2 = 31^2` (રીત: `30 ÷ 5 = 6`)
`6^2 + 7^2 + 42^2 = 43^2` (રીત: `6 × 7 = 42` અને `42 + 1 = 43`)
`2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2`
`3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2`
`4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2` (રીત: `4 × 5 = 20` અને `20 + 1 = 21`)
`5^2 + 6^2 + 30^2 = 31^2` (રીત: `30 ÷ 5 = 6`)
`6^2 + 7^2 + 42^2 = 43^2` (રીત: `6 × 7 = 42` અને `42 + 1 = 43`)
7. સરવાળાની ક્રિયા વિના સરવાળો મેળવો :
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
ઉકેલ - (i) :
અહીં પ્રથમ 5 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 5`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 5^2 = 25`
અહીં પ્રથમ 5 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 5`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 5^2 = 25`
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
ઉકેલ - (ii) :
અહીં પ્રથમ 10 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 10`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 10^2 = 100`
અહીં પ્રથમ 10 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 10`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 10^2 = 100`
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
ઉકેલ - (iii) :
અહીં પ્રથમ 12 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 12`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 12^2 = 144`
અહીં પ્રથમ 12 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
`n = 12`
`\text{સરવાળો} = n^2 = 12^2 = 144`
8. દર્શાવો :
(i) 49 ને 7 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
ઉકેલ - (i) :
`49 = 7^2`
`49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13`
`49 = 7^2`
`49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13`
(ii) 121 ને 11 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
ઉકેલ - (ii) :
`121 = 11^2`
`121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21`
`121 = 11^2`
`121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21`
9. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગો વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ આવશે તે જણાવો :
(i) 12 અને 13
ઉકેલ - (i) :
`n = 12` અને `n + 1 = 13`
`n^2` અને `(n+1)^2` વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 12 = 24`
આમ, 12 અને 13 ના વર્ગો વચ્ચે 24 સંખ્યાઓ આવશે.
`n = 12` અને `n + 1 = 13`
`n^2` અને `(n+1)^2` વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 12 = 24`
આમ, 12 અને 13 ના વર્ગો વચ્ચે 24 સંખ્યાઓ આવશે.
(ii) 25 અને 26
ઉકેલ - (ii) :
`n = 25` અને `n + 1 = 26`
વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 25 = 50`
આમ, 25 અને 26 ના વર્ગો વચ્ચે 50 સંખ્યાઓ આવશે.
`n = 25` અને `n + 1 = 26`
વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 25 = 50`
આમ, 25 અને 26 ના વર્ગો વચ્ચે 50 સંખ્યાઓ આવશે.
(iii) 99 અને 100
ઉકેલ - (iii) :
`n = 99` અને `n + 1 = 100`
વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 99 = 198`
આમ, 99 અને 100 ના વર્ગો વચ્ચે 198 સંખ્યાઓ આવશે.
`n = 99` અને `n + 1 = 100`
વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ `= 2n`
`= 2 × 99 = 198`
આમ, 99 અને 100 ના વર્ગો વચ્ચે 198 સંખ્યાઓ આવશે.
✦ સ્વાધ્યાય 5.2 (std 8 Maths chapter 5.2 varg ane vargmul swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનો વર્ગ શોધો :
(i) 32
ઉકેલ - (i) :
`32 = 30 + 2`
`32^2 = (30 + 2)^2`
`= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)`
`= 30^2 + (30 × 2) + (2 × 30) + 2^2`
`= 900 + 60 + 60 + 4`
`= 1024`
`32 = 30 + 2`
`32^2 = (30 + 2)^2`
`= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)`
`= 30^2 + (30 × 2) + (2 × 30) + 2^2`
`= 900 + 60 + 60 + 4`
`= 1024`
(ii) 35
ઉકેલ - (ii) :
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 હોય તેનો વર્ગ કરવાની રીત :
`35^2 = [3 × (3 + 1)] \text{ સો} + 25`
`= (3 × 4) \text{ સો} + 25`
`= 12 \text{ સો} + 25`
`= 1200 + 25 = 1225`
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 હોય તેનો વર્ગ કરવાની રીત :
`35^2 = [3 × (3 + 1)] \text{ સો} + 25`
`= (3 × 4) \text{ સો} + 25`
`= 12 \text{ સો} + 25`
`= 1200 + 25 = 1225`
(iii) 86
ઉકેલ - (iii) :
`86 = 80 + 6`
`86^2 = (80 + 6)^2`
`= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)`
`= 80^2 + (80 × 6) + (6 × 80) + 6^2`
`= 6400 + 480 + 480 + 36`
`= 7396`
`86 = 80 + 6`
`86^2 = (80 + 6)^2`
`= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)`
`= 80^2 + (80 × 6) + (6 × 80) + 6^2`
`= 6400 + 480 + 480 + 36`
`= 7396`
(iv) 93
ઉકેલ - (iv) :
`93 = 90 + 3`
`93^2 = (90 + 3)^2`
`= 90(90 + 3) + 3(90 + 3)`
`= 90^2 + (90 × 3) + (3 × 90) + 3^2`
`= 8100 + 270 + 270 + 9`
`= 8649`
`93 = 90 + 3`
`93^2 = (90 + 3)^2`
`= 90(90 + 3) + 3(90 + 3)`
`= 90^2 + (90 × 3) + (3 × 90) + 3^2`
`= 8100 + 270 + 270 + 9`
`= 8649`
(v) 71
ઉકેલ - (v) :
`71 = 70 + 1`
`71^2 = (70 + 1)^2`
`= 70(70 + 1) + 1(70 + 1)`
`= 70^2 + (70 × 1) + (1 × 70) + 1^2`
`= 4900 + 70 + 70 + 1`
`= 5041`
`71 = 70 + 1`
`71^2 = (70 + 1)^2`
`= 70(70 + 1) + 1(70 + 1)`
`= 70^2 + (70 × 1) + (1 × 70) + 1^2`
`= 4900 + 70 + 70 + 1`
`= 5041`
(vi) 46
ઉકેલ - (vi) :
`46 = 40 + 6`
`46^2 = (40 + 6)^2`
`= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)`
`= 40^2 + (40 × 6) + (6 × 40) + 6^2`
`= 1600 + 240 + 240 + 36`
`= 2116`
`46 = 40 + 6`
`46^2 = (40 + 6)^2`
`= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)`
`= 40^2 + (40 × 6) + (6 × 40) + 6^2`
`= 1600 + 240 + 240 + 36`
`= 2116`
2. નીચે આપેલી સંખ્યા ધરાવતી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી લખો :
(i) 6
ઉકેલ - (i) :
પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટીનું વ્યાપક સ્વરૂપ `2m, m^2 - 1, m^2 + 1` છે.
ધારો કે `2m = 6`
`m = 6/2 = 3`
હવે, `m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8`
અને `m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 6, 8, 10 છે.
પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટીનું વ્યાપક સ્વરૂપ `2m, m^2 - 1, m^2 + 1` છે.
ધારો કે `2m = 6`
`m = 6/2 = 3`
હવે, `m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8`
અને `m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 6, 8, 10 છે.
(ii) 14
ઉકેલ - (ii) :
ધારો કે `2m = 14`
`m = 14/2 = 7`
હવે, `m^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48`
અને `m^2 + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 14, 48, 50 છે.
ધારો કે `2m = 14`
`m = 14/2 = 7`
હવે, `m^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48`
અને `m^2 + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 14, 48, 50 છે.
(iii) 16
ઉકેલ - (iii) :
ધારો કે `2m = 16`
`m = 16/2 = 8`
હવે, `m^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63`
અને `m^2 + 1 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 16, 63, 65 છે.
ધારો કે `2m = 16`
`m = 16/2 = 8`
હવે, `m^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63`
અને `m^2 + 1 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 16, 63, 65 છે.
(iv) 18
ઉકેલ - (iv) :
ધારો કે `2m = 18`
`m = 18/2 = 9`
હવે, `m^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80`
અને `m^2 + 1 = 9^2 + 1 = 81 + 1 = 82`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 18, 80, 82 છે.
ધારો કે `2m = 18`
`m = 18/2 = 9`
હવે, `m^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80`
અને `m^2 + 1 = 9^2 + 1 = 81 + 1 = 82`
આમ, માંગેલ પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 18, 80, 82 છે.
✦ સ્વાધ્યાય 5.3 (std 8 Maths chapter 5.3 varg ane vargmul swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળમાં એકમનો અંક કયો હશે ?
(i) 9801 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હશે.
(ii) 99856 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હશે.
(iii) 998001 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હશે.
(iv) 657666025 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હશે.
(ii) 99856 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હશે.
(iii) 998001 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હશે.
(iv) 657666025 : સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 છે, તેથી તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હશે.
2. કોઈ પણ પ્રકારની ગણતરી કર્યા વિના જ જણાવો કે નીચેના પૈકી કઈ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી ?
(i) 153 : એકમનો અંક 3 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક 3 ન હોય. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(ii) 257 : એકમનો અંક 7 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક 7 ન હોય. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iii) 408 : એકમનો અંક 8 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક 8 ન હોય. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iv) 441 : એકમનો અંક 1 છે. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે છે (`441 = 21^2`).
આમ, (i) 153, (ii) 257 અને (iii) 408 પૂર્ણવર્ગ નથી.
(ii) 257 : એકમનો અંક 7 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક 7 ન હોય. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iii) 408 : એકમનો અંક 8 છે. પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક 8 ન હોય. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iv) 441 : એકમનો અંક 1 છે. તેથી તે પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે છે (`441 = 21^2`).
આમ, (i) 153, (ii) 257 અને (iii) 408 પૂર્ણવર્ગ નથી.
3. પુનરાવર્તિત બાદબાકીની રીતે 100 અને 169 નું વર્ગમૂળ શોધો :
√100 નું વર્ગમૂળ :
100 માંથી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ બાદ કરતાં :
1. `100 - 1 = 99`
2. `99 - 3 = 96`
3. `96 - 5 = 91`
4. `91 - 7 = 84`
5. `84 - 9 = 75`
6. `75 - 11 = 64`
7. `64 - 13 = 51`
8. `51 - 15 = 36`
9. `36 - 17 = 19`
10. `19 - 19 = 0`
અહીં 10મા પગલે બાદબાકી 0 મળે છે.
`∴ \sqrt{100} = 10`
1. `100 - 1 = 99`
2. `99 - 3 = 96`
3. `96 - 5 = 91`
4. `91 - 7 = 84`
5. `84 - 9 = 75`
6. `75 - 11 = 64`
7. `64 - 13 = 51`
8. `51 - 15 = 36`
9. `36 - 17 = 19`
10. `19 - 19 = 0`
અહીં 10મા પગલે બાદબાકી 0 મળે છે.
`∴ \sqrt{100} = 10`
√169 નું વર્ગમૂળ :
169 માંથી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ બાદ કરતાં :
1. `169 - 1 = 168`
2. `168 - 3 = 165`
3. `165 - 5 = 160`
4. `160 - 7 = 153`
5. `153 - 9 = 144`
6. `144 - 11 = 133`
7. `133 - 13 = 120`
8. `120 - 15 = 105`
9. `105 - 17 = 88`
10. `88 - 19 = 69`
11. `69 - 21 = 48`
12. `48 - 23 = 25`
13. `25 - 25 = 0`
અહીં 13મા પગલે બાદબાકી 0 મળે છે.
`∴ \sqrt{169} = 13`
1. `169 - 1 = 168`
2. `168 - 3 = 165`
3. `165 - 5 = 160`
4. `160 - 7 = 153`
5. `153 - 9 = 144`
6. `144 - 11 = 133`
7. `133 - 13 = 120`
8. `120 - 15 = 105`
9. `105 - 17 = 88`
10. `88 - 19 = 69`
11. `69 - 21 = 48`
12. `48 - 23 = 25`
13. `25 - 25 = 0`
અહીં 13મા પગલે બાદબાકી 0 મળે છે.
`∴ \sqrt{169} = 13`
4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધો :
(i) 729
`729 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3)`
`\sqrt{729} = 3 × 3 × 3 = 27`
`\sqrt{729} = 3 × 3 × 3 = 27`
(ii) 400
`400 = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5)`
`\sqrt{400} = 2 × 2 × 5 = 20`
`\sqrt{400} = 2 × 2 × 5 = 20`
(iii) 1764
`1764 = (2 × 2) × (3 × 3) × (7 × 7)`
`\sqrt{1764} = 2 × 3 × 7 = 42`
`\sqrt{1764} = 2 × 3 × 7 = 42`
(iv) 4096
`4096 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)`
`\sqrt{4096} = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64`
`\sqrt{4096} = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64`
(v) 7744
`7744 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (11 × 11)`
`\sqrt{7744} = 2 × 2 × 2 × 11 = 88`
`\sqrt{7744} = 2 × 2 × 2 × 11 = 88`
(vi) 9604
`9604 = (2 × 2) × (7 × 7) × (7 × 7)`
`\sqrt{9604} = 2 × 7 × 7 = 98`
`\sqrt{9604} = 2 × 7 × 7 = 98`
(vii) 5929
`5929 = (7 × 7) × (11 × 11)`
`\sqrt{5929} = 7 × 11 = 77`
`\sqrt{5929} = 7 × 11 = 77`
(viii) 9216
`9216 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3)`
`\sqrt{9216} = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96`
`\sqrt{9216} = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96`
(ix) 529
`529 = (23 × 23)`
`\sqrt{529} = 23`
`\sqrt{529} = 23`
(x) 8100
`8100 = (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)`
`\sqrt{8100} = 2 × 3 × 3 × 5 = 90`
`\sqrt{8100} = 2 × 3 × 3 × 5 = 90`
5. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળતી આ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો :
(i) 252
`252 = (2 × 2) × (3 × 3) × 7`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7 ની જોડી બનતી નથી.
આથી, 252 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 252 × 7 = 1764`
`\sqrt{1764} = 2 × 3 × 7 = 42`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7 ની જોડી બનતી નથી.
આથી, 252 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 252 × 7 = 1764`
`\sqrt{1764} = 2 × 3 × 7 = 42`
(ii) 180
`180 = (2 × 2) × (3 × 3) × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 180 × 5 = 900`
`\sqrt{900} = 2 × 3 × 5 = 30`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 180 × 5 = 900`
`\sqrt{900} = 2 × 3 × 5 = 30`
(iii) 1008
`1008 = (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3) × 7`
અહીં 7 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 1008 × 7 = 7056`
`\sqrt{7056} = 2 × 2 × 3 × 7 = 84`
અહીં 7 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 1008 × 7 = 7056`
`\sqrt{7056} = 2 × 2 × 3 × 7 = 84`
(iv) 2028
`2028 = (2 × 2) × 3 × (13 × 13)`
અહીં 3 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 3
નવી સંખ્યા `= 2028 × 3 = 6084`
`\sqrt{6084} = 2 × 3 × 13 = 78`
અહીં 3 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 3
નવી સંખ્યા `= 2028 × 3 = 6084`
`\sqrt{6084} = 2 × 3 × 13 = 78`
(v) 1458
`1458 = 2 × (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3)`
અહીં 2 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 2
નવી સંખ્યા `= 1458 × 2 = 2916`
`\sqrt{2916} = 2 × 3 × 3 × 3 = 54`
અહીં 2 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 2
નવી સંખ્યા `= 1458 × 2 = 2916`
`\sqrt{2916} = 2 × 3 × 3 × 3 = 54`
(vi) 768
`768 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × 3`
અહીં 3 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 3
નવી સંખ્યા `= 768 × 3 = 2304`
`\sqrt{2304} = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48`
અહીં 3 જોડીમાં નથી.
નાનામાં નાની ગુણવાની સંખ્યા = 3
નવી સંખ્યા `= 768 × 3 = 2304`
`\sqrt{2304} = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48`
6. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો :
(i) 252
`252 = (2 × 2) × (3 × 3) × 7`
અહીં 7 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 252 ÷ 7 = 36`
`\sqrt{36} = 6`
અહીં 7 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 252 ÷ 7 = 36`
`\sqrt{36} = 6`
(ii) 2925
`2925 = (3 × 3) × (5 × 5) × 13`
અહીં 13 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 13
નવી સંખ્યા `= 2925 ÷ 13 = 225`
`\sqrt{225} = 3 × 5 = 15`
અહીં 13 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 13
નવી સંખ્યા `= 2925 ÷ 13 = 225`
`\sqrt{225} = 3 × 5 = 15`
(iii) 396
`396 = (2 × 2) × (3 × 3) × 11`
અહીં 11 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 11
નવી સંખ્યા `= 396 ÷ 11 = 36`
`\sqrt{36} = 6`
અહીં 11 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 11
નવી સંખ્યા `= 396 ÷ 11 = 36`
`\sqrt{36} = 6`
(iv) 2645
`2645 = 5 × (23 × 23)`
અહીં 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 2645 ÷ 5 = 529`
`\sqrt{529} = 23`
અહીં 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 2645 ÷ 5 = 529`
`\sqrt{529} = 23`
(v) 2800
`2800 = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × 7`
અહીં 7 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 2800 ÷ 7 = 400`
`\sqrt{400} = 2 × 2 × 5 = 20`
અહીં 7 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 7
નવી સંખ્યા `= 2800 ÷ 7 = 400`
`\sqrt{400} = 2 × 2 × 5 = 20`
(vi) 1620
`1620 = (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3) × 5`
અહીં 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 1620 ÷ 5 = 324`
`\sqrt{324} = 2 × 3 × 3 = 18`
અહીં 5 ની જોડી નથી.
નાનામાં નાની ભાગવાની સંખ્યા = 5
નવી સંખ્યા `= 1620 ÷ 5 = 324`
`\sqrt{324} = 2 × 3 × 3 = 18`
7. એક નિશાળના ધોરણ 8 ના તમામ વિદ્યાર્થીઓ મળીને ₹ 2401 પ્રધાનમંત્રી રાષ્ટ્રીય રાહત ફંડમાં ફાળો આપે છે. વર્ગમાં જેટલી સંખ્યા છે તેટલા રૂપિયા દરેક વિદ્યાર્થી દાનમાં આપે છે, તો વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કેટલી હશે ?
ઉકેલ - 7 :
ધારો કે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા `x` છે.
દરેક વિદ્યાર્થીએ આપેલ દાન `= ₹ x`
કુલ ફાળો `= x × x = x^2`
`x^2 = 2401`
`x = \sqrt{2401}`
2401 ના અવિભાજ્ય અવયવ પાડતાં :
`2401 = (7 × 7) × (7 × 7)`
`x = 7 × 7 = 49`
આમ, વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 49 હશે.
ધારો કે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા `x` છે.
દરેક વિદ્યાર્થીએ આપેલ દાન `= ₹ x`
કુલ ફાળો `= x × x = x^2`
`x^2 = 2401`
`x = \sqrt{2401}`
2401 ના અવિભાજ્ય અવયવ પાડતાં :
`2401 = (7 × 7) × (7 × 7)`
`x = 7 × 7 = 49`
આમ, વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 49 હશે.
8. એક બગીચામાં 2025 છોડ એવી રીતે રોપેલ છે કે પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા કુલ હારની સંખ્યા બરાબર થાય. તો પ્રત્યેક હારમાં રોપેલ છોડ અને કુલ હારની સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ - 8 :
ધારો કે બગીચામાં કુલ હારની સંખ્યા `x` છે.
પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા પણ `x` થાય.
કુલ છોડની સંખ્યા `= x × x = x^2`
`x^2 = 2025`
`x = \sqrt{2025}`
2025 ના અવિભાજ્ય અવયવ પાડતાં :
`2025 = (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)`
`x = 3 × 3 × 5 = 45`
આમ, કુલ હારની સંખ્યા 45 અને પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા 45 થશે.
ધારો કે બગીચામાં કુલ હારની સંખ્યા `x` છે.
પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા પણ `x` થાય.
કુલ છોડની સંખ્યા `= x × x = x^2`
`x^2 = 2025`
`x = \sqrt{2025}`
2025 ના અવિભાજ્ય અવયવ પાડતાં :
`2025 = (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)`
`x = 3 × 3 × 5 = 45`
આમ, કુલ હારની સંખ્યા 45 અને પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા 45 થશે.
9. 4, 9 અને 10 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ - 9 :
સૌ પ્રથમ 4, 9 અને 10 નો લ.સા.અ. શોધીએ :
`4 = 2 × 2`
`9 = 3 × 3`
`10 = 2 × 5`
લ.સા.અ. `= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180`
હવે 180 ના અવયવો : `180 = (2 × 2) × (3 × 3) × 5`
અહીં 5 ની જોડી બનતી નથી.
આથી 180 ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે 5 વડે ગુણવા પડે.
માંગેલ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 180 × 5 = 900`
આમ, 4, 9 અને 10 વડે ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 900 છે.
સૌ પ્રથમ 4, 9 અને 10 નો લ.સા.અ. શોધીએ :
`4 = 2 × 2`
`9 = 3 × 3`
`10 = 2 × 5`
લ.સા.અ. `= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180`
હવે 180 ના અવયવો : `180 = (2 × 2) × (3 × 3) × 5`
અહીં 5 ની જોડી બનતી નથી.
આથી 180 ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે 5 વડે ગુણવા પડે.
માંગેલ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 180 × 5 = 900`
આમ, 4, 9 અને 10 વડે ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 900 છે.
10. 8, 15 અને 20 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ - 10 :
સૌ પ્રથમ 8, 15 અને 20 નો લ.સા.અ. શોધીએ :
`8 = 2 × 2 × 2`
`15 = 3 × 5`
`20 = 2 × 2 × 5`
લ.સા.અ. `= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120`
હવે 120 ના અવિભાજ્ય અવયવો : `120 = (2 × 2) × 2 × 3 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2, 3 અને 5 જોડીમાં નથી.
તેથી જોડી બનાવવા માટે `2 × 3 × 5 = 30` વડે ગુણવા પડે.
માંગેલ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 120 × 30 = 3600`
આમ, નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 3600 છે.
સૌ પ્રથમ 8, 15 અને 20 નો લ.સા.અ. શોધીએ :
`8 = 2 × 2 × 2`
`15 = 3 × 5`
`20 = 2 × 2 × 5`
લ.સા.અ. `= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120`
હવે 120 ના અવિભાજ્ય અવયવો : `120 = (2 × 2) × 2 × 3 × 5`
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2, 3 અને 5 જોડીમાં નથી.
તેથી જોડી બનાવવા માટે `2 × 3 × 5 = 30` વડે ગુણવા પડે.
માંગેલ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 120 × 30 = 3600`
આમ, નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 3600 છે.
✦ સ્વાધ્યાય 5.4 (std 8 Maths chapter 5.4 varg ane vargmul swadhyay) ✦
1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધો :
(i) 2304
જોડી બનાવતાં: `\overline{23}\ \overline{04}`
`4^2 = 16 < 23` હોવાથી ભાજક 4 લઈએ. શેષ = `23 - 16 = 7`.
નવો ભાજ્ય = 704. નવો ભાજક = `(4 + 4) = 8_`
`88 × 8 = 704`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{2304} = 48`
`4^2 = 16 < 23` હોવાથી ભાજક 4 લઈએ. શેષ = `23 - 16 = 7`.
નવો ભાજ્ય = 704. નવો ભાજક = `(4 + 4) = 8_`
`88 × 8 = 704`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{2304} = 48`
(ii) 4489
જોડી બનાવતાં: `\overline{44}\ \overline{89}`
`6^2 = 36 < 44`. શેષ = `44 - 36 = 8`.
નવો ભાજ્ય = 889. નવો ભાજક = `12_`
`127 × 7 = 889`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{4489} = 67`
`6^2 = 36 < 44`. શેષ = `44 - 36 = 8`.
નવો ભાજ્ય = 889. નવો ભાજક = `12_`
`127 × 7 = 889`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{4489} = 67`
(iii) 3481
જોડી બનાવતાં: `\overline{34}\ \overline{81}`
`5^2 = 25 < 34`. શેષ = `34 - 25 = 9`.
નવો ભાજ્ય = 981. નવો ભાજક = `10_`
`109 × 9 = 981`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3481} = 59`
`5^2 = 25 < 34`. શેષ = `34 - 25 = 9`.
નવો ભાજ્ય = 981. નવો ભાજક = `10_`
`109 × 9 = 981`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3481} = 59`
(iv) 529
જોડી બનાવતાં: `\overline{5}\ \overline{29}`
`2^2 = 4 < 5`. શેષ = `5 - 4 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 129. નવો ભાજક = `4_`
`43 × 3 = 129`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{529} = 23`
`2^2 = 4 < 5`. શેષ = `5 - 4 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 129. નવો ભાજક = `4_`
`43 × 3 = 129`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{529} = 23`
(v) 3249
જોડી બનાવતાં: `\overline{32}\ \overline{49}`
`5^2 = 25 < 32`. શેષ = `32 - 25 = 7`.
નવો ભાજ્ય = 749. નવો ભાજક = `10_`
`107 × 7 = 749`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3249} = 57`
`5^2 = 25 < 32`. શેષ = `32 - 25 = 7`.
નવો ભાજ્ય = 749. નવો ભાજક = `10_`
`107 × 7 = 749`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3249} = 57`
(vi) 1369
જોડી બનાવતાં: `\overline{13}\ \overline{69}`
`3^2 = 9 < 13`. શેષ = `13 - 9 = 4`.
નવો ભાજ્ય = 469. નવો ભાજક = `6_`
`67 × 7 = 469`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{1369} = 37`
`3^2 = 9 < 13`. શેષ = `13 - 9 = 4`.
નવો ભાજ્ય = 469. નવો ભાજક = `6_`
`67 × 7 = 469`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{1369} = 37`
(vii) 5776
જોડી બનાવતાં: `\overline{57}\ \overline{76}`
`7^2 = 49 < 57`. શેષ = `57 - 49 = 8`.
નવો ભાજ્ય = 876. નવો ભાજક = `14_`
`146 × 6 = 876`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{5776} = 76`
`7^2 = 49 < 57`. શેષ = `57 - 49 = 8`.
નવો ભાજ્ય = 876. નવો ભાજક = `14_`
`146 × 6 = 876`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{5776} = 76`
(viii) 7921
જોડી બનાવતાં: `\overline{79}\ \overline{21}`
`8^2 = 64 < 79`. શેષ = `79 - 64 = 15`.
નવો ભાજ્ય = 1521. નવો ભાજક = `16_`
`169 × 9 = 1521`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{7921} = 89`
`8^2 = 64 < 79`. શેષ = `79 - 64 = 15`.
નવો ભાજ્ય = 1521. નવો ભાજક = `16_`
`169 × 9 = 1521`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{7921} = 89`
(ix) 576
જોડી બનાવતાં: `\overline{5}\ \overline{76}`
`2^2 = 4 < 5`. શેષ = `5 - 4 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 176. નવો ભાજક = `4_`
`44 × 4 = 176`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{576} = 24`
`2^2 = 4 < 5`. શેષ = `5 - 4 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 176. નવો ભાજક = `4_`
`44 × 4 = 176`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{576} = 24`
(x) 1024
જોડી બનાવતાં: `\overline{10}\ \overline{24}`
`3^2 = 9 < 10`. શેષ = `10 - 9 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 124. નવો ભાજક = `6_`
`62 × 2 = 124`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{1024} = 32`
`3^2 = 9 < 10`. શેષ = `10 - 9 = 1`.
નવો ભાજ્ય = 124. નવો ભાજક = `6_`
`62 × 2 = 124`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{1024} = 32`
(xi) 3136
જોડી બનાવતાં: `\overline{31}\ \overline{36}`
`5^2 = 25 < 31`. શેષ = `31 - 25 = 6`.
નવો ભાજ્ય = 636. નવો ભાજક = `10_`
`106 × 6 = 636`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3136} = 56`
`5^2 = 25 < 31`. શેષ = `31 - 25 = 6`.
નવો ભાજ્ય = 636. નવો ભાજક = `10_`
`106 × 6 = 636`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{3136} = 56`
(xii) 900
જોડી બનાવતાં: `\overline{9}\ \overline{00}`
`3^2 = 9`. શેષ = 0.
નવો ભાજ્ય = 00. નવો ભાજક = `60 × 0 = 00`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{900} = 30`
`3^2 = 9`. શેષ = 0.
નવો ભાજ્ય = 00. નવો ભાજક = `60 × 0 = 00`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{900} = 30`
2. નીચે આપેલી સંખ્યાના વર્ગમૂળ તરીકે આવતી સંખ્યામાં કેટલા અંકો હશે તે જણાવો (કોઈ ગણતરી કર્યા વગર જણાવો) :
(i) 64 : અહીં અંકોની સંખ્યા `n = 2` (બેકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 2/2 =` 1 અંક
(ii) 144 : અહીં અંકોની સંખ્યા `n = 3` (એકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= (n+1)/2 = (3+1)/2 = 4/2 =` 2 અંક
(iii) 4489 : અહીં `n = 4` (બેકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 4/2 =` 2 અંક
(iv) 27225 : અહીં `n = 5` (એકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= (n+1)/2 = (5+1)/2 = 6/2 =` 3 અંક
(v) 390625 : અહીં `n = 6` (બેકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 6/2 =` 3 અંક
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 2/2 =` 1 અંક
(ii) 144 : અહીં અંકોની સંખ્યા `n = 3` (એકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= (n+1)/2 = (3+1)/2 = 4/2 =` 2 અંક
(iii) 4489 : અહીં `n = 4` (બેકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 4/2 =` 2 અંક
(iv) 27225 : અહીં `n = 5` (એકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= (n+1)/2 = (5+1)/2 = 6/2 =` 3 અંક
(v) 390625 : અહીં `n = 6` (બેકી) છે.
વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા `= n/2 = 6/2 =` 3 અંક
3. નીચે આપેલ દશાંશ સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ શોધો :
(i) 2.56
ભાગાકાર કરતાં: `1^2 = 1 < 2`. શેષ = 1.
દશાંશ ચિહ્ન મૂકી 56 નીચે ઉતારતાં નવો ભાજ્ય = 156.
`26 × 6 = 156`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{2.56} = 1.6`
દશાંશ ચિહ્ન મૂકી 56 નીચે ઉતારતાં નવો ભાજ્ય = 156.
`26 × 6 = 156`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{2.56} = 1.6`
(ii) 7.29
`2^2 = 4 < 7`. શેષ = 3.
નવો ભાજ્ય = 329. નવો ભાજક = `47 × 7 = 329`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{7.29} = 2.7`
નવો ભાજ્ય = 329. નવો ભાજક = `47 × 7 = 329`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{7.29} = 2.7`
(iii) 51.84
`7^2 = 49 < 51`. શેષ = 2.
નવો ભાજ્ય = 284. નવો ભાજક = `142 × 2 = 284`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{51.84} = 7.2`
નવો ભાજ્ય = 284. નવો ભાજક = `142 × 2 = 284`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{51.84} = 7.2`
(iv) 42.25
`6^2 = 36 < 42`. શેષ = 6.
નવો ભાજ્ય = 625. નવો ભાજક = `125 × 5 = 625`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{42.25} = 6.5`
નવો ભાજ્ય = 625. નવો ભાજક = `125 × 5 = 625`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{42.25} = 6.5`
(v) 31.36
`5^2 = 25 < 31`. શેષ = 6.
નવો ભાજ્ય = 636. નવો ભાજક = `106 × 6 = 636`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{31.36} = 5.6`
નવો ભાજ્ય = 636. નવો ભાજક = `106 × 6 = 636`. શેષ = 0.
`∴ \sqrt{31.36} = 5.6`
4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓ માટે એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેની આપેલ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરતાં મળતી નવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત આ નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો :
(i) 402
402 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધતાં `20^2 = 400` થાય અને શેષ 2 વધે છે.
આથી 402 માંથી 2 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 402 - 2 = 400`
`\sqrt{400} = 20`
આથી 402 માંથી 2 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 402 - 2 = 400`
`\sqrt{400} = 20`
(ii) 1989
1989 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધતાં `44^2 = 1936` થાય અને શેષ 53 વધે છે.
આથી 1989 માંથી 53 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1989 - 53 = 1936`
`\sqrt{1936} = 44`
આથી 1989 માંથી 53 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1989 - 53 = 1936`
`\sqrt{1936} = 44`
(iii) 3250
3250 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધતાં `57^2 = 3249` થાય અને શેષ 1 વધે છે.
આથી 3250 માંથી 1 બાદ કરવો પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 3250 - 1 = 3249`
`\sqrt{3249} = 57`
આથી 3250 માંથી 1 બાદ કરવો પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 3250 - 1 = 3249`
`\sqrt{3249} = 57`
(iv) 825
825 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધતાં `28^2 = 784` થાય અને શેષ 41 વધે છે.
આથી 825 માંથી 41 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 825 - 41 = 784`
`\sqrt{784} = 28`
આથી 825 માંથી 41 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 825 - 41 = 784`
`\sqrt{784} = 28`
(v) 4000
4000 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધતાં `63^2 = 3969` થાય અને શેષ 31 વધે છે.
આથી 4000 માંથી 31 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 4000 - 31 = 3969`
`\sqrt{3969} = 63`
આથી 4000 માંથી 31 બાદ કરવા પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 4000 - 31 = 3969`
`\sqrt{3969} = 63`
5. નીચે આપેલી સંખ્યાઓ માટે એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેનો સરવાળો આપેલ સંખ્યા સાથે કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત આ નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો :
(i) 525
525 નું ભાગાકાર કરતાં `22^2 < 525` મળે છે.
22 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `23^2 = 529` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 529 - 525 = 4`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 525 + 4 = 529`
`\sqrt{529} = 23`
22 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `23^2 = 529` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 529 - 525 = 4`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 525 + 4 = 529`
`\sqrt{529} = 23`
(ii) 1750
1750 નું ભાગાકાર કરતાં `41^2 < 1750` મળે છે.
41 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `42^2 = 1764` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 1764 - 1750 = 14`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1750 + 14 = 1764`
`\sqrt{1764} = 42`
41 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `42^2 = 1764` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 1764 - 1750 = 14`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1750 + 14 = 1764`
`\sqrt{1764} = 42`
(iii) 252
252 નું ભાગાકાર કરતાં `15^2 < 252` મળે છે.
15 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `16^2 = 256` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 256 - 252 = 4`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 252 + 4 = 256`
`\sqrt{256} = 16`
15 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `16^2 = 256` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 256 - 252 = 4`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 252 + 4 = 256`
`\sqrt{256} = 16`
(iv) 1825
1825 નું ભાગાકાર કરતાં `42^2 < 1825` મળે છે.
42 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `43^2 = 1849` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 1849 - 1825 = 24`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1825 + 24 = 1849`
`\sqrt{1849} = 43`
42 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `43^2 = 1849` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 1849 - 1825 = 24`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 1825 + 24 = 1849`
`\sqrt{1849} = 43`
(v) 6412
6412 નું ભાગાકાર કરતાં `80^2 < 6412` મળે છે.
80 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `81^2 = 6561` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 6561 - 6412 = 149`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 6412 + 149 = 6561`
`\sqrt{6561} = 81`
80 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `81^2 = 6561` છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા `= 6561 - 6412 = 149`
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `= 6412 + 149 = 6561`
`\sqrt{6561} = 81`
6. 441 મીટર² ક્ષેત્રફળ વાળા ચોરસની બાજુનું માપ શોધો.
ઉકેલ - 6 :
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ `= (\text{બાજુ})^2 = 441 \text{ મીટર}^2`
`\text{બાજુ} = \sqrt{441}`
ભાગાકારની રીતે `\sqrt{441} = 21`
આમ, ચોરસની બાજુનું માપ 21 મીટર થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ `= (\text{બાજુ})^2 = 441 \text{ મીટર}^2`
`\text{બાજુ} = \sqrt{441}`
ભાગાકારની રીતે `\sqrt{441} = 21`
આમ, ચોરસની બાજુનું માપ 21 મીટર થાય.
7. કાટકોણ ત્રિકોણ ABC માં, ∠B = 90° છે :
(i) જો AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી, તો AC શોધો.
ઉકેલ - (i) :
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ :
`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`AC^2 = 6^2 + 8^2`
`AC^2 = 36 + 64`
`AC^2 = 100`
`AC = \sqrt{100} = 10 \text{ સેમી}`
આમ, `AC = 10` સેમી.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ :
`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`AC^2 = 6^2 + 8^2`
`AC^2 = 36 + 64`
`AC^2 = 100`
`AC = \sqrt{100} = 10 \text{ સેમી}`
આમ, `AC = 10` સેમી.
(ii) જો AC = 13 સેમી, BC = 5 સેમી, તો AB શોધો.
ઉકેલ - (ii) :
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ :
`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`13^2 = AB^2 + 5^2`
`169 = AB^2 + 25`
`AB^2 = 169 - 25`
`AB^2 = 144`
`AB = \sqrt{144} = 12 \text{ સેમી}`
આમ, `AB = 12` સેમી.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ :
`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`13^2 = AB^2 + 5^2`
`169 = AB^2 + 25`
`AB^2 = 169 - 25`
`AB^2 = 144`
`AB = \sqrt{144} = 12 \text{ સેમી}`
આમ, `AB = 12` સેમી.
8. એક માળી પાસે 1000 છોડ છે. તે આ છોડને એવી રીતે રોપવા માગે છે કે બગીચામાં હાર અને સ્તંભોની સંખ્યા સમાન મળે, તો માળીને તેના માટે હજુ ઓછામાં ઓછા કેટલા છોડ વધુ જોઈએ ?
ઉકેલ - 8 :
હાર અને સ્તંભ સમાન હોવાથી કુલ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોવી જોઈએ.
1000 નું વર્ગમૂળ શોધતાં : `31^2 = 961 < 1000`
31 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `32^2 = 1024` છે.
આથી જરૂરી વધારાના છોડ `= 1024 - 1000 = 24 છોડ`
આમ, માળીને હજુ ઓછામાં ઓછા 24 છોડ વધુ જોઈએ.
હાર અને સ્તંભ સમાન હોવાથી કુલ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોવી જોઈએ.
1000 નું વર્ગમૂળ શોધતાં : `31^2 = 961 < 1000`
31 પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા `32^2 = 1024` છે.
આથી જરૂરી વધારાના છોડ `= 1024 - 1000 = 24 છોડ`
આમ, માળીને હજુ ઓછામાં ઓછા 24 છોડ વધુ જોઈએ.
9. એક નિશાળમાં 500 વિદ્યાર્થીઓ છે. પી.ટી.ની કવાયત કરવા માટે તમામ વિદ્યાર્થીઓને એવી રીતે ઊભા રાખ્યા છે કે જેથી હાર અને સ્તંભોની સંખ્યા સમાન રહે. તો નિશાળના કેટલા વિદ્યાર્થીઓ આ ગોઠવણી કરવાથી બહાર રહેશે ?
ઉકેલ - 9 :
હાર અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન રાખવાની હોવાથી 500 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધીએ :
`22^2 = 484`
શેષ `= 500 - 484 = 16`
અહીં 16 શેષ વધે છે, જે દર્શાવે છે કે 22 હાર અને 22 સ્તંભ બનાવતાં 16 વિદ્યાર્થીઓ બાકી રહેશે.
આમ, ગોઠવણી કરવાથી 16 વિદ્યાર્થીઓ બહાર રહેશે.
હાર અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન રાખવાની હોવાથી 500 નું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધીએ :
`22^2 = 484`
શેષ `= 500 - 484 = 16`
અહીં 16 શેષ વધે છે, જે દર્શાવે છે કે 22 હાર અને 22 સ્તંભ બનાવતાં 16 વિદ્યાર્થીઓ બાકી રહેશે.
આમ, ગોઠવણી કરવાથી 16 વિદ્યાર્થીઓ બહાર રહેશે.
إرسال تعليق